Meccanica razionale - Dinamica

Quantità di moto

Per un punto _q = m_v, per un sistema di punti:

= Σ m_ivi

Proprietà

= m_TOTVG → velocità del centro di massa

massa totale

Dimostrazione

Per definizione

= Σ m_ii / m_TOT

d/dt

m_TOTVG = Σ m_ivi = □ c.v.d.

Energia cinetica

Per un punto P: T = 1/2 m v^2, per un sistema di punti: T = 1/2 Σ m v^2.

Proprietà

T = 1/2 Σ m (v_A + ω x r')^2 = 1/2 Σ m ( v_A^2 + 2 v_A ω x r' + (ω x r')^2 ).

Quando:

T = 1/2 Σ m v_A^2 + v_A * Σ m (ω x r') + 1/2 Σ m (ω x r')^2.

= 1/2 Mv_A^2 + M v_A * r_c x ω + 1/2 Σ m (ω x r')^2.

= 1/2 Mv_A^2 + ω * (Σ m r' x (ω x r')) + 1/2 ω * [Σ m r' x (ω x r')].

= 1/2 Mv_A^2 + 1/2 ω I_c ω = 1/2 Mv_A^2 + 1/2 ω T_c ω.

Osservazioni:

Se A = G:

T = 1/2 M v_G^2 + 1/2 ω I_G ω.

Se A ≠ G (se e = 1):

T = 1/2 I_G ω^2.

Se ω = ŝ:

ω ≠ 0 cambia scelta locale di A senza modificare potenza su ω e ŝ.

T = 1/2 mv^2.

Con più corpi rigidi:

T = Σ T_i.

Prima equazione cardinale della dinamica

1^a equazione cardinale della dinamica

∑F_i = ∑m_i a_i

R̅⁽ⁱ⁾ = ∑P̆_i

∑m_i a_i = ∑d(m_iv_i) / dt = d(∑m_iv_i) / dt = Q̇

∑F_i^(e) = Q̇

Teorema del moto del centro di massa

I punti materiali soddisfano F_i = m_i a̅_i. Il centro di massa però è un punto virtuale.

Ricordando che Q̇ = m_tot a̅_G si scopre che

Q̇ = m_tot a̅_G

Q̇ = R̅_c^(e)

R̅_c^(e) = m_tot a̅_G

Il centro di massa si muove come se fosse un punto materiale di massa m_tot su cui agisce R̅_c^(e).

Si osserva che il centro di massa si muove solo per via delle forze esterne. Tuttavia è possibile agire sull'esterno per ricevere una R̅_c^(e) ed è possibile agire sulla propria forma per risentire di una forza che dipende dalla forma.

\(\dot{q}(t) = \varepsilon \cdot \dot{u}(t)\)

Equazione del moto:

\(T = \dfrac{1}{2} a(q) \dot{q}^2 = \dfrac{1}{2} a(q_0 + \varepsilon u) \varepsilon^2 \dot{u}^2\)

Formula di Taylor: \(a(q_0 + \varepsilon u) \approx a(q_0) + a'(q_0) \varepsilon u\), quindi:

\(T = \dfrac{1}{2} a(q_0) \varepsilon^2 \dot{u}^2 + \cdots\)

\(\ddot{u}(q) = \ddot{u}(q_0 + \varepsilon u) = \ddot{u}'(q_0) \varepsilon u = \left[ \ddot{u}'(q_0) + \ddot{u}''(q_0) \varepsilon u \right] \varepsilon \dot{u} = \ddot{u}'(q_0) \varepsilon \dot{u}\)

\(a(q_0) \varepsilon^2 \ddot{u} = \ddot{u}''(q_0) \varepsilon^2 u\)

cioè: \( \ddot{u} + \omega^2 u = 0 \) con \(\omega^2 = \dfrac{\ddot{u}''(q_0)}{a(q_0)}\)

\(u(t) = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)\) → moto armonico

due punti: A,B

^{V_R = (m+M)g - C/l V_H = (m+2M)g + C/l}

Distacco

V_R < 0

C > (m+M)g l ≈ 900 N.m

Puro rotolamento?

^{Q_x = R (ist.comp.)_x H_L + H_K = (2m+3M)C/3(m+M)r...}

Il eq. cardinale per disco 3 con polo in B ^{M_B (Olss.B) = V_B + B ∧ Q} Perchè B è il centro di massa

H_k = -1/2 mC/3(m+M)r

H_K = -1/6 mC(m+M)r H_K = C/2r

Puro rotolamento ovv se: |H_KL| ≤ μ_S |V_NL| |H_k| ≤ μ_S |V_KL|