Meccanica dei Fluidi - Parte 1

Ingegneria Meccanica

A.A. 2015/2016

Meccanica dei Fluidi

( parte I )

Ingegneria MeccanicaA.A. 2015/2016

Meccanica dei Fluidi( parte I )

Indice per argomenti:

• Complementi matematici 3
• Proprietà dei Fluidi 7
• Statica dei Fluidi 10
• Dinamica dei Fluidi 26
• Fluidi Ideali 33
• Teorema di Buckingham (Pi Greco) 38
• Reynolds e Tipo di Moto 44
• Modello e Prototipo 50

a) Introduzione

• Campo scalare: funzione dello spazio o nel tempo il cui argomento è uno scalare
  • a(x, y, z, t)
• Campo vettoriale: funzione dello spazio o nel tempo il cui argomento è un vettore
  • ā(x, y, z, t)

Vettore

• ā = (a₁, a₂, a₃) = (a₁, a₂, a₃) = a₁i ̂+ a₂j ̂+ a₃k ̂ = a_iz

Notazione indiciale

• ∑_i=1³a_iz_i = 2z_i

Norma dei vettori: il modulo e versore.

• Notare: modulo, direzione, verso
• Modulo: |ā| = √(x₁² + x₂² + x₃²) = √ ∅ ᐧ ∅

Così chiamare lapo: indice di sottopartizione sommatoria.

Direzione: l'angolo formato dal vettore con l'asse.

• Ogni direzione ha un verso associato.
• ^n = (n_x, n_y, n_z)
• n_x² + n_y² + n_z² = 1

n_x, n_y, n_z sono i coseni direttori

V Tre campi scalari

• ax b γα č formulano un campo vottoriale
• quello pref.: Tre ^zan g prefazione qualità τṗ più facendo prodotto spin.
• a_ζ = a_xn_xi ̂- a_yn_yj ̂+ a_zn_zk ̂

• Campo tensoriale: Funzione che varia nello spazio e nel tempo il cui argomento č un tensore

Tensore: oggetto caratterizzato da 3ⁿ elementi

ordine due → matrice 3x3

Elementi fuori dalla diagonale sono elementi estradiagonali o elementi rettangolari

Elemento generico del tensore: _ij

Operazioni tra oggetti

• Prodotto scalare

Effettuato tra due vettori:

_ii = _xx+_yy+_zz

Scende di livello (c.vettore → scalare)

Proprietŕ: commutativitŕ

Assume il valore nullo se sono perpendicolari

• Prodotto misto

Effettuato tra vettore e tensore - restituisce vettore

Scende di livello: _i= (_x,_y,_z)

č prodotto riga-colonna

_i = _jj

Dopo sommatoria:

Prodotto vettoriale

Lascia lo spazio invariante

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\)

Prodotto Tensoriale

Tra due vettori → sale di livello

\(\vec{a} \otimes \vec{b} = \begin{bmatrix} b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x b_x & a_x b_y & a_x b_z \\ a_y b_x & a_y b_y & a_y b_z \\ a_z b_x & a_z b_y & a_z b_z \end{bmatrix}\)

= \(a_i b_j\)

Operatore Nabla

Formalmente è un vettore

\(\nabla = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} = \frac{\partial}{\partial x_i} \hat{e}_i\)

Operazioni con Nabla

Divergenza

\(\nabla \cdot \vec{a} = \text{div } \vec{a}\) (prodotto scalare)

(scalare → rettilo → scalare)

\(\nabla \cdot \vec{a} = \frac{\partial}{\partial x} a_x + \frac{\partial}{\partial y} a_y + \frac{\partial}{\partial z} a_z\)

Divergenza

\(\nabla \cdot \vec{\sigma} = \text{div } \vec{\sigma}\) (prodotto misto)

(tensore → vettore)

\(\nabla \cdot \vec{\sigma} = \frac{\partial}{\partial x} \begin{bmatrix} \sigma_{1x} \\ \sigma_{2x} \\ \sigma_{3x} \end{bmatrix} + \frac{\partial}{\partial y} \begin{bmatrix} \sigma_{1y} \\ \sigma_{2y} \\ \sigma_{3y} \end{bmatrix} + \frac{\partial}{\partial z} \begin{bmatrix} \sigma_{1z} \\ \sigma_{2z} \\ \sigma_{3z} \end{bmatrix}\)

= \(\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_{1x} & \sigma_{1y} & \sigma_{1z} \\ \sigma_{2x} & \sigma_{2y} & \sigma_{2z} \\ \sigma_{3x} & \sigma_{3y} & \sigma_{3z} \end{bmatrix}\)

(prodotto righe colonne) (p. misto)

• Gradiente

  (prodotto per scalare)

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