Appunti meccanica razionale

Esame Meccanica razionale T

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Muracchini Augusto

Università Università degli Studi di Bologna

Appunti esame

4,0 / 5 (2)

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Appunti presi a lezione di meccanica razionale e rielaborati successivamente, sono molto completi con anche grafici, figure e schemi.

Programma/Contenuti
Richiami di calcolo vettoriale - Componenti cartesiane di un vettore. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Doppio prodotto vettoriale.

Vettori applicati - Momento polare ed assiale di un vettore applicato. Sistemi di vettori applicati. Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati. Coppie. Invariante scalare. Asse centrale. Operazioni elementari. Riduzione di un sistema di vettori applicati e e teoremi di riducibilità. Sistemi piani. Sistemi di vettori paralleli. Centro.

Cinematica del punto - Descrizione cinematica del moto di un punto. Velocità, accelerazione e loro diverse rappresentazioni. Moti piani in coordinate polari.

Cinematica dei sistemi - Vincoli e loro classificazione. Sistemi olonomi ed anolonomi. Gradi di libertà di un sistema olonomo. Coordinate generalizzate. Spazio delle configurazioni. Spostamenti possibili e virtuali di un sistema olonomo. Velocità di un sistema olonomo.

Cinematica dei sistemi rigidi - Corpo rigido e vincolo di rigidità. Riferimento solidale. Velocità angolare e formule di Poisson. Legge di distribuzione delle velocità, degli spostamenti e delle accelerazioni. Caratterizzazione dei moti rigidi. Angoli di Eulero. Formule di Eulero. Punto di vista lagrangiano ed euleriano. Atti di moto rigido e loro classificazione. Teorema di Mozzi.

Cinematica dei moti relativi - Inquadramento del problema. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori (Teorema di derivazione relativa). Teorema di composizione delle velocità (Teorema di Galileo), delle accelerazioni (Teorema di Coriolis) e delle velocità angolari. Rotolamento e puro rotolamento di due curve rigide.

Moti rigidi piani - Generalità. Centro istantaneo di rotazione e proprietà ad esso connesse. Traiettorie polari (base e rulletta).

Geometria delle masse - Concetti di massa e densità. Baricentro di un sistema particellare e continuo. Teoremi relativi alle proprietà di ubicazione del baricentro. Momenti di inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia rispetto ad assi concorrenti. Matrice di inerzia. Assi principali di inerzia e loro determinazione. Ellissoide di inerzia.

Cinematica delle masse - Quantità di moto. Momento della quantità di moto. Energia cinetica. Teorema del baricentro. Sistema baricentrale e moto relativo al baricentro. Primo e secondo teorema di König. Rappresentazione della quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica di un corpo rigido. Struttura della energia cinetica di un sistema olonomo.

Forze, Lavoro e Potenziale - Concetto di forza e lavoro. Lavoro elementare reale e virtuale. Lavoro di una forza lungo un cammino finito. Forze posizionali. Forze conservative e loro potenziale. Lavoro di un sistema di forze. Lavoro di un sistema di forze applicate ad un corpo rigido e ad un sistema olonomo.

Leggi della meccanica - Breve introduzione storica ai principi della meccanica classica. Principio di inerzia. Secondo principio della dinamica. Principio di azione e reazione. Struttura matematica del II° principio, ruolo delle condizioni iniziali e struttura deterministica della meccanica classica. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Principio di relatività di Galileo. Teorema delle forze vive, principio di conservazione della energia, integrali primi del moto ed esempi di loro uso in ambito meccanico. Vari esempi di dinamica del punto materiale (oscillatore armonico, moti smorzati, moti forzati, pendolo semplice, cenno ai moti centrali). Postulato delle reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica. Alcuni esempi di dinamica del corpo rigido.

Statica del punto e dei sistemi - Attrito coulombiano e legge di Coulomb-Morin. Vincoli privi di attrito. Definizione di quiete e di equilibrio. Equilibrio di un punto e di un sistema. Equazioni cardinali della statica e discussione della loro necessità e sufficienza. Statica del punto con applicazioni (punto vincolato su curva e superficie sia in assenza di attrito che con attrito, statica relativa, forza centrifuga). Vincoli piani. Equilibrio del corpo rigido con applicazioni (corpo rigido con un punto fisso, con asse fisso, equilibrio di sistemi costituiti da più corpi rigidi, tecnica dello svincolamento).

Principio dei lavori virtuali - Principio delle reazioni vincolari. Vincoli ideali. Teorema dei lavori virtuali. Sua formulazione nel caso di un sistema olonomo e conservativo ed anche in presenza di vincoli unilaterali.

Meccanica lagrangiana - Disuguaglianza variazionale della dinamica. Principio di D’Alembert. Equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange. Caso delle forze conservative (funzione lagrangiana). Integrali primi del moto in ambito lagrangiano. Cenno alle equazioni di Lagrange nel caso di forze non conservative; esempio della resistenza viscosa e funzione di dissipazione.

Stabilità e piccole oscillazioni - Criterio di stabilità di Ljapunov. Definizione statica di stabilità e studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio.Teorema di stabilità di Lagrange-Dirichlet. Tecnica di linearizzazione delle equazioni del moto. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad n gradi di libertà, frequenze caratteristiche di oscillazione. Coordinate normali.

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