Meccanica Quantistica Relativistica

Appunti di MQR

di

Riccardo Javier Valencia Tortora

22 agosto 2018

2

Indice

1 Complementi di geometria 5

2 Relatività ristretta 9

2.1 Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Trasformazioni di Lorentz infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 La struttura dello spazio-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Il campo di Klein-Gordon 15

3.1 L’equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Covarianza dell’equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Prodotto scalare di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Soluzione dell’equazione di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Normalizzazione del campo di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5.1 Dal discreto al continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6 Quantizzazione del campo di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6.1 L’evoluzione temporale in MQ e MQR . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6.2 Processo di quantizzazione - l’azione di Klein-Gordon . . . . . . . . 23

3.6.3 La natura dei quanti di energia del campo di Klein-Gordon . . . . . 29

3.7 Teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8 La microcausalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.8.1 Il processo di misura in MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.8.2 Il processo di misura in MQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.9 Propagatore del campo di Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9.1 Il T-prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9.2 Le funzioni di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.9.3 Calcolo esplicito del propagatore di Feynman . . . . . . . . . . . . . 39

3.10 Campo di Klein-Gordon complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.10.1 Simmetrie del campo di Klein-Gordon complesso . . . . . . . . . . . 44

4 Campo elettromagnetico 47

4.1 Il formalismo tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Soluzioni delle equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Formalismo canonico per il campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Quantizzazione del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Impulso ed energia del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Limite classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

4 INDICE

5 Equazione di Dirac 57

5.1 Covarianza relativistica dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Base delle matrici di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Limite classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Quantizzazione del campo di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1 Soluzione dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.2 Procedura di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4.3 Microcausalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4.4 La natura dei quanti del campo di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Propagatore del campo di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6 Momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Teoria delle perturbazioni 85

6.1 Scattering di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.1 La hamiltoniana di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.2 Il teorema di Wick - vedi appunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.3 Sviluppo perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.4 Propagatore del fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3 Scattering elettrone-positrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Capitolo 1

Complementi di geometria

Prima di addentrarci nella definizione di componenti covarianti e controvarianti ripassia-

mo rapidamente la definizione e le principali caratteristiche di uno spazio vettoriale. Uno

spazio vettoriale V è uno spazio chiuso rispetto alla somma, tale per cui

∈ ⇒ ∈

v V c v + c v V, (1.1)

1 2

1,2 1 2

}

{e tale per cui un generico vettore v sia

e in cui è possibile definire una base completa (i)

scrivibile come X i i

v = v e = v e , (1.2)

(i) (i)

i

in cui si è usata la convenzione di Einstein circa la somma sugli indici ripetuti. 0

{e }.

} → {e

Un altro concetto fondamentale è il cambiamento di base da una base (i) (i)

Per definizione di base, possiamo scrivere ciascun elemento dell’una come combinazione

lineare dell’altra 0

ki

e = Λ e , (1.3)

(i) (k)

in cui l’indice è la riga mentre il pedice la colonna della matrice Λ. Considerando un

generico vettore v si ha che questo può essere scritto come

0

0 0

i i ki k

= v e = v Λ e

v = v e , (1.4)

(i) (k) (k)

0

k i ki differisce a

in cui v = v Λ . Dunque, in generale la rappresentazione di un vettore v

i

seconda del sistema di coordinate scelto. Le componenti con indice alto v sono chiamate

componenti controvarianti, le quali sono date dalle proiezioni affini del vettore v sugli

},

{e tali per cui il vettore v

elementi della base è dato dalla somma secondo la regola

(i) i

del parallelogramma di v e .

(i)

Avendo definito le componenti controvarianti risulta naturale domandarsi quali siano le

·)

covarianti. A tal fine è necessario definire un prodotto scalare (·,

i j i j

(v, w) = v w (e , e ) = v w g , (1.5)

ij

(i) (j)

in cui g è il tensore metrico. Le componenti covarianti sono date dal prodotto scalare

ij

tra il vettore v e gli elementi della base e

(i) e ). (1.6)

v = (v,

i (i)

Come si trasformano le componenti covarianti per cambio di sistemi di riferimento?

