Meccanica delle vibrazioni NVH - Teoria + esercitazioni

Oscillatore Armonico Non Smorzato

[Indeform.]            [Deform.]

1) Eq Dinamico (direz. x)

-mẍ - k(Δ+x) + mg = 0

• F. Inerzia
• Reaz. Molla
• F. Peso

NB Fare l'equilibrio dinamico significa sommare tutte le forze e porle = 0 (includendo anche la forza inerzia)

Lo significa mettere un sist. riferimento mobile solidale alla massa e di conseguenza la somma di tutte le forze deve essere nulla perché la massa risulta ferma!

• △ deflessione statica sistema (soppressione forza peso)
• x = spostamento dopo aver raggiunto config. equilibrio

Y = X + △

2) Eq. STATICO

ẋ = 0x = 0

- kΔ + mg = 0Δ = _mg/^K

* Sostituisco in 1

mẍ + KX = 0

EQ. MOTO (EQ. OSCILLATORE ARMONICO)

NB In tutti i sistemi LINEARI (TEMPO INVARIANTI)si può fare il CAMBIO DI VARIABILI (in questocaso y = Δ + X) andando così ad OMETTEREla forza peso nell'equazione del moto

NB L'equazione del moto dipende da 2 parametri(m, k)che condizione NON ottimale perciò vadoa NORMALIZZARE l'equazione dividendo per m

ESEMPI SISTEMI 1 gdl

1) TRAVE - MASSA

Deflessione statica trave

X_st = ^Pl3/_{3 EI}

Forza richiamo elastica (Forza esterna)

P = K · X_st

* Ottengo

K = ^P/_Xst = ^3EI/_l³ RIGIDEZZA

* Considero eq. moto

mẍ + Kx = 0   W_n = √K/m

W_n = √^3EI/_{m l³} PULSAZIONE NATURALE

NB Questo modello si può utilizzare quando

la massa m è >>> della massa

della trave ⇒ stima della W_n

⇥ NON viene utilizzato quando ho FREQUENZE ⇧⇧⇧

e se voglio considerare comportamento

elastico e dinamico della trave

2° CASO

= 1 → MOTO ACRITICO CRITICO (SHORZAH… CRITICO)

² − 1 = 0 → Radici Reali Coincidente (₁,₂ = ̇)

x(t) = A e^{̇ t} + B t e^{̇ t} con ₁,₂ = −ₙ

→ A e^{−ₙ t} + B t e^{−ₙ t}

3° CASO

< 1 → MOTO OSCILLATORIO SMORZATO (SHORZAH… SOTTOCRITICO)

² − 1 < 0 → Radici Complesse coniugate

₁,₂ = − ₙ ± i √1 − ² ⋅ ₙ

x(t) = A e^{₁ t} + B e^{₂ t}

* Fisso condizioni iniziali (Reali)

• x(0) = X₀
• ẋ(0) = Ẋ₀

X₀ = A + B

Ẋ₀ = A ₁ + B ₂

Per molte funzioni risposta di sistemi vibranti parlare di ampiezza è improprio

Si riesce a definire un’ampiezza di oscillazione soltanto per le funzioni armoniche (sinusoidali)

Decrescimento Logaritmico

• Il metodo del decremento logaritmico consente di determinare ψ (fattore smorzamento adimensionale) a partire dalla risposta di un sistema a 1 gdl
• I max locali della risposta stanno sulla curva

X_max(t) = Ẋ · e^-ψ_nt

• X₁, X₂ sono i due max più vicini all'origine

Nota Bene

Ritorno al problema Reale

• PROBLEMA COMPLESSO → x(t) = |x| e^{i(wt + ψ)}
• PROBLEMA REALE → x(t) = |x| cos(wt + ψ)

Introduco FATTORE AMPLIFICAZIONE

G(ω) = |x| / (F₀/k) = 1 / √((1 - (ω/ω_n))²)² + (2ζ ω/ω_n)²

X(t) = _F0/_K G(ω) cos(wt + ψ)

Per sapere qual è l'ampiezza della risposta basta guardare G(ω)

L'asintoto c'è se ζ =0

curva dei max

Non ha il max (ζ =0,7)

Def:

La trasmissibilità (τ) è il rapporto tra il modulo della forza trasmessa al basamento e il modulo della forza applicata alla massa.

τ = |T| / F₀ =

√(1 + (2ϕω/ω_n)²) / √((1- (ω/ω_n)²)² + (2ϕω/ω_n)²)

* Analizziamo il grafico di andamento

/_n²

1

2

NB

* Per ridurre la trasmissibilità NON è sempre conveniente aumentare lo smorzamento (e quindi ϕ) Vedi regione (ω/ω_n)² > 2 in cui aumenta

* Per evitare la regione di risonanza in cui ho i valori più elevati di devo cercare di lavorare nelle zone

SMORZAMENTO

• L'unico modo per ricavare "informazioni" sullo smorzamento è attraverso una SPERIMENTAZIONE misurando le prop smorzamento di un sistema e introducendo un modello di smorzamento

SMORZAMENTO VISCOSO

• Ha la caratteristica di essere proporzionale alla velocità
• Forza DISSIPATIVA → Fd = −cẋ
  • [N∙s/m]
  • se c > 0 ⇒ Fd opposta velocità
• Lavoro PERSO PER CICLO → Wd = ∮F_d∙dx
  • per avere Wd > 0
• Ipottizo RISPOSTA ARMONICA → X = |X|_seu(wt + ψ)
  • del sistema Soggetto allo smorzatore viscoso
  • Ẋ = w|X| _cos(wt + ψ)

• Ottengo
  • dx = ẋdt
  Wd = ∮cẋ² dt = ∮cẋ²dt ^{PERIODO = π/ω}= ∮cw²|X|² cos² (wt + ψ)dt = −cw²|X|²T/2

* Valuto il LAVORO PERSO PER CICLO

Wd = - ∫₀ l fd dx = ∫₀ l fd mg sgn(ẋ) dx

= ∫₀ fd mg [∫₀ᵀ x(ẋ / l) dx - ∫₀ᵀ x( / T) dx]

= fd mg [1 - (-1) - (-1) + 1]

= 4 fd mg A

* Ho ottenuto

Wd = 4 fd mg A ( Wd ∝ A )( Wd non dipende da w )

* Valuto lo SMORZAMENTO VISCOSO EQUIVALENTE

π Ceq w |x|² = 4 fd mg |x|

Ceq = ^{4 fd mg} / _{π w |x|}

Smorzamento nei polimeri

G^* = G'_ω + iG''_ω

k^*_ω = k_∞(1 + iδ_ω)

• G^*_ω complex shear modulus
• G'_ω storage modulus
• G''_ω loss modulus
• δ loss factor

tan(δ) = ^G''/_G' ζ = ^δ/₂

• I materiali polimerici mostrano proprietà elastiche dipendenti da temperature/frequenza
• Comportamento viscoso a bassa frequenza o alta temperatura
• Comportamento elastico ad alta frequenza o bassa temperatura
• Lo smorzamento è massimo in regime di transizione

(*) from Şerban Dan-Andre "Viscoplastic Behaviour of Polyamides", 2016