Meccanica dei solidi - Ruta

MECCANICA DEI SOLIDI

CINEMATICA DELL’ATTO DI MOTO RIGIDO

Un qualunque sistema meccanico occupa spazio con una certa configurazione geometrica, che

può cambiare nel tempo dando vita ad un trasporto. Un insieme di trasporti, parametrizzato

nel tempo, viene chiamato moto. In questo corso ci affideremo alla descrizione euleriana del

moto: partendo da una configurazione geometrica di riferimento ad un certo istante t,

dovremo capire la configurazione geometrica all’istante t+dt.

Sapendo che la velocità corrisponde alla variazione istantanea della configurazione

spaziale, possiamo definire l’atto di moto come la distribuzione delle velocità di ogni punto

appartenente ad un certo sistema meccanico in movimento, ossia la fotografia dei punti del

sistema meccanico ad un certo istante t ciascuno con la propria velocità.

Si chiama atto di moto rigido, un atto di moto in cui, ponendosi solidali al corpo in

movimento, si ottiene atto di moto nullo. Questa condizione si traduce nell’affermare che,

presi due punti qualsiasi appartenenti ad uno stesso corpo, la loro distanza rimane invariata

nel tempo. In pratica non si hanno deformazioni e quindi l’atto di moto rigido è neutro, cioè

non comporta alcuna spesa di energia.

In un ambiente tridimensionale, un atto di moto rigido può essere composto, al più, dalla

somma di una traslazione (campo uniforme di vettori) e di una rotazione. La traslazione è

un campo uniforme di vettori, mentre la rotazione viene descritta grazie alla matrice

ortogonale di rotazione R: −1

= = → =

proprietà di ortogonalità

Se la rotazione dipende dal tempo, possiamo derivare la prima espressione della proprietà

di ortogonalità:

̇ ̇ ̇ ̇ ̇

̇

[() () ()

()] = = 0 → () + () () =0 → () = −() ()

Abbiamo definito, in questo modo, l’operatore antisimmetrico (diagonale principale

̇ ().

= ()

formata da zeri ed elementi fuori diagonale opposti rispetto ad essa)

̇ ̇ ̇

() () ()]

= () = −() = −[() = −

proprietà di antisimmetria 1

⃗⃗⃗

Per ogni operatore antisimmetrico esiste un vettore assiale dello spin, o velocità angolare

⃗⃗⃗

= ×

applicazione del vettore di spin

Fissando un istante t e considerando un trasporto rigido di due punti qualunque O e P

appartenenti ad un corpo, si ha: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

′ ′ ()

‖ ‖ = ‖′′ ‖ ⟹ = ()

conservazione della distanza

Anche se il vettore ha cambiato il punto d’origine, la freccia non si è allungata

(conservazione della norma) e quindi rispetto al vettore di partenza è cambiata solamente

l’orientazione, descrivibile con la matrice di rotazione.

Considerando l’origine del primo vettore si ha:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

′ ′ ′ ′ ′

() () () ()

= + = + ()

Effettuando la derivata si ottiene la velocità con cui P’ e O’ tendono a muoversi nel tempo

rispetto all’origine fissa O, mentre per l’ultimo termine bisognerà riutilizzare la formula

tirata fuori con la conservazione della distanza:

̇ ̇ ̇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

′ ′

()] ()]

[ = [ + () ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

̇

′ ′ ′ ′

) )

{ ⟹ ( = ( +

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

−1

′ ′ ′ ′

() () ()

= = ()

Quest’ultima formula è quella che descrive il campo spaziale delle velocità in un atto di

̇

=

moto rigido, dove riconosciamo l’operatore antisimmetrico , che ovviamente può

essere sostituito con la velocità angolare. Generalizzando la formula a due punti O e P si ha:

⃗⃗⃗⃗⃗

() = () + ×

Equazione di Euler (velocità)

se moltiplichiamo per dt si ottiene una formula analoga per gli spostamenti:

⃗⃗⃗⃗⃗

() = () + ×

Spostamenti virtuali infinitesimi = 0)

Se la velocità angolare è nulla ( allora il moto è puramente traslatorio, visto che si

() = ();

ottiene la condizione ma lo stesso accade se si scelgono due punti gene/*rici

⃗⃗⃗⃗⃗

tali che è parallelo a . 2

In quest’ultimo caso tutti i punti che giacciono su rette parallele alla direzione individuata

() = 0,

dal vettore velocità angolare avranno la stessa velocità ed in particolare, qualora

tutti i punti della retta parallela a hanno velocità nulla e tale retta viene chiamata asse

istantaneo di rotazione.

