Meccanica razionale - Cinematica del corpo rigido

Definizione

Un sistema di punti si dice corpo rigido se in ogni suo moto la distanza tra ogni sua coppia di punti rimane costante.

d(A, B) = cost. nel tempo ∀ A, B

Osservazioni

• Per definizione servono almeno due punti per comporre un corpo rigido, quindi un corpo rigido non può essere considerato puntiforme;
• Se anche un solo punto del corpo si avvicina o si allontana rispetto ad un altro punto il corpo non è rigido ma deformabile.

Configurazioni di un corpo rigido

Quante e quali informazioni servono per descrivere la posizione di un corpo rigido in un ambiente bidimensionale?

Definizione

Si chiama CONFIGURAZIONE di un sistema di punti l'insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema.

Determinazione della configurazione di un corpo rigido

1. Si sceglie un punto significativo A del corpo rigido. A è libero di muoversi, e per descrivere la sua posizione servono due coordinate:

̅ = _Â + _Â

2. Si sceglie un secondo punto significativo B. Per definizione di corpo rigido la distanza ℓ tra A e B è fissata, quindi le possibili posizioni di B stanno su una circonferenza di raggio ℓ e centro A:

Per questo motivo serve solo una coordinata per definire la posizione di B, per esempio l'angolo che il vettore forma con una direzione prefissata.

Teorema

Una volta che si sanno queste tre informazioni non servono altre per conoscere la configurazione di tutti i punti del corpo rigido.

Formula fondamentale dell'atto di moto rigido

L'atto di moto di un corpo rigido è caratterizzato da un vettore velocità angolare ω tale che per ogni suo punto P vale che:

V_B = V_A + ω ∧ AB

Il vettore ω ha le seguenti caratteristiche:

• è perpendicolare al piano su cui giace il corpo piano (π_R);
• ω_Z = θⁱ

Dimostrazione:

La configurazione del corpo rigido la definiamo con X_A, Y_A e θ_B

Dimostriamo prima la proprietà per il punto B:

AB = (ℓ cosθ, ℓ senθ)

d/dt

V_B - V_A = (-ℓ senθ, ℓ cosθ) = ℓ θⁱ (-senθ, cosθ)

La formula è dimostrata per B se:

ω ∧ AB = ℓ θⁱ (-senθ, cosθ)

Quindi verifichiamo che i due vettori abbiano direzione, verso e modulo uguali:

OK! - DIREZIONE

ω ∧ AB = ω ∧ i

Il vettore ∂ è ⊥ ω perché sta nel piano del corpo rigido e è ⊥ a AB in quanto il suo prodotto scalare con AB è nullo.

Definizione

Il moto di un sistema è l'insieme delle posizioni di tutti i suoi punti per ogni valore di t.

• m = { P_i(t) ∀ P ∈ sistema e ∀ t ∈ [t_in, t_fin] }

Moto di un corpo rigido piano

Per determinare il moto di un corpo rigido basta determinare x_A(t), y_A(t) e θ(t).

Casi particolari:

1. Moto traslatoriose ω = 0 ∀ t ⇒ v̅_B(t) = v̅_A(t)
2. Moto rotatorioSe esiste CIR ∀ t ed è sempre lo stesso punto ⇒ CIR(t) = CIR(t₀)

Carrello

Un punto Q del corpo rigido è vincolato a scorrere lungo una guida.

Effetti cinematici

Un carrello toglie un g.d.l., infatti per definire la posizione del punto speciale Q serve solo un'ascissa (perché y_Q(t) = 0 ∀t), quindi le coordinate libere che rimangono sono:

• x_Q

Siccome Q può muoversi solo sull'asse x, v⃗_A(t) // asse x ∀t, quindi se esiste il CIR esso si trova sulla retta perpendicolare alla guida e passante per Q.

Il moto è traslatorio se ẏ = cost. Se x_Q = cost siamo in presenza non più di un carrello ma di una cerniera a terra.

La reazione vincolare sviluppata dal carrello è perpendicolare alla guida:

• Φ⃗_G = (0, V_A)

Pattino

Appaiando due carrelli si ottiene un pattino:

Con un pattino un sistema rigido perde due g.d.l. e la coordinata libera rimanente è l'ascissa di uno dei due punti a cui è appaiato un carrello:

• x_A o x_A

ω_AA = +ϑˆ

ω_AB = -ϑˆ

Si nota che se ϑ aumenta in senso orario anche x_G aumenta, quindi:

̇x_G = + rϑˆ