Meccanica razionale - Dinamica

Quantità di moto

venerdì 29 novembre 2019 12:30

Quantità di moto

Per un punto _q = m_v, per un sistema di punti:

_Q = _{∑ mi vi}

Proprietà

_Q = m_{TOT Vg} → velocità del centro di massa

massa totale

Dimostrazione

Per definizione

_OG = _{∑ mi • Opi} / _mTOT

d / dt

m_{TOT Vg} = _{∑ mi vi} = _Q c.v.d.

Quantità di moto

venerdì 29 novembre 2019 12:30

Quantità di moto

Per un punto →q=m→v, per un sistema di punti:

→Q = ∑m_i→v_i

Proprietà

→Q = m_TOT →v_G velocità del centro di massa

massa totale

Dimostrazione

Per definizione

→OG = ∑m_i→OP_i / m_TOT

d / dt

m_TOT →v_G = ∑m_i→v_i = →Q c.v.d.

Energia cinetica

Energia cinetica

Per un punto P: T = 1/2 mv²; per un sistema di punti:

T = ∑ 1/2 m_iv_i²

Proprietà

Dimostrazione:

T = 1/2 ∑ m_iv_i²

In un corpo rigido:

T = 1/2 ∑ m_rA_r²

Quando:

T = 1/2 ∑ m_i ((v_i − ω × AR)²)

T = Σ ≡ Σ

≡ 1/2 ∑ m_iv_0i²

≡ 1/2 ∑ m_i (v_R² + ω² A_R²)

≡ 1/2 ∑ m_i (A_R²) + ω (A_R × A_R) – (A_R0 × &omega₀₂)

² ∑ ρ(A_R) = A_R + A_R = A_R

Quando:

T = 1/2 m v² + m_iv_A² + 1/2 I_O ω² ∎ q.e.d.

Osservazione:

Se A ∈ G

T = 1/2 m v² + 1/2 I_O ω²

Se A ∈ CIR (se c = c')

T = 1/2 I_G ω²

Se ω = σ :

T = 1/2 m v² + v_Os noto che la scelta di A e' indifferente perché se ω = σ

T = ρ ∀ P

Corpo rigido:

T = Σ T_i

Momento delle quantità di moto

Momento della quantità di moto

Per un punto P _KO = OP × mP vP, per un sistema di punti:

_KO = ∑ OP_i × m_i v_i

Proprietà

Dimostrazione:

Per un corpo rigido v_i = v_A + ω × AP_i,

1. _KO = ∑ m_i OP_i × (v_A + ω × AP_i)
2. = ∑ m_i OP_i × v_A + ∑ m_i OP_i × (ω × AP_i),
3. = ∑ m_i (OA + AP_i) × v_A + ∑ m_i (OA + AP_i) × (ω × AP_i),
4. = ∑ m_i OA × v_A + ∑ m_i AP_i × v_A + ∑ m_i OA × (ω × AP_i) + ∑ m_i AP_i × (ω × AP_i)
5. = OA × [∑ m_i v_A] + I_A ω + m_T OA × (ω × AG) - I_A ω,

Quando: in un corpo rigido:

_KO = m_T OG × v_A + I_G ω

(c.v.d.),

Osservazione:

Se A:G:

_KO = OG × v_A + I_G ω

Se A:O:

_KO = OG × v_A + I_A ω

Se A∈ CIR

_KO = I_CIR ω

Se ω = σ:

_KO = m_T OG × v_A

σ = ω indipendente la scelta di A perché se ω = σ v_P = v_A ∀P

Formule

venerdì 29 novembre 2019   13:21

Sunto:

Q̅ = m_TOT V̅_G

T =

• 1/2 m v_G² + 1/2 I_G ω²
• 1/2 I_CIR ω²
• 1