Meccanica razionale - lo spazio duale

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Appunti di Meccanica razionale per l'esame del professor Romano. Gli argomenti trattati sono i seguenti: lo spazio duale, lo spazio vettoriale, le leggi di trasformazione, la trasformazione …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Romano Vittorio

Università Università degli Studi di Catania

A.A. 2012-2013

3 pagine

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Spazi vettoriali

Dato uno spazio vettoriale E tale che dim E = M. Sia {e_α} una base di vettori lineari. Immaginiamo ∀ vettore v ∈ E : v = V^α e_α. Data una nuova base {e_α'} ; noto che: v = V^α' e_α'.

Legge di trasformazione

e_α' = A_α'^β e_β
v^α = A_α^α' v^α'
{v^α' = A_α'^β v^β}

E (R) ci provano subito: v = v^α e_α = V^α A_α^α' e_α' = V^α' e_α'
V^α' = A_α'^β V^β
V^α A_α'^β = ℑ_α^β e_β = e_β

Dato uno spazio vettoriale V tale che dim V = m. Sia {_i} una base di vettori lineari indipendenti ∀ vettore v ∈ V : v = v^d e_d. Data una nuova base {e_d'}.

v = v^d' e_d'

Leggi di trasformazione

e_d' = A_d'^d e_d
e_d = A_d^d' e_d'
(Onde ovviando A_d'^d è l'inversa della A_d^d' essendo detA ≠ 0)

Trasformazioni delle componenti "controvarianti"

V^d Δ^d V
V^d = A_d'^d V^d'
V^d' = A_d^d' V^d

E ci provano subito: v = v^d e_d = V^d A_d^d' e_d' = V^d' e_d' ≡ V^d' = A_d^d' V^d

Iconverso: v = V^d' e_d' = V^d' A_d'^d e_d = V^d e_d ⇒ V^d > A_d'^d V^d'

Nota

e_α = A_α^d e_d' = A_α^d A_d^β e_β = δ_d^β e_β

Da cui:

[A_α^d A_d^β - δ_α^β] e_β = 0

(Caso A_α^d e A_d^β sono uni)

Esempio: Rotazione attorno all'asse e₃

Nel piano x, y avente:

e_1’ = {cosα, senα, 0}
e_2’ = {-senα, cosα, 0}
e_3’ = {0, 0, 1}

e_μ’ = A_ν’^μ’ e_ν
e_μ = A_ν^μ e_μ’
V^μ = V_ν’ e_ν

A_μν’ V_ν’ = A_ν’ A_μ’β = δ_μ^β
A_μ’ν A_ν’β’ = δ_μ’^β’

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