0 0

ki ki

v = (v, e ) = Λ (v, e ) = Λ v , (1.7)

i (i) k

(k)

5

6 CAPITOLO 1. COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

0

ki

cioè v = Λ v . Si nota che si trasformano in modo ”opposto” rispetto alle componenti

i k

controvarianti. Relazioniamo le componenti covarianti e controvarianti partendo dall’e-

nella base e

spressione del vettore v e applicando il prodotto scalare per e ad ambo i

(i) (k)

membri i i i

→ →

v = v e = v (e

(e , v) , e ) v = v g , (1.8)

k ik

(i) k (k) (i)

in cui si evince che l’applicazione del tensore metrico g ha come effetto l’abbassamento

ik

ik

dell’indice, mentre l’applicazione di g ha come effetto il suo innaltamento. La relazione

(1.8), essendo il nucleo del tensore metrico costituito dal solo elemento nullo, deve essere

invertibile kl l

g g = δ , (1.9)

ik i

l

in cui δ è il tensore metrico in forma mista, il quale è sempre una delta di Kronecker.

i

Avendo definito la matrice inversa possiamo calcolare le componenti controvarianti in

funzione delle covarianti i ik

v = g v . (1.10)

k

Avendo fatto luce circa le relazioni tra le componenti controvarianti e covarianti e le

rispettive leggi di trasformazione, possiamo meglio caratterizzare il prodotto scalare

i k ik

(v, w) = v w g = g w v . (1.11)

i

ik k

| |

{z } {z }

w i

w

i

Dimostriamo che esso è un invariante per cambi di sistemi di riferimento. Ricordiamo

le leggi di trasformazione dei vettori covarianti e controvarianti e scriviamole in forma

matriciale. A tal fine si usa la convenzione che il vettore covariante sia un vettore riga

mentre quello controvariante sia colonna. Ciò è giustificato dal fatto che i vettori covarianti

appartengono allo spazio duale dei vettori controvarianti, tali per cui la loro applicazione

su quest’ultimi dia uno scalare (sono dei funzionali). Dunque, si hanno

0 0

k

i ik →

v v

v = Λ = Λv (1.12)

0 0 0 −1

0

ki ki → →

Λ v̄ = v̄ Λ v̄ = v̄Λ , (1.13)

v = Λ v = v

i k

k

da cui il prodotto scalare risulta 1

 

v 0 0 −1

k →

...

w ... w

w v = w̄ v = w̄ Λ Λ v. (1.14)

1 d

k   | {z }

d

v 1

Implicando l’asserto.

Detto ciò consideriamo adesso i tensori, immaginando che essi siano dati dal prodotto

diretto di due o più vettori, il cui numero ne definisce il rango. Come si trasforma da un

sistema di riferimento ad un altro? Semplicemente

0

il i l il i l n m

→ , (1.15)

T = v w T = Λ Λ v w

n m | {z }

nm

T

mentre i tensori covarianti 0

mi nl

T = Λ Λ T . (1.16)

il nm

Detto ciò vediamo come il tensore metrico trasformi

jk jk 0

0 0

li li

g = (e , e ) = Λ Λ (e , e ) = Λ Λ g , (1.17)

ik (i) (k) lj

(l) (j)

cioè come un tensore a due indici.

Prima di procedere oltre consideriamo alcune conseguenze banali: 7

0 0

i i i i

• →

se v = w v = w ; 0 0

• se v = w non necessariamente v = w in ogni sistema.

i i i i

Dunque, le prime risultano invarianti per campi di sistemi di riferimento, al contrario

delle seconde. In ultima battuta esponiamo il processo di contrazione degli indici dovuta

all’applicazione del tensore metrico

ik k ikl kl ikl i l

T g = T = Tr(T ) ; g T = T ; g T = T , (1.18)

ik il km m

k l

in cui lo spazio vuoto lasciato agli indici è per evitare ambiguità in caso in cui l’indice

venga fatto salire nuovamente. Infatti, non necessariamente il tensore T è simmetrico per

scambio degli indici.

