Meccanica delle vibrazioni

Vibrazioni meccaniche - Un grado di libertà

La vibrazione è un moto oscillatorio che può essere generato da un sistema di forze in un fluido, in un solido deformabile elastico o in un sistema di corpi che possono essere deformabili oppure rigidi ma collegati tra loro da elementi elastici.

Le vibrazioni nei sistemi meccanici sono generalmente dannose perché generano sollecitazioni dinamiche che causano il fenomeno delle fatica, che riduce la resistenza dei materiali e accorcia la vita dei sistemi meccanici.

Le vibrazioni meccaniche sono regolate dallo scambio tra energia cinetica e energia potenziale trasformata all'interno dei sistemi, con l'intervento dei fenomeni di dissipazione che determinano lo smorzamento delle oscillazioni.

Perché un insieme di solidi o la parte di corpi possa compiere un moto vibratorio, è necessario che esso presenti una possibilità di deformazione elastica.

Le vibrazioni sono dette libere quando avvengono in assenza di forzanti per il solo effetto delle condizioni di spostamento e velocità imposte al sistema nell'istante iniziale del moto.

Sono invece dette forzate le vibrazioni che avvengono per effetto dell'azione di forzanti tempo-varianti applicate al sistema.

Sistemi vibranti a parametro concentrato

• Corpi rigidi o masse puntiformi, che determinano le forze inerziali associate al moto del sistema.
• Corpi elastici, di massa trascurabile, che determinano le forze elastiche sostituite dal sistema nel suo movimento.
• Elementi smorzati di massa trascurabile, che sono responsabili delle dissipature di energia che si produce nel moto del sistema.

La scrittura dei leggi di moto

Risolvendo con gli equilibri dinamici (mẍ+rẋ+kx=F(t))

Indice lezione: il primo grado di libertà

La vibrazione è un moto oscillatorio che può essere compiuto da un sistema dov...orre in un fluido, in un solido deformabile elastico o in un sistema di corpi che possono essere deformabili oppure rigidi ma collegati tra loro da elementi elastici.

Le vibrazioni nei sistemi meccanici sono generalmente dannose perché generano sollecitazioni dinamiche che causano il fenomeno delle fratture, che riduce la resistenza del materiale e accorcia la vita dei sistemi meccanici.

Le vibrazioni meccaniche sono generate dallo scambio tra energia cinetica e energia potenziale all'interno del sistema, con l'intervento dei fenomeni dissipativi che tendono a diminuire lo smorzamento delle oscillazioni.

Per poter affinché uno o più sistemi di corpi possano compiere un moto vibratorio, è necessario che esso presenti una possibilità di deformazione elastica.

Le vibrazioni sono dette libere quando avvengono in assenza di forzanti per il solo effetto delle condizioni di spostamento e velocità impresse al sistema nell'istante iniziale del moto.

Sono invece dette forzate le vibrazioni che avvengono per effetto dell'azione di forze tempo-variate applicate al sistema.

Sistemi vibranti a parametri concentrati

• Corpi rigidi, o masse puntiformi, che determinano le forze inerziali associate al moto del sistema.
• Corpi elastici, di massa trascurabile, che determinano le forze elastiche sviluppate dal sistema nel suo movimento.
• Elementi smorzanti di massa trascurabile, che sono responsabili delle dissipature di energia che si produce nel moto del sistema.

Scrittura dell'eq. di moto

Risoluzione con gli equilibri dinamici ( mx_.. + rx_. + kx = Fc(t) )

Risoluzione con l'equazione di Lagrange

d/dt (∂Ec/∂ẋ) - ∂Ec/∂x + ∂V/∂x + ∂D/∂ẋ = Q_x

Ec = 1/2 m ẋ² energia cinetica

V = 1/2 kx² energia potenziale

D = 1/2 c ẋ² funzione dissipativa

Q_x = ∂P_x/∂x

F(t) = 0

coppie un Lagrangiana delle forze esterne

mẍ + rẋ + ux = F(t)

come tutti gli approcci energetici, come tutte le metodologie di calcolo che discendono dal PLV, PLVDP ci permette di scrivere II eq. di modo puntuale

Trattazione generale

q⁹ coord. libere

ẍ, ẋ, X e acc. della coordinata libera

Ec₂ = 1/2 (uẋ_i q̇ⁱ q̇^j)

Vrx_A =Torsion

Lagrange

Q = ∫ δP_x/ δq̇ dt

l_s + l_d

γxθ

F(θ)

çit_ls

la lunghezza della molla all'istante limitato è l'incremento della lunghezza della molla scarica.

V_K = ¹/₂ k Δ _L² = ¹/₂ k (Δl₀ + Δd)²

V_J = mg l(1 - cosθ)

E_C = ¹/₂ (m ^l/_g + J)^θ2

Δd = ls_esug Ug = f ls_eiso

J θ̈ + kΔd l₀ l₀cosθ + kΔd f _eiso - mg f sinθ = 0

J θ̈ + kl₀ l₀cosθ + kl₀ f _ès - mg f l cosθ = 0

J θ̈ + kl₀ l₀cosθ + kl₀ f _escosθ - mg f cosθ = 0