Meccanica delle vibrazioni

Vibrazioni Meccaniche a un Grado di Libertà

La vibrazione è un moto oscillatorio che può essere generato da un sistema di, forze in un fluido, un solido deformabile elastico o in un sistema di corpi che possono essere deformabili, oppure rigidi, ma collegati tra loro da elementi elastici.

Le vibrazioni nei sistemi meccanici sono generalmente dannose perché possono sollecitare gli stessi che causano il fenomeno della fatica, che riduce la resistenza del materiale e accorcia la vita utile dei sistemi meccanici.

Le vibrazioni meccaniche sono regolate dallo scambio tra energia cinetica e energia potenziale all'interno dei sistemi con l'intervento dei fenomeni dissipativi che favoriscono lo smorzamento del movimento.

Pertanto, lo studio di un sistema di corpi, può comprendere un moto vibratorio eccessivo che esso presenta con possibilità di deformazione elastica.

Le vibrazioni sono dette libere quando avvengono in assenza di forzanti, per il solo effetto delle condizioni di spostamento e velocità imposte al sistema nell'istante iniziale del moto.

Sono invece dette forzate, le vibrazioni che avvengono per effetto dell'azione di forzanti tempo-varianti applicate al sistema.

Sistemi Vibranti a Parametri Concentrati

• Corpi rigidi, o masse puntiformi, che determinano le forze inerziali associate al moto del sistema.
• Corpi elastici di massa trascurabile, che determinano le forze elastiche sviluppate dal sistema nel suo movimento.
• Elementi smorzanti di massa trascurabile, che sono responsabili delle dissipature di energia che si produce nel moto del sistema.

Risolvere con l'equazione di Lagrange

d/dt ( ∂Ec/∂_i ) - ∂Ec/∂q_i + ∂D/∂q_i = Q_n

Ec = 1/2 u² x² energia cinetica

V = 1/2 u² x² energia potenziale

D = 1/2 a² y² funzione dissipativa

Q_n = U_f x + F(t) coseno

Equazione di moto puramente scritta rispetto a un polo traslatorio.

Trattazione generale

q_i coordinata libera

q'_i vel. acc. della coordinata libera

Ec = 1/2 ∑_i,j (u_i x q_i' q_j'

• massa generale traslata lungo la stessa coordinata libera
• m_K = ∑_j m_k ∂Φ_k/∂q (q)
• V_p = ∑_j m_j u_i y_j l_i
• D = 1/2 ∑_i,j φ Ξ φ_S

d/dt (∂Ec/∂q_i') + ∂V/∂q_i - ∂D/∂q_i = Q

∂Ec/∂q_i' = ∑_i,j u_i x_i q_j' q_j'

Q = ∫δR/δq = F_nj

• variazione di quote del baricentro attesa coord. libera
• valutazione del punto, rappresentativa delle coordinate libere

RIGIDEZZA GENERALIZZATA

conviene sempre si prende una molla

SOUPLESSE

esiste solo se Δ l ≠ 0 e se Δ R_x / 9⁴ ≠ 0b se legame tra cinematismo tra Δ R e 9 è lineare"questo termine non c'è"

RICHAMO GRAVITAZIONALE

esiste solo se l₀ ≠ 0

Moto libero di un sistema vibrante a 1 gdl

eq d. Moto completa dell'oscillatore armonico

equazione differenziale dell 2 ordina lineare e a coeff. costanti

sistema sdompato forzato

mi*s x'' + v_x'+ kx =F(t)

F_i F_u F_e

m x'' + vx' + kx = 0 e questa equazione descrive il moto libero del sistemaossia il moto che il sistema compie in assenza di forzanti per effetto d. cond. iniziali

Moto libero non smorzato

si considera un sistema in cui sono nulli (o possono essere trascurati) gli effetti delle resistenze viscose, e quindi v = 0

m x'' + kx = 0

interpretare generale dell'eq. si ottiene come combinazione lineare di due sol. del tipo,

x = Ỹ e^λt, dove Ỹ ∈ C sono due costanti complesse da determinare.x = × e^λt x = 1x e^λtsostituendo e raccogliendo

