Meccanica dei fluidi - Statica

Lez. 2

lunedì 28 settembre 2020 18:42

ARGOMENTO DELLA LEZIONE:

1. Tensore degli sforzi.
2. Equazione indefinita dell'equilibrio statico.
3. Legge di Stevino.
4. Definizione di pressione assoluta e relativa.
5. Piano dei carichi idrostatici.

TENSORE DEGLI SFORZI

Considero un risultato t di fluido e loro superficie di separazione; su tale superficie considero un’unità infinitesima.la parte SX di X del fluido in forma secondo tale forza:

_xlim_ΔA→0 ΔA

Ricorda: lo sforzo è una quantità vettoriale mentro lo STATO DI SFORZO è una quantità tensoriale (MATICE)

Considero un P.E infinite di fluido a forma di tetrae (rappresentazione del tetraedro di cukch):

φ = _^φ

le considerazioni fatto viti anche per le alte due facce orientate con normali gli assi y e z, in particolare le componente normali e quelle orientate gli indieti uguali.

F = φ A nella faccia obbliqua ogn in  giustia forze

Scriviamo il possestro di EQUILIBRIO dell forze: La muzoveta deve tenu came ssio delleforze non sia nel fu « mentro gli la supferiänge, non in questo caso  porve trascurare il continafo delle forze di messa piteli infinitesimo di ordine superiore.

=> φ A + φ Ay x Ax + φ A_z ( Σ )=> dorato d'equilibrio.Στ τ² (不仅者启示，是一世对)

Lez. 2

lunedì 28 settembre 2020

18:42

ARGOMENTO DELLA LEZIONE:

1. Tensore degli sforzi.
2. Equazione indefinita dell'equilibrio statico.
3. Legge di Stevino.
4. Definizione di pressione assoluta e relativa.
5. Piano dei carichi idrostatici.

1. TENSORE DEGLI SFORZI

- Considero un generico fluido e la sua superficie di separazione;

in ogni superficie considero un'area infinitesima.

Le forze $X$ ed $\mathrm{X}$ nel fluido in esame secondo della forza:

$$ \sigma = \lim_{A \to 0}\frac{dF}{dA} $$

RECORD: lo sforzo è una quantità vettoriale mentre lo stato di sforzo

è una quantità tensoriare (matrice).

- Considero ora un generico elemento di fluido a forma di tetraedro (rappresentazione del tetraedro di Cauchy).

$$ F_x = \sigma_{xx} A_x $$

Le forze che agisce sulle facie con normale $l$ a X

$$ \rightarrow \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{xy} \\ \sigma_{xz} \end{bmatrix} \rightarrow \text{SFORZO TANGENTI} $$

Le considerazioni fatte vale anche per le alte due facie ovanti con normale

gli assi Y e Z, in particilare le composinte normele e qucele ovante gli tistici

$$ F = \overrightarrow{F}_A $$ nella facie obliqua agise un

generico forze.

Scrivo il proporzione dell'equilibrio delle fnore: Per minimio devot tenere conto

non del fnore ma nella fied alte superfieo; emi in questo coso porro tnesorice

il contribiuto delle forze di messia pesci infintesimo di ordinie superiore.

$$ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{F}_x A_x + \overrightarrow{F}_y A_y + \overrightarrow{F}_z A_z = 0 $$

costante in equilibrio

n ^2 Multicompeastro outro anite come aldre

=> _x A ^x + _y A ^y + _z A ^z = ( )

o delle superfici

A

=>

P_Ax + P_Ay -

azioni tangenziali delle superfici

A

in forma compatta:

azioni normali ( )

PRESSIONE

tutta generale

un'ipotesi :

da carenze sperimentali.

P_x + P_y + P_z

P

=> P=

condizioni statiche.

Dimostrazione :

* Indefinita : con riferimento alle particelle di fluido (differenziale).Globale : "" a un volume finito.

Considero una particella di fluido e tutte le forze a cui è sottoposta:- Forze di massa- Forze di superficie

Facendo l'equilibrio lungo l'asse Y : ρ g dy dz = -(ρ + ∂P/∂x dx) dy dz + φ → φ = - ∂P/∂x dy dz + ρg dy dz→ scomporre e intergrare per accedere alle due direzioni.

(3) Legge di StevinoIpotesi:- Fluido pesante: ,dati grad( )- Fluido incomprimibile: .

