Meccanica dei solidi - appunti del corso completi con esercitazioni

APPUNTI DEL CORSO DI

MECCANICA DEI SOLIDI

PER INGEGNERIA ENERGETICA

SCAGLIONE N-Z

ANNO 2014 - 2015

*ATTENZIONE: questi appunti sono esclusivamente per uso personale e non vogliono essere in alcun modo intesi come una sostituzione alle lezioni del prof. Bruggi.

Possono essere utili per confrontare i propri appunti e per un ripasso finale prima dell'esame.

Non mi assumo nessuna responsabilità per eventuali errori.

In bocca al lupo.

G.D.

Calcolo Vettoriale

Proiezioni dei vettori sui tre assi x, y, z

Somma

a + b = (a_x+b_x)i + (a_y+b_y)j + (a_z+b_z)k

Differenza

a - b = a + (-b)

È un tipo particolare di somma utilizzando -b cioè il vettore opposto

Stesso modulo stessa direzione verso opposto

Prodotto Scalari

a · b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = valore scalare

= a b · cos α

α = angolo compreso tra assi

Può essere sfruttato come "test di ortogonalità" per vettori

se a · b ⇔ a² · b = 0 perché cos 90° = 0

Vincoli Interni

È un vincolo che collega due aste le proprietà dei vincoli sono analoghe

1. Cerniera Interna2GV_W12 ⟶ CIR relative
2. Pattino Interno2G.V._W12(∞)piano di sconfinemento
3. Manicotto Interno2G.V._W12(∞)piano di sconfinemento
4. Carrello Interno1G.V._W12asse è il luogo dei possibili CIR

Vincoli Multipli

G.V.2 x (M - 1)

G.V.2n -1

QUADRILATERO ARTICOLATO

4 ASTE x 3 = 12 GdL liberta'

6 CERNIERE x 2 = 12 GdL

Potenzialmente isostatica

equivalenza cinematica:

la congiungente delle cerniere CIR è l'asse del carrello che vado a sostituire

WARNING: ricordarsi ed evidenziare sempre chi collega cosa

equivalenza cinematica:

il punto di intersezione dell'asse dei due carrelli è del CIR di una cerniera.

1. Asse Carrello 1
2. Asse Carrello 2

∃ CIR

ARCO A TRE CERNIERE NON ALLINEATE

C.V.

se le cerniere non disposte male...

LABILE

perché esiste CIR → ∞

Azioni interne

Sono le componenti delle sollecitazioni che due parti di struttura si scambiano globalmente attraverso una generica sezione.

• Azione assiale N
• Azione tagliante T
• Momento flettente M

Calcolare le azioni interne

• Σ_FT = 0 equilibrio alla traslazione in direzione tangente all’asse
• Σ_FN = 0 equilibrio alle traslazioni in direzione normale all’asse
• Σ_MS = 0 equilibrio alle rotazione attorno al baricentro della sezione S

Convenzione di segno

• N → Tirante
• T → Rotazione oraria
• M nel tracciare il diagramma, lo si disegna dalla parte delle fibre tese

Il momento è adimensionale e lo disegno o sopra o sotto in base alla convenzione.

TENSORE DEGLI SFORZI

σ_ji = σ_ij

σ = σ^T

σ_n = σ^T·n = σ·n

det |σ - θI| = 0

con i valori principali σ_I, σ_II, σ_III

Stato di sforzo di taglio puro

|σ₁₂| = |σ₂₁|

σ₁₂

σ₁₂ - crepa possibile direzione

Equazione indefinita di equilibrio di un continuo

• f = forze di superficie
• F = forze di volume

Consideriamo un ΔV le cui superfici sono ΔS sul cubetto agisce una F di volume e uno sforzo σ_N di azione/reazione

∫_ΔV f dV + ∫_ΔS σ_N dS = 0

La forza varia in ogni dv di ΔV

DisequilibrioEquazione alla traslazione

[σ_N = σ · M (Th. Cauchy)]

Configurazione iniziale

V₀ = d x_I · d x_II · d x_III

V

Rototraslazione

Coefficiente di dilatazione volumetrica

ΔV = ^{V - V₀}/_V0

d x_I (1 + ε_I)

x' -^infinetimi, trascurabili

ε = e I + M

e = ¹/₃ tr ε = ¹/₃ I₄

ε = [ e   e/e   e ] + [ ε11 - e   ε12   ε13 ε21   ε22 - e   ε23 ε31   ε32   ε33 - e ]

• Parte isotropa responsabile dei cambiamenti di volume
• Parte deviatorica responsabile dei cambiamenti di forma

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MATERIALE POLIMERICO

σ_t

ε₁ ε

• Suppongo un legame elastico non lineare
• Rimuovendo il carico si torna indietro seguendo la curva

W ≠ W* Aree diverse

σ_ij = D_ijkl ε_kl

Notazione di Voigt

6      21      6

• [σ₁₁]
• [σ₂₂]
• [σ₃₃]
• [σ₁₂]
• [σ₂₃]
• [σ₁₃]

=

[_{D1111 D1122 D1133   ... D2222 D3333}]

6x6

• [ε₁₁]
• [ε₂₂]
• [ε₃₃]
• [ε₁₂]
• [ε₂₃]
• [ε₁₃]

MATERIALE ELASTICO LINEARE ISOTROPO

Hanno lo stesso comportamento in tutte le direzioni

W (ε_ij) energia accumulata attraverso il lavoro esterno. → w non varia con il sistema di riferimento

W (ε_ij) = w (I₁, I₂, I₃) è funzione solo degli invarianti.

W (ε_ij) = 1/2 D_ijkl ε_kl ε_ij è una funzione quadratica quindi non dipende da I₃ poiché è l'invariante cubico.

W = a I₁² + b I₂ = 1/2 (λ + 2G) I₁² - 2G I₂

• combinazione lineare

σ_ij = 2∂w/∂ε_ij = derivando w si ritorna

σ_ij = 2∂w/∂ε_ij (λ + 2G) I₁ ∂I₁/∂ε_ij - 2G ∂I₂/∂ε_ij

I₁ = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃   ↔   trac(ε)

I₂ = ε₁₁ ε₂₂ + ε₂₂ ε₃₃ + ε₁₁ ε₃₃ - ε₁₂ ε₂₁ - ε₂₃ ε₃₂ - ε₃₁ ε₁₃

λ, G sono le costanti di Lamé

Cosa succede per ν → 0.5 :

se sostituisco ν → 0.5

ottengo K → ∞ cioè infinitamente rigido con stato di sforzo isotropo

T/K = 0 → tra indici come cambia il volume

Bisogna considerare anche la parte delle deformazioni anelastiche

ε = ε_e + ε_a

piccole deformazioni, parte elastica, parte anelastica

Esempio: deformazioni anelastiche dovute alla temperatura

ΔT ≺ ΔT = Θ

= [ αΔT αΔT αΔT]

Altri questi naturi sulle 3D sopra ci sono i costammenti singolari

δ_ij = D_ijkl

δ_ij = D_ijkl·ε_nk = D_ijkl(ε_nk - αε_a)

δ_ij = D_ijkl(ε_nk-δ_nk)

Legame diretto materiale elastico lineare generalizzato

ε_ij = C_ijklδ_nk

ε_ij = e_ij + δ_ij

Legame inverso materiale elastico lineare generalizzato