Meccanica dei solidi

I - TEORIA DELL'ELASTICITÀ

• analisi della tensione (equilibrio)
• analisi della deformazione (congruenza)
• legame costitutivo (materiale)

II - TEOREMI ENERGETICI

III - SOLIDO DI DE SAINT VENANT

• Sforzo normale
• Flessione
• Torsione
• Taglio

III₁ - ASPETTI COMPLEMENTARI

• Criteri di resistenza
• Stabilità di semplici solidi

MECCANICA: studio del moto

• cinematica: (descrizione del) moto x,v,a
• statica: (cause di assenza del moto)
• dinamica: (cause di presenza del moto)

Si definiscono SOLIDI CONTINUI se ∀ A,B ∈ Ω ∃ una spezzata di punti interni che li unisce.

Solido continuo

Si definisce solido monoconnesso se ∀ γ interna al solido, essa contiene solo punti interni al solido Ω

Solido monoconnesso

Vettore Tensione Totale

Se scelgo un certo ΔS, ad esso corrisponderà un certo ΔP e effettuiamo il calcolo al limite,

lim_|ΔS|→0 (Δ/|ΔS|) = t_n

// forza di superficie interna. Tensione totale.

Scegliamo questa condizione considerando solo materiali di Cauchy. I materiali che non rispettano questa condizione vengono chiamati materiali di Cosserat.

t_n(x, y, z, n_x, n_y, n_z)

la dipendenza da n_x, n_y, n_z sta a indicare che se cambio inclinazione del piano cambia anche t_n

t_n(x, y, z, n_x, n_y, n_z): stato di tensione di un solido Ω

Provando a girare la normale...

Cambiando ancora la normale.

_Fx + ^∂σ_xx / _∂x + ^∂σ_yx / _∂y + ^∂σ_zx / _∂z = 0

_Fy + ^∂σ_xy / _∂x + ^∂σ_yy / _∂y + ^∂σ_zy / _∂z = 0

_Fz + ^∂σ_xz / _∂x + ^∂σ_yz / _∂y + ^∂σ_zz / _∂z = 0

∑³_k=1 ∑³_i=1 ^∂σ_ik / _∂xi + _Fk = 0

div ^T + ^r = 0

^T = Tensor di Inerzia.

Equazioni di equilibrio alla rotazione

Consideriamo la rotazione attorno all’asse Z

Imponiamo ∑_Mz = 0 || Polo O

SOLIDI DOTATI DI SIMMETRIE

Solido simmetrico, X asse di simmetria

caso 1: CARICO SIMMETRICO

caso 2: CARICO ASIMMETRICO

caso 3: CARICO GENERICO

Qualunque corpo dotato di carico generico può essere scomposto in un carico simmetrico sommato a uno asimmetrico. Vale la sovrapposizione degli effetti.

P = FS + FA

ESERCIZIO

Consideriamo un parallelepipedo come quello in figura immerso fino al pelo libero dell'acqua.

Sulle facce del parallelepipedo si ha

F_g = -γ(z) = σ_yy

F_x = -γz = σ_xx

Sulla sommità (per z=0) F_z=0 = σ_zz, τ_zx=τ_zy=0

Supponiamo γL²h = γW L²h (⇔) γ= ϑ_w

Sul fondo del parallelepipedo (per z=h) F_z=-γ h=σ_zz, τ_zg= τ_zx=0

Prendiamo ora in analisi gli spigoli, in cui le nostre considerazioni sono valide per tutte le facce.

Π_AB = [ [σ_xx 0 0] [0 -Ɣ_h 0] [0 0 -Ɣ_h] ]

(Ci mancano info su σ_xx, ma a sentimento e logica sopra. = -Ɣ_h)

OSS: Cambiando punto cambiano anche i riferimenti principali.

⇒ I riferimenti principali cambiano punto per punto.

Si definiscono LINEE DI INVILUPPO le linee formate punto per punto da n₁, n₂, n₃, dove il materiale è solo teso o compresso secondo gli assi principali.

Si dicono anche LINEE ISOSTATICHE

ESEMPIO

T =

Considiamo il caso in cui x è principale

xˆ ≡ nˆ_x

Det (T - λI) = 0 ⇒

2 z = ε_zyz

Nei materiali coesivo-attritivi (ad esempio sabbia bagnata) entra in gioco anche il coefficiente di coesione c che sposta le 2 rette

CASO TENSIONE TRIASSIALE

T = _{^{[ λ1}} 0 0 0 λ₂ 0 0 0 λ_{3 ^]}

λ₃ < λ₂ < λ₁

Tensione superficiale in posizione obliqua rispetto al piano.

Equazioni di congruenza

E_n = lim_Δln→0 (Δl_n^* - Δl_n) / Δl_n // Coefficiente di dilatazione

γ_nv = Θ_nv^* - Θ_nv // Coefficiente di scorrimento

// Terno ortogonale

Poniamo Δv(P) = v(P + ΔP) - v(P), Passiamo alle 3 componenti →

• Δv_x(p) = v_x(P + dP) - v_x(P)
• Δv_y(p) = v_y(P + dP) - v_y(P)
• Δv_z(p) = v_z(P + dP) - v_z(P)

Ora sviluppo in serie →