Meccanica dei solidi

Teoria dell'elasticità

Analisi della tensione (equilibrio)

Analisi della deformazione (congruenza) e legame costitutivo (materiale).

Teoremi energetici

Solido di de Saint Venant

• Sforzo normale
• Flessione
• Torsione
• Taglio

Aspetti complementari

• Criteri di resistenza
• Stabilità di semplici solidi

Teoria dell'elasticità

Analisi della tensione (equilibrio)

Analisi della deformazione (congruenza) e legame costitutivo (materiale).

Teoremi energetici

Solido di de Saint Venant

• Sforzo normale
• Flessione
• Torsione
• Taglio

Aspetti complementari

• Criteri di resistenza
• Stabilità di semplici solidi

Meccanica: studio del moto

• Cinematica: descrizione del moto, x, v, a
• Statica: cause di assenza del moto
• Dinamica: cause di presenza del moto

Si definiscono solidi continui se ∀ A,B ∈ Ω esiste una spezzata di punti interni che li unisce. Si definisce solido monoconnesso se ∀ θ interna al solido, essa contiene solo punti interni al solido Ω.

Solido continuo

Solido monoconnesso

Analisi della tensione

Forze di volume

f̅(x,y,z) = forze di volume o forze a distanza f(x,y,z) ha unità di misura [F/L³] ossia forze per unità di volume. La forza peso e la forza centrifuga sono un esempio di questo tipo di forze.

Forze di superficie

F̅(x,y,z) = forze di superficie o di contatto F(x,y,z) ha unità di misura [F/L²].

Condizioni di equilibrio

1. ∫_Ω 𝜌(x,y,z) dv + ∫_∂Ω 𝛔(x,y,z) ds = 0  // Equilibrio alla traslazione ∂Ω è la frontiera del solido Ω
2. ∫_Ω 𝜌(x,y,z) x r̅ dv + ∫_∂Ω 𝛔(x,y,z) x r̅ ds = 0  // Equilibrio alla rotazione Σ 𝜏 = 0 Σ M₀ = 0

Principio di Eulero e forze interne

R̅_A + R̅_B = 0

M_A + M_B = 0

Il principio di Eulero afferma che se Ω è in equilibrio in ogni sua parte, Ω è in equilibrio. In genere R̅_A ≠ 0 e M_A ≠ 0 ⇒ Nella risultante mancano delle forze, ossia le forze interne. Esistono quindi ulteriori forze che agiscono sulla superficie di punti interni, dette forze di superficie interne, o meglio tensioni, \( \vec{P_A} + \vec{P_A} = 0 \)

\( M_A + \vec{M_A} = 0 \)

\( P_A \) = risultante delle tensioni sulla faccia \( M \) = momento risultante delle tensioni agenti sulla faccia di \(|M| = F \cdot b\)

\(\begin{cases} \vec{P_A} = -\vec{P_B} \\ \vec{M_A} = -\vec{M_B} \\ \end{cases}\) ⇒ \(\begin{cases} \vec{P_A} = \vec{P_B} \\ \vec{M_A} = \vec{M_B} \\ \end{cases}\)

Vettore tensione totale

Se scelgo un certo ∆S, ad esso corrisponderà un certo ∆P e un certo ∆m. Effettuiamo il calcolo al limite.

lim_|∆S|→0 ∆P/|∆S| = t_n  // Forza di superficie interna. Tensione totale.

lim_|∆S|→0 ∆m/|∆S| = 0

Scegliamo questa condizione considerando solo materiali di Cauchy. I materiali che non rispettano questa condizione vengono chiamati materiali di Cosserat.

t_n(x,y,z,n_x,n_y,n_z)

La dipendenza da n_x,n_y,n_z sta a indicare che se cambio inclinazione del piano cambia anche t_n.

t_n(x,y,z,n_x,n_y,n_z): stato di tensione di un solido Ω.

Decomposizione

Decomponiamo nel riferimento locale seguente: Tensione normale, Tensione tangenziale. Le tensioni normali "in un punto" non hanno senso, poiché è necessario definire una normale.

Equilibrio locale - Teorema del tetraedro di Cauchy

t_n = (t_nx t_ny t_nz)

t_x = (t_xx = σ_xx t_xy = σ_xy t_xz = σ_xz)

t_y = (t_yx = σ_yx t_yy = σ_yy t_yz = σ_yz)

t_z = (t_zx = σ_zx t_zy = σ_zy t_zz = σ_zz)