Meccanica delle strutture - appunti completi

MECCANICA DELLE STRUTTURE

STATICA E CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

Studiare come un corpo si trova in equilibrio a differenza di piccole cadute del moto dei corpi

DEI SISTEMI DI CORPI RIGIDI DI TRAVI E SISTEMA DI TRAVI schemi di travi e telai

RICHIMI DI ALGEBRA

Spazio ambientale ℰ (spazio euclideo) gli elementi di ℰ sono PUNTI

P, Q ∈ ℰ PQ → vettore Q

• → indica direzione
• Non è definita la somma tra punti P + Q

P - Q = V ∈ V ℝ³ (spazio di vettori)

Q + V = P

Pō = ōP

vettore posizione ∈ ℰ del punto P rispetto al punto O

Scelgo tre vettori di lunghezza unica tra loro ORTOGONALI e₁, e₂, e₃

O P = O P₁ + O P₂ = p₁ e₁ + e₂ p₂

p₁ e₁

p₂ e₂

p₁ e₁

p₁ e₁ + p₂ e₂

O P₁ p₁ e₁ p₂

e₁ e₂

p₁ e₁ p₂

e₁

p₁ e₁

SOMMA TRA VETTORI

a, b ∈ V

(a₁, b₂) → a + b

PROPRIETÀ:

1. a + b = b + a commutativa
2. a + 0 = a Vettore nullo esistenza dell'elemento
3. (a + b) + c = a + (b + c) associativa

Regola del parallelogramma

PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE

a ∈ V λ ∈ &Real; (numero)

(a) → a

e₃ × e₁ = e₂

e₂ × e₃ = e₁

a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃

b = b₁e₁ + b₂e₃

a × b = (a₁e₁ + a₂e₂) × (b₁e₁ + b₂e₂) =

a₁b₁ e₁ × e₁ + a₁b₂e₁ × e₂ +

a₂b₁ e₂ × e₁ + a₂b₂e₂ × e₂ =

= a₁b₂e₃ - e₂b₁e₃ = (a₁b₂ - e₂b₁) e₃

C. ⟂ ad a

|a| = |i₁|

a = ⍺₁e₁ + ⍺₂e₂

c = + ⍺₂e₂ + ⍺₁e₃

a ⟂ c

h = b · vers c

cos β = - ^b⁄_|b| · ^c⁄_|c|

h = |b| cos β = b vers c

conseguenze

r appartiene al piano

Q ∈ piano (Q_i ∈ piano)

m_r(a) e l al piano

momentulità le forze e al piano

1° assunto cinematico

ASSE CENTRALE DI UN SISTEMA PIANO

m_a(a) = m(a) + a ∧ t_z

È una retta  // al risultante detto ASSE CENTRALE

È una retta ⁄⁄ di risultante.

Gruppo dei punti rispetto ai quali il momento risultante è nullo.

ESERCIZIO

t = e₂

r₁₂ = - F e₁

r_h3 = F (e₁ + e₂)

A₀₄ = - F e₂₃

P₀ = (L, 0)

t_l = h₁ + h₂ + h₃ + h₄ = F (-2e₁ + e₂) + F e₁ + F (e₁ + e₂)

      = F e₁

    = (-2 F + F + F) e₁ + (F + F - F) e₂ = F e₂

d/dt [ρ(a,t)] = ∇(p,t) - ∇(p,t)

ρ'(u,t) = ∇ρ(a,t) - ∇ρ(u,t)

= ρ B(t)

ρ B(t) = cost

*RICORDA

d/dt [ P A(t), P B(t), P C(t)] = cost

calcoliamo ad esempio

d/dt P A(t), P B(t), P C(t) = 0

derivata al costante

d/dt P A(t)

*RICORDA

d/dt [f(x)g(x)]

= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

velocità relativa di I rispetto a P

*RICORDA

[ a, b] = 0

*RICORDA

a, b = 0

quando a b sono = 1

∇ρ(a,t) · Pρ(a,t) = 0

v_r = ∇ρ(a,t)

*ESEMPIO

∇(p) = 0

*RICORDA

Sfruttiamo questo per...

∇(a,t)

per non far dell'errore per V deve essere perfettamente cadere

V(a,t) = w(t) × P B(t)

(<∇(a,t))

P B(t)

*RICORDA

V I(a,t) = V I(a,t) - V I(p,t) = V_p(a,t)

w =

∇ V(a,t) = ∇ V(a,t) - ∇ V(p,t) - L

= L

ω L(t)

v P(a,t) - V P(a,t) = w(t) × P B(t) - ∇ ρ(p,t)

FORMULA DI RAPPRESENTAZIONE DELLE VELOCITÀ DI UN CORPO RIGIDO

∇ V(a,t) = ∇ V(p,t) + ω(t) × P B(t)

ω è VELOCITÀ ANGOLARE

Componenti

Comp. Rotazionale

Componenti Traslazionale

Componente

(ω)

Componente

Traslazione

Componente

Relative delle

velocità

POTENZA DI UN SISTEMA DI FORZE E COPPIE

S = ⎨(P_i, F_i)

u = 1,2,...,N (Q_i, C_j); j = 1,2,...M⎬

Π(S)[ν,ω] = Σ⎜C_i ω⎜

= Σ F_i · v(P₀) + Σ⎛P₀P_i × F_i⎞ · ω + Σ C_j · ω

= r_c · v(P₀) + m(P₀) · ω

VARIABILI CINEMATICHE ⎛v(P₀), ω⎞ sono coniugate

SISTEMA BILANCIATO

Un sistema S di forze e coppie è bilanciato se spende potenza

nulla per ogni atto di moto rigido.

Un corpo soggetto ad un sistema bilanciato è in EQUILIBRIO

VINCOLI PIANI

Cerniera

V(P) = V(A) + we₃ ∧ AP²

→ c_A = 0

Molteplicità 1: il numero di componenti scalari reduttive

m = 2

Carrello/Pendolo

Nota: impedito. Traslazione verticale

m = 1

stampo le parti in cui cerco le reazioni

Vincolo in A:

Impedisce traslazione orizzontale

→ reazione deve essere verticale

V₁(A) = V₂(A) e₂

V(B) = V₁(A) + w e₃ x AB =

= V₁(A) e₂ + w e₃ x l e₁

= V₁(A) e₂ + w l e₃

= V₁(A) e₂ + w l l e₂

= (V₁(A) + w l) e₂

Vincolo in B:

impedisce trasl verticale

V(B) e₂ = 0

⇒ V₁(A) + w l = 0 V₁(A) = – w l

V(D) = V₁(A) – w e₃ x AP

= – w l e₂ + w e₃ x AP

atto di moto compatibile con i vincoli

π_coppie = π C. W

V_c = – w l e₂ + w e₃ x AP

= – w l e₂ + w e₃ x l e₂

= – w l e₂ + w l e₃ x l e₂

= – w l e₂ + w l² e₂

= – w l² e₂

(3) => T_C2 = E₄

(4) => T_C1 = T_C2 = E₄

(2) => T_A2 = T_C2 = T_A2 = E₄

(4) => T_A1 = E = -3₄ = -3₄

questi sono quelli che ottengo

Esercizio

4 incognite = 4 equaz.

3 globali + 1 parziale

Equilibri globali

T_A1=0

①

T_A2+T_C2-F=0

②

m(A)= T_C2*L = -F₂+C_A = 0

③

Equilibrio parziale

Vincolo in B:

consent mod. verticale

=>(cinchiederimom parz. 3 mod. verticale)