8 CAPITOLO 1. COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

Capitolo 2

Relatività ristretta

In questo capitolo si espone rapidamente la teoria della relatività speciale con particolare

enfasi circa le trasformazioni di Lorentz e alla struttura dello spazio-tempo.

2.1 Trasformazioni di Lorentz 0

Dato lo spaziotempo 4-dimensionale si ha che un evento è individuato dal 4-vettore (x , x)

0

in cui x = ct è la coordinata temporale, ridefinito in modo che abbia le dimensioni di una

lunghezza, mentre x sono le coordinate spaziali. Punto cardine della relatività ristretta è

il concetto di sistema inerziale, il quale è definito come

Si definisce sistema inerziale (SI) un sistema in cui si è abbastanza distanti

dall’influenza di altri oggetti tali per cui i corpi all’interno del sistema si muovono, in

assenza di forze agenti, di moto rettilineo uniforme.

Si ricorda infatti che il secondo principio di Newton è valido solo nei sistemi di riferimento

inerziali. Altrimenti, in presenza di un sistema non inerziale, è possibile schematizzarne

gli effetti derivanti definendo delle forze apparenti.

Come visto precedentemente, possiamo anche in questo caso correlare le descrizioni di

0

uno stesso fenomeno da due SI diversi, denominati rispettivamente O e O

0

µ µν ν

x = Λ x µ = 0, 1, 2, 3. (2.1)

Consideriamo due eventi nello spaziotempo individuati dai 4-vettori x e x . Il vettore

A B

−

congiungente questi due eventi è allora ∆x = x x e la distanza è definita dalla norma

A B

di Minkosky 2 0 2 2

−

∆s = (∆x ) (∆x) . (2.2)

Vogliamo che la distanza sia un invariante in valore e forma per cambi di sistema di

riferimento. Possiamo scrivere la distanza in termini di prodotto scalare

µA µB

µ 2 µ ν

− → −1, −1, −1).

∆x = x x ∆s = g ∆x ∆x ; g = diag(1, (2.3)

µν µν

Essendo correlato ad un prodotto scalare abbiamo che la norma è invariante in valore per

cambi di sistema di riferimento. Vogliamo però che lo sia anche in forma, il che si riflette

sul fatto che il tensore metrico sia lo stesso in ogni sistema di coordinate.

Prima di procedere relazioniamo le coordinate covarianti e contravarianti del 4-vettore x,

ν

ricordando ∆x = g ∆x da cui

µ µν

0 00 0i i −∆x

∆x = g ∆x + g ∆x ; ∆x = ; i = 1, 2, 3. (2.4)

0 i i

|{z} |{z}

1 0 9

10 CAPITOLO 2. RELATIVITÀ RISTRETTA

Tornando al tensore metrico, cambiando sistema di riferimento si ha

0

αµ βν

g = Λ Λ g , (2.5)

µν αβ

in cui imponiamo una condizione circa la matrice di trasformazione Λ tale per cui g =

µν

0

g . Le trasformazioni che soddisfano tale condizione sono chiamate trasformazioni di

µν 1

Lorentz. Imponendo la condizione di costanza del tensore metrico ricaviamo le caratteri-

stiche proprio di Λ αµ βν

g = Λ Λ g

µν αβ T

→ g = Λ gΛ, (2.6)

βν αµ

= Λ g Λ

βα

in cui nello scrivere la notazione matriciale compatta si è tenuto conto del modo in cui si

2

moltiplicano le matrici. Dalla precedente relazione segue

T 2

→ → ±1,

det g = det Λ det g det Λ (det Λ) = 1 det Λ = (2.7)

in cui le matrici di Lorentz avente determinante +1 sono dette proprie, mentre quelle

−1

aventi determinante sono dette non proprie. Le trasformazioni proprie definiscono

delle trasformazioni rispetto alle quali le leggi fisiche devono essere covarianti (rotazioni,

traslazioni etc), mentre quelle non proprie non lo devono essere necessariamente (parità,

inversione temporale etc).

