Meccanica razionale - lo spazio duale di uno spazio vettoriale

"Spazio Duale di uno Spazio Vettoriale"

Sia E uno spazio vettoriale l'applicazione

ƒ : E → R

Si dice "forma lineare" sullo spazio E se accade:

ƒ (ax + by) = a ƒ (x) + b ƒ (y)

Definizione:

L'insieme delle forme lineari su E è uno spazio vettoriale detto spazio duale di E e si indica con E^*

Basta dare come definizione che:

Se ƒ, g ∈ E^* allora:

1. (ƒ + g) : E → R   ∀ x ∈ E → (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x)
2. a ƒ : E → R   ∀ x ∈ E → (a ƒ )(x) = a ƒ(x)

Teor:

Lo spazio E ed il suo spazio duale E^* sono tali che

dim E = dim E^*

Data una base {e_i}ⁿ₁ di E possiamo costruire una base {e^β} di E^* che si chiama base duale a {e_i}

Sia v = vⁱe_i

Definiamo n forme lineari e^β(v) di E^*

e^β(v) = e^β(vⁱe_i) = vⁱe^β(e_i)

Dove poniamo e^β(e_λ) = δ^β_λ

SPAZIO DUALE DI UNO SPAZIO VETTORIALE

SIA E UNO SPAZIO VETTORIALE L'APPLICAZIONE

ℓ: E → R

SI DICE "FORMA LINEARE" SULLO SPAZIO E SE ACCADE

ℓ(ax + by) = aℓ(x) + bℓ(y)

DEFINIZIONE:

L'INSIEME DELLE FORME LINEARI SU E È UNO SPAZIO VETTORIALE DETTO SPAZIO DUALE DI E E SI INDICA CON E^*

BASTA DARE COME DEFINIZIONE CHE:

SE ℓ, g ∈ E^* ALLORA:

1. (ℓ + g) : E → R SE ∀ x ∈ E → (ℓ + g)(x) = ℓ(x) + g(x)
2. aℓ : E → R SE ∀ x ∈ E → (aℓ)(x) = aℓ(x)

TEOREMA:

LO SPAZIO E ED IL SUO SPAZIO DUALE E' SONO ISOMORFICI

dim E = dim E^*

DATA UNA BASE {ℓ_i}_{i=1}ⁿ DI E POSSIAMO COSTRUIRE UNA BASE {e_i} DI E^* CHE SI CHIAMA BASE DUALE A {ℓ_i}

SIA v = v^α e_α

DEFINIAMO IN MODO LINEARE e^β(v) DEL ∈ E^*

e^β(v) = e^β(v^α e_α) = v^α e^β(e_α)

DOVE PONIAMO e^β(e_α) = δ_α^β

DATA UN

Proviamo che {eⁱ} non comprimono impacchettati.

Consideriamo la forma nulla c_p e^p = 0 e applicchiamo algebricas hoindice e_d e _i

(c_p eⁱ e_d) = c_p d_d = c_i = 0

Quindi {e_i} sono linearmente indipendenti e dim n° = dim E.

Proviamo che ∀ forma f ∈ E^* può essere espressa come

f = f_i eⁱ con f_i = f (e_i)

Infatti se abbiamo che

f(e_i) = f_i = f_i δ_i = f_i e^*i(e_s)

Da cui

f = f_i eⁱ

Cambiamenti di base nello spazio duale

{e^*i = Aⁱ_j e^*i

f_i = A_i^j f^*i

Infatti

Abbiamo visto che ξ = ξ_μ e^μ

Nel caso parti genara in cui eⁱ coincide con la forma ξ (f = e^*i)

eⁱ = f_μ e^μ dove f_μ = f (e_μ) = e^*i (e_i)

Ha e^*i (e_i) = e^*i (A^μ e_μ) = A^μ e^*i (e₁) = A^μ δ_μ1

= A^μ

e^{2 = A_μ1 e1}

Veniamo a vedere che

_fi = A^-1 f_{epsilon i}

f_i = _f(_{epsilon i}) = f (A^-1 _{epsilon i}) = A^-1 f(_{epsilon i}) = A^-1 f_{epsilon i}

⇌

Esiste in E⁺, dim E = m

una ^V vaersione V⁺ V E

• V⁺ = A^-1 V⁺
• _fi = A^-1 fi

Nello spazio duale E^* (dim E^*= n)

una vaersiane forma f ∈ E^*

f = f_i eⁱ

• f_i = A^-1 f_i
• eⁱ = A^-1 eⁱ

⇌

"Prodotto scalare e spazio vettoriale pseudoeuclideo"

Dato uno spazio vettoriale E, dim E = n.

