Meccanica: peso, attrito, vincoli.

Fisica

Corsi di laurea in Biotecnologie

Lezione 1-3

Meccanica, ovvero studio del moto dei corpi e delle forze: introduzione

La meccanica è una delle branche più antiche della fisica, già sviluppata nell'antichità, e che ha raggiunto la sua maturità con Isaac Newton a metà del 1600.

Il problema è quello di legare il moto dei corpi (per corpo si intende in generale una struttura rigida, con una forma ben definita) alle forze.

Il moto è la variazione della posizione di un corpo nello spazio in funzione del tempo; questa è una proprietà in generale misurabile. Nello spazio ordinario a 3 dimensioni consiste nel misurare 3 quanti (ad esempio 3 lunghezze) in funzione del tempo.

Iniziamo dal problema semplificato di un moto lungo una sola direzione spaziale, il moto unidimensionale. In questo caso il moto avviene lungo un sistema di riferimento del tipo:

Piano x e definito dalla direzione della retta, dall'origine, e dal verso in cui cresce la coordinata.

Risolvere il moto equivale a misurare la variazione della coordinata x nel tempo in pratica con una serie di misure discrete.

Questa serie di coppie di dati rappresenta in generale una relazione, ed in molti casi rappresenta una funzione x(t) [si ricorda che la funzione è semplicemente una relazione, che per ogni valore della variabile indipendente t, ha un solo valore della variabile dipendente x].

È possibile disegnare la funzione x(t), che viene detta anche legge oraria, su un diagramma cartesiano.

Un corpo fermo ha x(t) = cost

Un corpo in movimento ha x(t) che varia nel tempo

Per distinguere i due casi, bisogna introdurre il concetto di velocità, come derivata della posizione nel tempo.

Fondamentalmente:

v(t) = lim (dx(t)/dt) _dt→0

dove dx e dt rappresentano variazioni infinitesime della posizione e del tempo.

Questa definizione corrisponde alla costruzione geometrica

scritto un dt piccolo a sufficienza [in principio dt → 0, ma è sufficiente che il tratto corrispondente di curva possa essere approssimato ad una retta], questo individua dx sulla funzione.

Il caso più generale è quello in cui

F = F(t, x, s)₀ ≠ 0. In questo caso sicuramente si ha che dx/dt ≠ 0 e quindi ds/dt = δ(t).

Vedremo in seguito alcuni casi particolari di moto più complesso di moto uniformemente accelerato.

Discutiamo ora brevemente le forze fondamentali esistenti in natura. Tutte le forze possono in effetti essere ricondotte a 4 forze fondamentali.

1. Forza gravitazionale l_g>10³ km attrazione
2. Forza elettromagnetica l_e 1 mm carica elettrica
3. Forza nucleare forte l_f ≈ 10^-12 nm carica di colore
4. "debole" " "

Ogni tipo di forza ha una grandezza/proprietà dei corpi che la determina ed una lunghezza caratteristica alla quale domina sulle altre forze. L’intensità delle forze cresce da A → D.

La forza gravitazionale domina a grandi distanze ed è infatti responsabile per la forza peso, o del moto dei pianeti nel sistema solare. La forza elettromagnetica determina la struttura delle materia, delle molecole, degli atomi. La forza nucleare forte è responsabile della struttura dei nuclei atomici. La forza nucleare debole è responsabile di vari processi di decadimento delle particelle elementari.

Per simmetria, il corpo torna alla posizione di partenza per t=2t_max.

Si può facilmente controllare che i due esercizi corrispondono a due intervalli particolari di tempo e pari dello stesso tipo di moto, ovvero del moto con accelerazione pari a g.

Si può infatti verificare che le soluzioni dei due problemi coincidono.

Intermezzo: derivata e integrale

f'(x) = df/dx

Come già ricordato, la derivata prima di una funzione f(x) in un punto rappresenta la pendenza della funzione in quel punto. Determinate la derivata è la tangente dell’angolo che la funzione fa con l’asse delle ascisse.

L’integrale è la funzione inversa: nota la pendenza della curva in un punto, si può ricostruire il valore della funzione in quel punto.

f(x) = df/dt ⇒ df = f'(x)dx

Se conosco f(x), allora f(x₀ + dx) = f'(x)dx + f(x₀)

Note di un corpo in presenza di un vincolo

È noto che la presenza di un corpo può modificare il moto di un secondo corpo.

Ad esempio, una pallina posta su un piano orizzontale se ferma, v = 0.

In questo caso la legge di Newton dà a = 0

Ciò fa capire che F_tot = 0, per cui si deve necessariamente esplicare una forza opposta alla forza peso.

Questa forza è detta reazione vincolare, ed è normale perpendicolare al piano, per cui si indica

con il simbolo N (normale).

La forza vincolare è il risultato delle forze elettrone magnetiche che tengono insieme gli atomi che formano il piano, e come vedremo è direttamente legata alle forze elastiche.

La forza peso tenderebbe ad allontanare gli atomi del piano tra loro, per fare cadere la pallina. Le forze eem tra gli atomi reagiscono creando una forza compensativa N ed annulla P.