L’aggettivo istantaneo serve ad indicare che stiamo osservando il sistema a un istante t

fissato, ma all’istante immediatamente successivo l’atto di moto, inteso come distribuzione

spaziale delle velocità di tutti i punti del sistema, potrebbe essere completamente diverso.

In generale, per lo spazio tridimensionale vale il teorema di Mozzi: ogni atto di moto rigido

in spazio ambiente tridimensionale è elicoidale, composizione di una rotazione e di una traslazione.

Esisterà, quindi, la retta introdotta poco fa, detta asse del moto (o asse di Mozzi) luogo dei

punti con velocità minima, in cui vale la seguente proprietà:

() ∙ = () ∙

conservazione della componente lungo

ogni punto conserva la stessa componente di velocità lungo la direzione dell’asse di moto e

tale componente è detta velocità di traslazione.

Questo significa che in un atto di moto rigido ogni punto generico P possiede due

componenti di velocità: una costante in direzione dell’asse di moto e una variabile

linearmente nel piano ortogonale a tale asse, poiché ω in un atto di moto rigido è costante

()

ovunque, per cui cresce all’aumentare della distanza di P da O.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

() ∙ = () ∙

conservazione della componente lungo OP

Questa relazione è sempre verificata in un atto di moto rigido, perché i punti O e P non

possono allontanarsi o avvicinarsi, ma devono per definizione conservare la loro distanza.

3

In ambiente 3D l’atto di moto rigido è descritto da 6 parametri lagrangiani, ossia le 3

() ;

componenti di e le 3 componenti di mentre in ambiente 2D l’atto di moto rigido è

()

descritto da 3 parametri lagrangiani, che in questo caso sono 2 componenti di e 1

:

componente di in 3D si hanno 6 gradi di libertà, mentre in 2D si hanno 3 gradi di libertà.

Nell’ambiente bidimensionale non possono coesistere rotazione e traslazione:

Mentre nello spazio avevamo un asse di istantanea rotazione, nel piano può esistere

solamente un centro di istantanea rotazione (CIR), che rappresenta l’intersezione tra l’asse

di istantanea rotazione ed il piano in cui avviene il moto: è l’unico punto a velocità nulla

() = 0, mentre i punti attorno ad esso avranno una velocità che cresce linearmente con la

distanza dal centro C, come visto in precedenza.

Se il CIR si trova nel piano, allora avremo un moto rotatorio; se il CIR tende ad allontanarsi

all’infinito, la distribuzione di velocità tende sempre più ad uniformarsi, finché non si passa

effettivamente ad una distribuzione uniforme, che corrisponde al moto traslatorio. In

pratica possiamo considerare la traslazione come una rotazione attorno ad un punto

improprio (cioè situato all’infinito).

Teorema di Chasles: in un atto di moto rigido piano, conoscendo le direzioni delle velocità di due

punti generici P e Q, è possibile determinare il centro di istantanea rotazione C. 4

Dall’equazione di Euler per le velocità, abbiamo che:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

() = () + × ⟹ () = ×

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

() = () + × ⟹ () = ×

Essendo un prodotto vettoriale, per entrambi i punti vale che le direzioni dei due vettori che

collegano C ai punti P e Q, dovranno essere ortogonali (nel piano) alle direzioni delle

velocità dei punti stessi, oltre a passare per essi: rimane così univocamente individuato il

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

centro di istantanea rotazione C, grazie all’intersezione di e .