La condizione (2.7) non è condizione sufficiente affinchè Λ sia una trasformazione di Loren-

00

tz. Ricaviamo ora una condizione circa l’elemento Λ considerando l’elemento µ = ν = 0

nella (2.6) 3 3

β X X

00 2 i 2 00 2 i 2

α − →

g = (Λ ) (Λ ) (Λ ) =1+ (Λ ) , (2.8)

g = 1 g = Λ Λ

00 00 αβ 0 0

0 0 i=1 i=1

che si traduce in 00 00

≤ −1 ≥

Λ oppure Λ 1. (2.9)

A seguito di ciò possiamo catalogare le trasformazioni di Lorentz nel seguente modo

↑ 00

L {Λ ∈ L ≥

= : det Λ = 1 Λ 1}

+

↑− 00

L {Λ ∈ L −1 ≥

= : det Λ = Λ 1} (2.10)

↓ 00

L {Λ ∈ L ≤ −1}

= : det Λ = 1 Λ

+

↓− 00

L {Λ ∈ L −1 ≤ −1}

= : det Λ = Λ ↑

L

Le uniche trasformazioni di Lorentz costituenti un gruppo sono le (trasformazioni

+

di Lorentz proprie ortocrone) dato che sono le sole ad ammettere l’identità. Il fatto che

costuiscano un gruppo implica che la loro composizione è ancora una trasformazione di

Lorentz e che esiste la matrice identità e la matrice inversa per ogni trasformazione di

Lorentz.

1 Un esempio banale di trasformazione di Lorentz sono le rotazioni.

2 βν αµ

Si ricordi che l’apice di Λ indica la riga e il pedice la colonna. Dunque in Λ (g Λ ) sto scorrendo a

βα

colonna ν fissata le righe β di Λ.

2.2. LA STRUTTURA DELLO SPAZIO-TEMPO 11

2.1.1 Trasformazioni di Lorentz infinitesime

Prima di procedere oltre compiamo una ulteriore caratterizzazione delle trasformazioni

di Lorentz ortocrone considerando una trasformazione infinitesima. Una trasformazione

µν

di Lorentz è detta infinitesima se può essere connessa all’identità δ in modo continuo

µν

mediante una matrice infinitesima secondo la forma

µν µν µν

≈

Λ δ + . (2.11)

Ad una trasformazione di Lorentz infinitesima corrisponde la trasformazione di coordinate

0 µν µν µν

µ ν µ ν

x = (δ + )x = x + x , implicando la seguente variazione

0

µ µ µ µν ν

−

δx = x x = x . (2.12)

Vediamo invece come si trasforma il tensore metrico a seguito dell’applicazione di tale

trasformazione 0 0

ρµ σν ρµ ρµ σν σν

→

Λ Λ g = g (δ + )(δ + )g = g , (2.13)

ρσ ρσ

µν µν

2

da cui sviluppando i prodotti e trascurando i termini in e sfruttando l’invarianza in

0

forma del tensore metrico (g = g ) si ottiene

µν µν

ρµ σν → → −

g + g = 0 + = 0 = . (2.14)

ρν µσ νµ µν νµ µν

L’antisimmetria di si riflette anche sulle trasformazioni di Lorentz stesse, dato che

µν

una trasformazioni finita può essere ottenuta applicando iterativamente le trasformazioni

µν

infinitesime. Possiamo quindi concludere che le matrice Λ associate a trasformazioni di

Lorentz ortocrone siano antisimmetriche. Si noti però che la relazione ottenuta circa è

µν

in forma tensoriale, e dunque l’antisimmetria non si riflette automaticamente sulla matrice

µν

.

2.2 La struttura dello spazio-tempo

La metrica di Minkosky non è definita dato che può assumere valori sia positivi, negativi

che nulli. Si definisce cono di luce l’ipersuperficie nello spazio-tempo definita dall’equazione

2 0 2 2

→ − = 0. (2.15)

∆s = 0 (∆x ) (∆x)

2

A seconda del segno di ∆s si può suddividere lo spazio-tempo in passato, presente e

futuro dell’osservatore