Meccanica dei Fluidi - Parte 1

Ingegneria meccanica A.A. 2015/2016

Meccanica dei fluidi (parte I)

Indice per argomenti

• Complementi matematici 3
• Proprietà dei fluidi 7
• Statica dei fluidi 10
• Dinamica dei fluidi 26
• Fluidi ideali 33
• Teorema di Buckingham (Pi greco) 38
• Reynolds e tipo di moto 44
• Modello e prototipo 50

Introduzione

Campo scalare: funzione dello spazio o nel tempo il cui argomento è uno scalare
a(x, y, z, t)

Campo vettoriale: funzione dello spazio o nel tempo il cui argomento è un vettore
ã(x, y, z, t)

Vettore
ã = (a₁, a₂, a₃) = a₁i ̂ + a₂j ̂ + a₃k ̂ = a_iz

Notazione indiciale
∑_i=1³a_iz_i = 2z_i

Norma dei vettori: il modulo e versore.
Notare: modulo, direzione, verso
Modulo: |ã| = √(x₁² + x₂² + x₃²)

Direzione: l'angolo formato dal vettore con l'asse.
Ogni direzione ha un verso associato.
^n = (n_x, n_y, n_z)
n_x² + n_y² + n_z² = 1
n_x, n_y, n_z sono i coseni direttori

Tre campi scalari: ax b γ α č formulano un campo vettoriale quello pref.: Tre ^zan g prefazione qualità τṗ più facendo prodotto spin.
a_ζ = a_xn_xi ̂ - a_yn_yj ̂ + a_zn_zk ̂

Campo tensoriale: funzione che varia nello spazio e nel tempo il cui argomento è un tensore.
Tensore: oggetto caratterizzato da 3ⁿ elementi ordine due → matrice 3x3.
Elementi fuori dalla diagonale sono elementi estradiagonali o elementi rettangolari.
Elemento generico del tensore: _ij

Operazioni tra oggetti

Prodotto scalare: Effettuato tra due vettori:
_ii = _xx + _yy + _zz
Scende di livello (c. vettore → scalare)
Proprietà: commutatività
Assume il valore nullo se sono perpendicolari

Prodotto misto: Effettuato tra vettore e tensore - restituisce vettore
Scende di livello: _i = (_x, _y, _z) č prodotto riga-colonna
_i = _jj
Dopo sommatoria:

Prodotto vettoriale: Lascia lo spazio invariante
\( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \)

Prodotto tensoriale: Tra due vettori → sale di livello
\( \vec{a} \otimes \vec{b} = \begin{bmatrix} b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x b_x & a_x b_y & a_x b_z \\ a_y b_x & a_y b_y & a_y b_z \\ a_z b_x & a_z b_y & a_z b_z \end{bmatrix} \) = \( a_i b_j \)

Operatore Nabla

Formalmente è un vettore
\( \nabla = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} = \frac{\partial}{\partial x_i} \hat{e}_i \)

Operazioni con Nabla

Divergenza
\( \nabla \cdot \vec{a} = \text{div } \vec{a} \) (prodotto scalare) (scalare → rettilo → scalare)
\( \nabla \cdot \vec{a} = \frac{\partial}{\partial x} a_x + \frac{\partial}{\partial y} a_y + \frac{\partial}{\partial z} a_z \)

Divergenza di un tensore
\( \nabla \cdot \vec{\sigma} = \text{div } \vec{\sigma} \) (prodotto misto) (tensore → vettore)
\( \nabla \cdot \vec{\sigma} = \frac{\partial}{\partial x} \begin{bmatrix} \sigma_{1x} \\ \sigma_{2x} \\ \sigma_{3x} \end{bmatrix} + \frac{\partial}{\partial y} \begin{bmatrix} \sigma_{1y} \\ \sigma_{2y} \\ \sigma_{3y} \end{bmatrix} + \frac{\partial}{\partial z} \begin{bmatrix} \sigma_{1z} \\ \sigma_{2z} \\ \sigma_{3z} \end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_{1x} & \sigma_{1y} & \sigma_{1z} \\ \sigma_{2x} & \sigma_{2y} & \sigma_{2z} \\ \sigma_{3x} & \sigma_{3y} & \sigma_{3z} \end{bmatrix} \) (prodotto righe colonne) (p. misto)

Gradiente (prodotto per scalare)