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Se e si intersecano in un punto nel piano, allora l’atto di moto è rotatorio; se e

sono parallele e si intersecano in un punto improprio all’infinito, allora l’atto di moto è

traslatorio. ,

Le direzioni delle velocità, però, non bastano per conoscere anche il modulo di la cui

direzione è fissa ed è perpendicolare al piano del moto, mentre il verso dipenderà dai versi

delle velocità di P e Q. Per questo motivo è necessario conoscere almeno uno dei due vettori

() ()

velocità o se vogliamo conoscere completamente la velocità angolare.

, (),

Per trovare il modulo di date tutte le componenti di è sufficiente applicare la

formula di Euler, passando ai moduli: ()

⃗⃗⃗⃗⃗

() = × → () = ∙ → =

()

Per il verso ci si basa sul verso di come si può osservare graficamente.

Quando definiamo un atto di moto rigido, c’è sempre un osservatore fisso rispetto al quale

calcoliamo tutte le quantità e tale osservatore viene chiamato telaio: corpo, regione o sistema

rispetto al quale si riferisce tutto il moto. 5

Teorema delle catene cinematiche di Kennedy (1° parte): due corpi in atto di moto rigido piano

hanno tre centri di istantanea rotazione, due assoluti e uno relativo, allineati tra loro.

Se le velocità angolari dei due corpi sono discordi (girano in sensi opposti), il centro relativo

si trova in mezzo ai due centri assoluti; viceversa se sono concordi (girano nello stesso

senso), il centro relativo si trova all’esterno dei due centri assoluti.

Teorema delle catene cinematiche di Kennedy (2° parte): tre corpi in atto di moto rigido piano

hanno sei centri di istantanea rotazione, tre assoluti e tre relativi. Non solo i centri assoluti e relativi

di ogni coppia sono allineati, ma lo sono anche i tre centri relativi. 6

Per riuscire a descrivere un atto di moto rigido di un qualunque sistema (piano), bisogna

avere un certo numero di informazioni. Vediamo le modalità principali:

 3 componenti di velocità di 3 punti non allineati, tutte nella stessa direzione;

 La velocità di un punto P e la velocità angolare ω;

 La velocità di un punto P e la componente di velocità di un altro punto Q

Possiamo dare una schematizzazione del terzo caso, considerando come sistema un

semplice quadrato e i suoi vertici P e Q:

Si può notare come nel caso a sinistra le informazioni date siano indipendenti, ossia

totalmente scollegate tra loro e quindi sufficienti a poter trovare il CIR incrociando le due

() e ()

ortogonali alle direzioni delle velocità e a disegnare il diagramma delle velocità;

mentre nel caso a destra le informazioni sono dipendenti, ossia direttamente collegate ed in

particolare possiamo osservare come le due direzioni di velocità date siano parallele, per

cui le due rette perpendicolari passanti per il punti sono coincidenti! In questo caso non

abbiamo informazioni sufficienti per poter capire se il moto è rotatorio o traslatorio e per

descrivere l’atto di moto rigido abbiamo bisogno di un’informazione aggiuntiva.

Per poter descrivere un atto di moto rigido è necessario definire dei parametri lagrangiani,

ma sfruttando la formula di Euler è abbastanza immediato osservare come, nel piano, la

scelta più semplice ricada sulle due componenti di velocità di un generico punto Q e sulla

velocità angolare ω. In particolare, riferendoci alla base canonica, si possono definire in

questo modo: ̇ = () ∙

1 1 () = ̇ + ̇

1 1 2 2

̇ = () ∙

{ →

2 2 = ̇

3 3

̇ = ∙

3 3

Queste informazioni sono tra loro indipendenti e quindi possono descrivere completamente

l’atto di moto rigido di un sistema: il punto Q è un punto qualunque appartenente a tale

corpo e quindi per semplicità conviene sempre sceglierlo in maniera opportuna. Nel caso

del quadrato in precedenza, per esempio, potevamo considerare il vertice in basso a sinistra

in modo che le componenti di velocità coincidessero con quelle lungo ed coerenti con

1 2

i lati del quadrato. L’ultima componente è ω perché sappiamo già che è ortogonale al piano.

