Meccanica delle strutture - appunti completi

MECCANICA DELLE STRUTTURE

STATICA E CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

Studiare come un corpo si trova in equilibrio a differenze di quale condizione

• del moto
• dei corpi
• dei sistemi di corpi rigidi
• di travi e sistema di travi
• schemi di travi e telai

RICHAMI DI ALGEBRA

Spazio ambientale (spazio euclideo) gli elementi di sono PUNTI

• P, Q ∈
• P - Q = ^{(V spazio di vettori)}
• Q + ^{(V spazio di vettori)} = P

Origine P

PO = ^{(vettore posizione di V del punto P rispetto al punto O)}

Scelgo tre vettori di lunghezza univoca tra loro ORTOGONALI: e₁, e₂, e₃

_→ indica direzione

Non è definita la somma tra punti P + Q

MECCANICA DELLE STRUTTURE

STATICA E CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

• Studiare come
• un corpo si trova
• in equilibrio a
• di fronte a
• sollecitazione

• del moto
• dei corpi
• dei sistemi di corpi rigidi
• di travi e sistema di travi
• schemi di travi e telai

RICHAMI DI ALGEBRA

Spazio ambientale (spazio euclideo)

gli elementi di sono PUNTI

P, Q ∈

P - Q = ∈ ∈ V (spazio di vettori)

Q + V = P

P ₀ = O^B

vettore posizione del punto P rispetto al punto O.

Scelgo tre vettori di lunghezza univoca tra loro ORTOGONALI e₁, e₂, e₃

OP̅̅ = OP̅̅₁ + OP̅̅₂ = ρ₁e₁ + e₂ρ₂

OP̅̅ = ρ₁e₁

e₁ e₂ versori

ρ₁ ρ₂ componenti

ρ₁ e₁ + e₂ ρ₂ che

ha per origine

O = {0, e₁, e₂}

OP̅̅ = ρ₁ e₁ + ρ₂ e₂ + ρ₃ e₃

OP̅̅ = 4e₁ + 2 e₂

SOMMA TRA VETTORI

a̅ b̅ ∈ V

(a̅, b̅) a̅ + b̅

PROPRIETÀ

1. a̅ + b̅ = b̅ + a̅ commutativa

2. a̅ + 0̅ = a̅ ↚ vettore nullo

esistenza dell'elemento

3. (a̅ + b̅) + c̅ = a̅ + (b̅ + c̅) associatività

PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE (numero)

a̅ ∈ V λ∈ℝ

(λ, a̅) λ a̅

Regola del parallelogramma

PROPRIETÀ

a, b ∈ V

α, β ∈ ℝ

1. α(βa) = (αβ)a
2. α(a + b) = αa + αb
3. (α + β)a = αa + βa

OPERAZIONI TRA VETTORI

∀3 (a, b) → a ⋅ b ∈ ℝ

Proprietà

1. a ⋅ b = b ⋅ a
2. a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
3. α(a ⋅ b) = (αa) ⋅ b
4. a ⋅ a ≥ 0
5. a ⋅ a = 0 ↔ a = 0

ORTOGONALITÀ

a e b sono ortogonali (⊥) se e soltanto se a ⋅ b = 0

MODULO (= lunghezza)

|a| = √(a ⋅ a)

VERSORE

vers_a = a / |a|

|vers_a| = 1

ANGOLO TRA DUE VETTORI

cosθ = ^a/_|a||b| · versₐ·vers_b

θ = arccos(versₐ·vers_b)

â = 4e₁ + e₂

b̅ = 2e₁ + 3e₂

Modulo (lungh) di â

|a| = √a·a = √(i e₁ + e₂)·(4e₁ + e₂)

= √(16e₁ e₁ + 4e₁ e₂ + 4e₁·2e₂ + e₂ e₂)

= √(16 + 1) = √17

|b|

|b̅| = √b·b = √(2e₁ + 3e₂)·(2e₁ + 3e₂)

= √(4 + 9) = √13

·b̅

·b̅ = 4e₁ e₁ + 2e₁ e₂ + 2e₂ + 3e₂ = 6e₁ + 4e₂

ANGOLO TRA

(^â/_|a|)(^b/_|b|) = (^{4e₁ + 1 e₂}/_√17)(^{2e₁ + 3}/_√13)

= ¹¹/_√17√13 = 0,74

cosθ = 0,74

θ = arccos(0,74)

Prodotto Vettoriale

a, b → a × b

Proprietà

1. a × b = - b × a (anticommutativa)
2. (λa) × b = (a × λb) = λ(a × b)
3. a × (b + c) = a × b + a × c
4. (a × b) × c + (c × a) × b + (b × c) × a = 0 Identità di Jacobi

Parallelismo

a ∼ b ⇔ a × b = 0 a × a = 0 a × b

• verso mano dext.
• Direz. ⊥ piano di a e b
• lungh.(modulo) = area del parallelogr. di lat. a e b

e₁ × e₂ = e₃

e₃ × e₁ = e₂

e₂ × e₃ = e₁

a = a₁e₁ + a₂e₂ + a