Appunti Meccanica delle vibrazioni NVH - Parte 1

Oscillatore armonico

configurazione di partenza

configurazione deformata

eq del moto:

deflessione statica

eq statico

x_(t) = Ae^αt + ω_nAe^iω_nt = 0

∀t banale

quindi:

Per Eulero

cos(ω_nt + φ)

Problema di Cauchy

_X + ω_n²X = 0X(0) = X₀,_X(0) = _X0.

dove X(t₀) = X cos(ω_nt + φ)

Sostituendo:

X₀ = X cos(φ),

_X0 = - X ω_n sin(φ)

Da cui X e φ:

X² = X₀² + _X0² / ω_n²

tg(φ) = - _X0 / ω_nX₀

Grafico X(t) = X cos(ω_nt + φ)

con sfasamento φ = 0

T_n = _2π / _ωn periodo naturale

X(T_n) = X cos ( _2π / _ωn ω_n + φ ) = X cos(2π) = X

f_n = _ωn / 2π frequenza naturale

Se me prendessi in:

X₁ = X_n e

Sistemi a 1 gdl

1. Trave con massa esterna

L'analisi è valida se m_trave << m

Trasmissibilità al basamento:

1^x F(t) = F₀ cos(ωt)

La forza trasmessa è: T(t) = Cẋ + kx

dove X(t) = F₀/k G(iω) e^i(ωt+x)

T₀ = F₀/k G(iω)[iω + k] e^i(ωt+x)

Definizione la trasmissibilità: τ = |T|/F₀ = 1/k G(iω) Nk*ω_m² = G(iω) iλ*(ω²) =

τ = G(iω) + (2iω/ω_m) = 1 + (2 λ ω²/ω_m²)

τ[τ(λ,ω_m) = 1/(ω²/ω_m + 4λ²) (ω/ω_m)]

Nel punto più alto c'è la costante: 2(╳/k)ω_m] = c ω = 2 c ω/k 2k ωᵐ

2 c ω 2 ωᵐ/k m 2.ωᵐ ωᵐ gət

_{2 ωᵐ}

TW[x] = 1 [maxima trasmissione]

τ[ω–]

Per lavorare in I, mi serve una ω^m alta ℗ e ω/ω_m> 1.

Per lavorare in II, mi serve una ω^m basse ℗ ω/ω_m²

Perché lavorare in III?

poiché il range è più ampio, ampiezze minori, maggiore lontananza dalla risonanza.

Per farlo aumento la massa e riduco la rigiddezza delle molle

(riduci ω_m = √_k/m ).

Si presentano 3 casi:

1. whirling sinonimo con ω < ω_mx ∧ ω < ω_my ⇒ XY > 0

   il centro di massa e il rotore ruotano in concordanza

2. whirling asincrono: ω_m < ω < ω_mx o ω_m < ω < ω_my ⇒ XY < 0

3. whirling sincrono con ω > ω_mx ∧ ω > ω_my ⇒ XY > 0

Definito dal rotore:

Diagramma di Campbell

Descrive il comportamento dinamico dei rotori:

Nella realtà la linea della velocità critica si spostano per via degli effetti giroscopici alle f. alte

I punti d'incrocio sono quelli di risonanza, dove c'è amplificazione

Analisi del segnale

Riprova della serie di Fourier (strumento per passare da funzione periodica ad armonici)

b(t) = b(t+T) ∀t diventa b(t) = A₀ + ∑_n^∞ (A_n cos(n ω₁ t) + B_n sin(n ω₁ t)) periodica

dove T = 2π/ω₁ , ω₁ = 2π/T

Condizioni di Dirichlet:

• b(t) è limitata e assolutamente integrabile ⟺ ∫ | b(t) | dt < +∞
• numero finito di discontinuità su (0, T) ⟺ numero di estremi finiti su (0, T)

Se vogliamo poi scrivere b(t) come serie.