7

Riconsideriamo la lamina quadrata, di lato l, scegliendo come punto Q il vertice in basso a

sinistra e vediamo come è possibile trovare la velocità del centro C sfruttando la

parametrizzazione lagrangiana appena introdotta: ⃗⃗⃗⃗⃗

() = () + ×

formula di Euler

( )

() = ̇ + ̇ + ̇ × ( + )

1 1 2 2 3 3 1 2

2 2

() = ̇ + ̇ + ̇ − ̇

1 1 2 2 3 2 3 1

2 2

Da cui abbiamo ricavato la velocità del centro in funzione dei tre parametri lagrangiani:

() = ( ̇ − ̇ ) + ( ̇ + ̇ )

1 3 1 2 3 2

2 2

Non essendoci alcun vincolo sulla lamina quadrata, il suo atto di moto NON è

univocamente determinato; infatti non abbiamo alcuna informazione sui valori assunti dai

( ).

̇ , ̇ , ̇

tre parametri lagrangiani Questo significa che essi potrebbero assumere un

1 2 3 3

∞

qualunque valore che va da -∞ a +∞ e che quindi è possibile assegnare numeri

compatibili con l’atto di moto rigido del sistema.

L’obiettivo sarà quello di ottenere dei sistemi che ammettano un unico atto di moto rigido

e che quindi ad uno spostamento in ingresso facciano corrispondere un solo spostamento in

uscita: senza vincoli un corpo nel piano ha 3 gradi di libertà (DOF), quindi il nostro

obiettivo sarà di imporre sul corpo o sul sistema un pari numero di gradi di vincolo (GDV)

per poterlo controllare univocamente.

Introduciamo, allora, il vincolo più semplice che tratteremo, chiamato pendolo o biella:

Questo vincolo controlla lo spostamento

relativo tra i suoi estremi P e S: il punto P

appartiene al sistema meccanico, mentre il

punto S appartiene al telaio.

Tale vincolo può essere espresso in termini di

posizione: ⃗⃗⃗⃗⃗

‖ ‖ =

Oppure, derivando, si può esprimere in

termini di velocità:

̇

̂

[() − ()] ∙ = 8

L’ultima scrittura significa che la velocità relativa di P rispetto ad S, lungo la direzione che

̇

va da S a P, è fissa e pari ad una certa quantità nota. L’equazione scritta mette in relazione

tra loro i tre parametri lagrangiani, costituendo pertanto un solo grado di vincolo, che verrà

pertanto sottratto ai 3 gradi di libertà di cui godrebbe il corpo nel piano se non fosse

vincolato. Esistono anche dei vincoli che inchiodano più di un grado di libertà (vincoli

multipli) e che quindi presenteranno 2 o più equazioni di vincolo.

Considerando sempre la stessa lamina quadrata, cerchiamo di capire in che modo vengono

vincolati i parametri lagrangiani (e quindi i gradi di libertà) aggiungendo bielle: () = 0

per comodità di calcolo, imponiamo che

(visto che appartiene al telaio fisso) in modo da

semplificare la formula del vincolo:

̇

̂

() ∙ =

con ⃗⃗⃗⃗⃗

() = () + × ( ) ( )

= ̇ + ̇ + ̇ ×

1 1 2 2 3 3 1

= ̇ + ̇ + ̇

1 1 2 2 3 2

= ̇ + ( ̇ + ̇ )

1 1 2 3 2

√2

̂ ( )

= −

1 2

2

̂

Il verso di è, per la definizione di vettore, quello che va da S a P, ma per comodità

conviene sempre scriverlo nel verso concorde a quello della velocità del vincolo.

√2 ̇ √2̇

( )

̇ + ( ̇ + ̇ ) ] ∙ − = → ̇ − ̇ − ̇ =

[

1 1 2 3 2 1 2 1 2 3

2

Spesso conviene scrivere il versore concorde alla freccia che indica il cedimento vincolare

così si evita anche di mettere il ‘-‘, ma dipende da caso a caso.

Abbiamo ottenuto un’equazione di vincolo, che mette in relazione i tre parametri

lagrangiani; per cui adesso solo due parametri possono essere assegnati liberamente, mentre