(λ u + k x) e^λt = 0

Sol. valida Vt (no l'ho sul tempo)

assumendo x ≠ 0, dovrà essere

λ² u + k = 0 equ. caratteristica

l'andamento delle soluzioni, in questo caso immagine coniugate:

f_r = √π/ 2π

frenquenza(f_r)

Il sistema oscilla con questa pulsazione

x_{1, 2} = ± i√Ⓦ/ m = ± i √∆/ m

Ⓦ₀ = √πk

Pulsazione propria del sistema non smorzato

è una proprietà del sistema e dipende dalla massa e dall indentica persistente ridotte ed del riti di lavoro a

la soluzione dell’equazione differenziale di moto completa:

è data dalla somma dell’integrale generale dell’equazione

omogenea associata più un integrale particolare

della completa:

è noto che, a eccezione del caso di sistema completamente

privo di smorzamento, il moto libero del sistema risulta smorzato, con

o senza oscillazioni, ossia:

Il che significa che, dopo un tempo sufficientemente lungo, dei due termini

dell’equazione prevarrà l’integrale particolare x_p.

Per questo motivo è sufficiente calcolare che l’integrale particolare

rappresenta il moto a regime del sistema forzato, intendendo con questo

senza il moto che il sistema compie dopo aver esaurito la transitoria

iniziale che si determina nella fase iniziale del movimento, nella quale

il termine x_g non può essere trascurato.

ci sono diversi tipi di forzante che possono agire sul sistema:

Forzante costante

L'integrale particolare va cercato nella stessa forma della forzante, quindi:

si ottiene kx_o = fo → x_o = F_o/k

significa che sotto effetto di una

forza costante il sistema raggiungerà

una posizione di equilibrio

in cui la reazione statica della

molla equilibra la forza apente.

volendo determinare il movimento

del sistema prima del raggiungimento

della condizione di regime, è necessario

considerare l'interna soluzione (lib.^r x^rov)

C.T. x|t=0; x|t=0 = 0

Equazioni di Lagrange in forma scissa

Le stesse equazioni del moto possono ovviamente essere ottenute adottando un approccio lagrangiano in forma scissa utilizzando la seguente espressione:

(i = 1, m)

nel caso di un'esempio le varie forme di energia possono essere direttamente espresse in funzione delle coordinate indipendenti:

• E_c = 1/2 (m₁ + m₂) ẋ₁² + 1/2 (m₁ + m₂) ẋ₂², D = 1/2 c (x₂ - x₁)² + 1/2 r ẋ₂²

rispetto a x₁:

• d/dt (∂E_c/∂ẋ₁) = ∂E_c/∂x₁ + ∂D/∂x₁

• d/dt (∂E_c/∂ẋ₂) = - r₁₂ (x₂ - x₁) + k x₁ v₁ = f₁

rispetto a x₂:

• d/dt (∂E_c/∂ẋ₂) = ∂E_c/∂x₂ + ∂D/∂x₂

• d/dt (∂E_c/∂ẋ₁) = r₁₂ (x₂ - x₁) + v₂ ∂⁄26Ȧ₂₁/∂ẋ₂ - g₁

Il sistema può essere riscritto matricialmente come :

[M] ẍ + [C R] ẋ + [K] x = f

ossia:

[m 0][ẍ₁] [f₁] [0 m][ẍ₂] [f₂]

Dato che il sistema è dissipativo e perturbato nell'intorno delle posizioni di equilibrio stabile, le matrici [M], [C R], [K] sono simmetriche e definite positive e le associate forme di energia (forme quadratiche definite positive) sono esprimibili matricialmente come :

• E_c = 1/2 ẋ^T [M] ẋ

• D = 1/2 ẋ^T[C R] ẋ

• V = 1/2 x^T [K] x

• δ² k x = f x^o ẋ