-γ grad (λ) = grad |P|

(grad (P) + γ grad (z) = 0 )_f

qualunque sia il potenziale vf = cost. (→ piano isobare all’interno della finitura

grad (|P| + z) = 0

|P| + z = COST

dove z → quota geodetica z → quota piezometrica

CONSEGUENZE:

• P= f(z)
• le superfici ORIZZONTALI sono ISOBATE.

PIANO DEI CARICHI IDROSTATICI

⇒per quote alle quali la pressione raggiunge esattamente il valore φ.

Considera i punti A e B:

z_A + ^P_A/_γ = ^P_B/_γ + z_B ⇒ P_B = P_A + γ (z_A-z_B)

⇒ Poss scrivere la pressione a varie quote partendo dal P.C.I.

γ(z_PCI - z_i) = P_i

PRESSIONE ASSOLUTA & PRESSIONE RELATIVA

P_ass = P_atm + P_rel

È più comodo parlare di piano dei carichi idrostatici relativi perché si configura con l’interazione all’atmosfera

P_rel (RELATIVO) = P^* - P_atm

Lez. 3

domenica 4 ottobre 2020 16:11

ARGOMENTI LEZIONI:

1. Distribuzioni di pressione.
2. Dispositivi per la misura della pressione.
3. Depressione relativa.

1) DISTRIBUZIONI DI PRESSIONI

I) FLUIDI STRATIFICATI (_Y2 > _Y1)

_hY2 = P_atm > h₂ = P_atm^Y2 perché _Y2 > h

II) FLUIDI DI PICCOLO PESO SPECIFICO (AREIFORMI)

Indicati negli schemi con le scritte "gas" o "aria". Quando ho a che fare con un aeriforme ho sempre un SERBATOIO CHIUSO:

P_B = P_A - ^dgh (Legge di Stevin)

VALORE NOTO

VALORE NOTO

La distribuzione della forze del gas avviene una funzione quasi verticali: la posso approssimare a verticale. Questo significa che nelle porzioni di vettorio occupato di gas la distribuzione di pressione rimane costante.

2) STRUMENTI PER LA MISURA DI PRESSIONE

1) PIEZOMETRO

p₀ = p_A - ρ*gh (Leggi di Stevino)

Il fluido che va a riempire il piezometro raggiungerà l'altezza del piano dei carichi idrostatici. Se il piezometro venisse attaccato al gas il gas raggiungerebbe la p_atm ⇒ serbatoio aperto.

2) MANOMETRO SEMPLICE

x_m > x_i

Il manometro semplice sfrutta la condizione dei fluidi statici: molto più utile per serbatoi chiusi.

x_m > x_i

STRATIFICATI: MOLTO PIÙ UTILE PER SERBATOI CHIUSI:

⟹ ℎ_m > ℎ_i

ℎ_im = ℎ_mℎ

⟹ CON LEGGE DI STEVINO RICAVO LA PRESSIONE NEL PUNTO CHE MI INTERESSA

III) MANOMETRO DIFFERENZIALE

Š = Δ ℎ_m - ℎ_iᵢ

COME PER GLI ALTRI STRUMENTI DI MISURA HA POCO SENSO APPLICATO SE ENTRAMBI I SERBATOI SONO APERTI PERCHÉ I P.C.I. SONO VISIBILI; AIUTA SE UNO DEI DUE È CHIUSO. CON ENTRAMBI I SERBATOI CHIUSI RIUSCIREI A CAPIRE QUALE È IL PIÙ PRESSURIZZATO MA NON RIUSCIREI A RICAVARE I P.C.I.; LA PRESSIONE È MAGGIORE DOVE IL MENISCO DI _ₘ È PIÙ BASSO.

IV) MANOMETRO METALLICO

PRESSIONE A QUESTA QUOTA

DEPRESSIONE RELATIVA

CONDIZIONI DI ESISTENZA

P_o > P > P^o_atm

=> LA DEPRESSIONE RELATIVA È POSSIBILE,

NON PUÒ ESSERE NEGATIVA LA PRESSIONE

ASSOLUTA.

AI FINI DELLE APPLICAZIONI: P^o* > P_v^m

LA PRESSIONE ASSOLUTA NON DEVE ESSERE MINORE

DELLA TENSIONE DI VAPORE DEL FLUIDO.

Lez. 4

lunedì 9 novembre 2020 10:20

ARGOMENTI LEZIONI:

1. Spinte statiche su superfici piane.
2. Equazione globale dell'equilibrio statico.
3. Spinte statiche su superfici curve.