Ricaviamo coefficienti:

∫ b(t) dt = ∫₀^T b(t) dt = A₀ T

A₀ = 2/T ∫₀^T b(t) dt

A_n? Integno: b(t) cos(n ω₁ t) ∫ b(t) cos(n ω₁ t) dt = ∫₀^T (∫₀^T (A_n cos(n ω₁ t) + B_n sin(n ω₁ t)) cos(n ω₁ t) dt )

∫ b(t) cos(n ω₁ t) dt = ∑_n^∞ A_n I₁/2 A_n I₂

A_n = 2/T ∫₀^T b(t) cos(n ω₁ t) dt

Per B_n ricalcolo con sin(n ω₁ t) al posto del cos(n ω₁ t)

B_n = 2/T ∫₀^T b(t) sin(n ω₁ t) dt

Delta di Dirac

Ente matematico con le seguenti caratteristiche: δ(t)=0 ∀t ≠ 0 reale

Matematicamente e fisicamente non può esistere.

Ha le seguenti proprietà:

1. ∫_-∞^+∞ f(t₀) δ(t-t₀) dt = f(t₀)
2. ∫_-∞^+∞ δ(at) dt = 1/|a| δ(a)
3. ∫_-∞^+∞ e^iωt dt = δ(ω)

La delta relaziona il valore di f nel punto in cui si annulla la delta.

Trasformata di Fourier

δ(t) = ∑_i a_i e^iω_it dove a_i = 1/T ∫_-T/2^T/2 f(t) e^-iω_it dt e

*scrive in forma exp.

funzione periodica

sostituisco a_j, δ(t) = ∑_ω/2π ∫_-∞^+∞ f(t) e^-iωt dt e

se T→∞ ω_i→0 e la ∫ diventa ∑ Pon° ω_id_ωi = ω

Si ha:

δ(t) = 1/2π ∫_-∞^+∞ f(ω) e^iωt dω = 1/2π ∫_-∞^+∞ F(ω)^-iω dω

Dominio delle pulsazioni

Transformata di Fourier auto-transformata di Fourier

L'unità di misura della trasformata è dato da quella di partenza per unità di tempo (s).

Per avere nel dominio della frequenze continue ω→2πf e ha più senso fisico perché gli spettri si rappresentano in tale dominio

Doppia martellata

L'ingresso sia la sovrapposizione delle due martellate:

X_s(_t) = X_s(_t) X_s(_t-τ) = 2πƬ sinc (2πβƬ f) + 2π sinc (2πβƬ f) è

|X_s(_t)| = 2π Ƭ sinc (2πβƬ f) |1+e^-i2πβL|

modulodella singolamartellata

1+e^-i2πβL = |1+cos(2πβL)+i·sin(2πβL)| = 1+cos²(2πβL)+2 cos(2πβL) i·sin(2πβL)=2+2 cos(2πβL)

Quando cos(2π·βL)=0 ⇒ cos(·)=-1 ⇒ X_s(βL)=2

|1+e^-i2πβL|

2π βL = k 2πf=_k^L cos(·)=-1 ⇒ 2πβL=k π ⇒ β=_k^2L

|X₁+X₁|

dove si annulla la singola martellata

"l.r.čz' restituisce gli stessi valori anche dove non č campionata."

Come elimino l'aliasing?

Adotto un filtro analogico (i.digitali campionano e ho lo stesso problema) di tipo passa-basso che taglia le frequenze più alte di f_n/2 in quanto ěomar f_n/2 per il teorema di Nyquist-Shannon.Se per esempio campiono a 1000 Hz, tutto ciò che è maggiore di 500 Hz va tagliato altrimenti si va a sovrapporre creando aliasing.

Trasformata discreta di Fourier

Preso un segnale campionato x̂_n(t) = ∑_n=0^N-1 h(nT)δ(t-nT) = Ρ(t) Δ(t).Vorei osservare il segnale tra -∞ e +∞ ma non è possibile.Devo raccogliere una finestra temporale W(t) nella quale operare.

W(t) = {1 se 0