Meccanica Razionale (Dinamica) - Teoria

Dinamicarichami di calcolo vettoriale

OP = xR₁ + yR₂ + zR₃

Operazioni vettoriali

• Prodotto scalare
• Prodotto vettoriale: area dello specchio
• Prodotto misto

u * v = Σu_iv_i

||u ^ v|| = ||u||||v||sineα

Dettagli delle operazioni

1) Prodotto scalare

(λu + μv) * (λu + μv) = λ_iλu_i + μv_j - λv_j

2) Prodotto vettoriale

Ö = u ^ v

(u ^ v)_R|| = (v_xv_yv_z)

NB: Base ortonormale 1₂ ^ 1₂ = 1₃

3) Prodotto misto

(u ^ v) * w - la Calcol = (v₃)v1 - W

Equazione lineare vettoriale

öλT = b(a ^ a) * λa = b

Parte 1^Ö + (ÖM ^ 1²Ö_a)

Cinematica del punto

Moto del punto

• Legge oraria
• Traiettorie del moto

dÖINTEGRALEDINAMICARICHAMI di calcolo vettoriale

Base ortonormale

Operazioni vettoriali

• Prodotto scalare
• Prodotto vettoriale
• Prodotto misto

Equazione lineare vettoriale

Cinematica del punto

Moto del punto

Traiettoria del moto

t_T = dP(s)_T t = d ds d P(s) versore tang.

f ⊥ s alla traiettoria in PCS

f • t = 1n = dt ds . 1 c normale principale f – e . vettore in PCS con c = dt curvatura

b = t ^ n binormale

b ⊥ t con 1 c = p R di curvatura→ terna intrinseca {t, n, b} ortogonale destra (motivo → /> della trat.)

v = dP{t, s, t} = dP_T ds . s ^ t

dt ds dta = d(s t) = s t + s² ndt p = a_T + a_N

Coordinate polari

x = r cosϑ con r = √(x² + y²)

y = r sinϑ y

xtan ϑ v = ṙ i_r + rϑ̇

v = ṙ i_r + rϑ̇

a = ṙ i_r + rϑ̇

a = ṙ i_r + rϑ̇

a = (r̈ – rϑ̇²) i_r + (2ṙϑ̇)

Vincoli

Filamenti ideali: inestensibile, flessibile e senza massa

Asta ideale: inestensibile, irraccorciabile e rigida

A) Asta ideale con estremi 2 punti materiali (m), A, B, T = dist. costante

• Sistema di punti materiali e vincolato e le posizioni e/o velocità dei punti
• Sono legate da eq. di vincolo che limitano la variabilità (restritte vincolate)

(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁) + (z₂ – z₁)² = L² (re coorda polari

x₂ – x₁ = L sin(θ)

(y₂ – y₁) = L sin sinϕ sinθ con 0 e con 0 agrì di gl = 3N – ₣ vincoli biontare precisi glu c qsogni vincolo diminuisce i gl (perdo g)

B) Asta ideale sostituire da filo ideale

(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²

Sistemi rigidi

Sistema rigido pillemente SMP vincolo di rotola int. t.c. dur distri. tra due punti infine

Relazione di gi pine che

Nn punti del sist. N(N – 1)wottiegg gl = 6N – 6 N ≥ 3= gr di nysione N ≥ 3 gl = 6

Considero SIST. di RIF. mobile solidale al corpo rigido

Associo a P₁, P₂, P₃ (non allineati) una TERNA ORTOGONALE DESTRORSA

x₁ x₂ x₃

Per definire la riposizione di un sistema è necessario definire le coord. di un punto solidale al SIST. (O) e 3 VERSORI [P₁, P₂, P₃]

componente SIST. mobile rispetto a quello fisso

{"=" x₁ P₁ + x₂ P₂ + x₃ P₃}

{P₁ = A ₁ P₁ + B₁ P₂}

{P₂ = B₂ + C₁ P₃}

Angoli di Eulero

Sono necessarie 9 quantità scalari cioè 6 rotazioni di dipendenza dalle proprietà dei VERSORI P_i

Angoli di Eulero (corpo rigido = Terra)

Rotatore descrive la frec. del campanile (0 ≤ Q ≤ 2π)

Nutazione descrive nel 1 oscillazione (0 ≤ ψ ≤ π)

Precessione (0 ≤ φ ≤ 2π)

Ottengo [P₂, P₂, P₃] da [Q, Ψ, φ] attraverso 3 ROT.mi posso aggiungere termentia fissa la terna mobile in modo che la terna fissa coincida con asso.

{1) Fix P₁ rotativo indicando e coincide con[OP = cosΨ x sinφ][X = sinΨ y Y = j cosφ]

Nota moto piano

Velocità dei punti di un corpo rigido appartengono ad un piano solidale con il corpo, parallelo ad o ano diff. casti del piano direttore nel piano un corpo non