SPINTE STATICHE SU SUPERFICI PIANE

Def. SPINTA: È un fattore per cui viene considerato come uno sforzo per unità di superficie: essendo in caso statico la risposta è la sola pressione

=>

• =_Az_Am =

• = P_cA_m => S = P_cA_n

La spinta in modulo è pari alla pressione valutata nel baricentro per l'area della superficie considerata.

=> CENTRO DI SPINTA O PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA SPINTA (C.S.)

Studio i momenti che agiscono nella superficie:

Il momento risultante della spinta deve essere uguale al momento risultante della distribuzione di pressione

⇒ mometo derivante generte della distribuzione di P: m = ∬_A p dA x

⇒ momento risultante // // // m : M_P = ∬_A px dA

⇒// // // Spinta: M_s = Sb

 ⇒ ∬_A px dA = Sb

     ⨜_A ϰ ϰ y(ϰ x A) x dA = ∬_A X X C_G/A (Ḡ) A · b

                   ⨜_A

      b = ⨜ x²dA dove I = ⨜_A x² dA ⇒ momento di inerzia della sopercifie rispetto alla linea di sponda

           ⨜_A

           ⨜_A x x g A = M = momento statico della superficie rispetto alla linea di sponda

         ⨜_A

⇒ b = \(\frac{I}{M}\) (ma I non è connodo da calcolare)

\(\qquad\)

APPLICANDO LA LEGGE DI TRASPORTO DEI MOMENTI:

⇒ I = I₀ + X²_G A dove I₀ è il momento di inerzia bracintravico.

⇒ b = \(\frac{I₀}{M}\) + \(\frac{X²_G}{M}\) A = \(\frac{I₀}{M}\) + \(\frac{X²_G}{M (1+X_G/A) }\) = \(\frac{I₀}{M}\) + X₀

⇒ IL CENTRO DI SPINTA È A UNA DISTANZA MAGGIVRE RISPETTO AL BARCENTRO.

QUESTA DISTANZA È ☞ detto ECCENTRICITÀ.

IL CENTRO DI SPINTA HA ANCH’Ѳ CIOÉ I_OS = \(\frac{I_XX}{M}\) DETERMINATA EFFETTUANDO UN EQUILIBRIO

ALLA ROTAZIONE INTORNO ALL’ASSE DA NOI DEFINITO COME X.

P.S. AVENDO SEMPRE (NEL CORSO) A CHE FARE CON SUPERFICI SIMMETRICHE : Y_G.S. = Y_G

PERCHÉ G ≠ C.S.

DAL PUNTO DI VISTA DELLE ROTAZIONI NON POSSO FARE LA STESSA APPROSSIMAZIONE:

1. PIÙ MI ALLONTANO DALLA RETTA DI SPINTA E PIÙ LE SPINTE LOCALI SARANNO GRANDI IN MODULO
2. PIÙ MI ALLONTANO DALLA RETTA DI SPINTA PIÙ IL BRACCIO SARÀ MAGGIORE

⇒ IL CENTRO DI SPINTA TIENE CONTO DI QUESTO PESO.

⇒ C.S. CORRISPONDE AL BARICENTRO DELLA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE.

2) EQUAZIONE GLOBALE DELL’ EQUILIBRIO STATICO (O DELLA STATICA)

Non posso utilizzare il metodo precedente per calcolare le spinte su superfici curve perché non è incontrata: per questo utilizzerà il metodo dell’ equilibrio globale, ma per farlo devo introdurre l’ eq. sapraccitato.

DIMOSTRAZIONE:

INTEGRO la Eq. indefinita dell’equilibrio statico su un VOLUME FINITO di fluido:

∫∫∫ρ f dv = ∫∫∫∇p dv

Dove ∫∫∫ρ f = G ->Risultante delle forze di massa

——-> ACCELERAZIONE (ne _f = _g = g -> peso il volume di fluido)

∫∫∫ ∇p dv = ∫_A p n dA = –Π -> Risultante delle azioni di superficie.

Th. GREEN -> risultante delle PRESSIONI agenti sulla superficie

⇒ G + Π = 0 ⇒ E_G GLOBALE DELLA STATICA

3) SPINTE STATICHE SUPERFICI CURVE

METODO DELL’ EQUILIBRIO STATICO

I) PER UN QUALUNQUE VOLUME DI FLUIDO VALE L’ Eq.S.