Definiamo una applicazione

φ : E x E → ℝ

∀ V,U ∈ E

(V,U) ⇒ U • V ∈ ℝ

Con le propietà

• V • V = U • V (Prop. simmetria)
• V • (δU + βZ) = δV • U + βV •Z (Prop. di linearità)
• ∀ V ∈ E, V • V = 0 ⇔ V = 0 (Prop. di nondegenarazione)

Con questa dep. di prod. scalare se E - spazio vetto pseudo eucleo

Sia dato lo spazio vettoriale e pseudo euclideo

u = uⁱ e_i

v = vⁱ e_i

u·v = uⁱ e_i · vⁱ e_i = uⁱ vⁱ (e_i·e_i)

Definiamo tensore metrico (matricc accopp metriche)

g_ii = e_i·e_i

Da cui

u·v = uⁱ vⁱ g_ij

Esempi): { R } base 3d ortonormale:

g_ij = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = δ_ij

Nel nostro caso la metrica é euclidea

u·u = uⁱ uⁱ δ_ij = uⁱ uⁱ ≥ 0

Esempio 2:

Spazio 4-dimensionale in relatività

g_ij = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 )

u·u = (u¹)² + (u²)² + (u³)² - [u⁴]²

Quindi, in generale, avremo la proprietà

u·v = ...

Analogamente, se consideriamo lo spazio vettoriale duale di

E pseudoeuclideo

∀ f, h ∈ E ^* → f = f_i e^i'         h = h_j e^j'

f • h = f_i h_i (e^i' e^j') = f_i h_i g^ij'

g^i_j'

matrice metrica duale ad

g^i_j

Teorema:

Dati i due spazi E ed E^* se E è pseudoeuclideo allora i due spazi E ed E^* sono isomorfi secondo un isomorfismo canonico da cui E = E^*

τ : E → E^*

Si prova che τ è un isomorfismo (è biunivoco e suriettivo) per cui fissato f ∈ E^*         ∀ v ∈ E : τ(v) = f. (espresso in un'unica forma)

Si prova in particolare che:

Sia {e_i} base di E

Sia {e^i'} base di E^*

I due isomorfismi canonici tra E ed E^* tale che le due basi sono connesse dalle due relazioni

eⁱ = j^i' e^i'

                     = g^i' e_i

Quindi e^i' possono essere considerati come vettori di E

        A_j

ω ι μ ι

V = Vⁱ ξ_i = Vⁱ ȣ_i e_i* = Pk e_u e^u* Pk / FSARM VEE*

IN QUESTO SENSO AVREMO CHE ȣ_EE*

ALCORA RIPILOGANDO V VG E

V = Vi ξi con { V'i = Ai-1i Vi ξi' = Ai-1j ξj }

VA V POTRÀ SCRIVERSI ANCHE COME:

V = Vi ei* con { Vi = Ai-1i' Vi' ei* = Ai-1i' e*i' }

LE COMPONENTI V^'i SI DICONO "CONTRAVARIANTI"

[perché le V^'i variano tramite la matrice inversa (iose contrariam ATO) rispetto alla trasformazione dei vettori ξ_i]

LE COMPONENTI V_i SI DICONO "COVARIANTI"

perché si trasforman tramite la stessi materiali di trasformazione dei vettori ξ_i]

si passa da { ξ_j } ⇆ { e^'i }         "  "         Vⁱ ⇆ V_i ]

tramit la matrice alla metrica (ola sua duale)

P_i ^j => { V^'i = g^ij V^x} V_i = g_xj V^j

TRASFORMAZIONI TENSORIALI

SE ℰ̀ UNO SPAZIO VETTORIALE SIA DATA L'APPLICAZIONE

T: E × E → R

SI SI DICE TENSORE DOPPIO EUCLIDEO SE È BILINEARE:

T(α v₁+β v₂, u) = α T(v₁, u) + β T(v₂, u)

DATI QUINDI: T(u, v) OSSIAMO: u = uⁱ eᵢ v = vˢ eₛ

T(u, v) = T(vⁱ eᵢ, uˢ eₛ) = vⁱ uˢ T(eᵢ, eₛ)

GLI M NUMERI Tᵢₛ = T(eᵢ, eₛ) SONO LE COMPONENTI COVARIANTI

QUI DI: FISSATA UNA BASE T(u, v) = uⁱ vˢ Tᵢₛ

COMPONENTI CONTROVARIANTI

Tᶦˢ = T(eᶦ, eˢ) = T(gⁱᵘ eᵤ, gˢˡ eˡ) = gⁱᵘ gˢˡ Tᵤₗ

Tᶦˢ = gⁱᵘ gˢˡ Tᵤₗ

COMPONENTI MISTE

Tⁱˢ = T(eⁱ, eₛ) = T(gⁱᵘ eᵤ, eˡ) = gⁱᵘ Tᵤₛ = Tⁱₛ

La matrice della metrica è data dalle comp. covariati del tensore metrico

dove

leggi di trasf. al cambiamento di base

infatti

e così via negli altri casi;

generalizzazione ai tensori "multipli" ovunque:

che sia multilineare (lineare in tutti i suoi argomenti)