Meccanica dei fluidi - Lezione 6

Lez. 6

martedì 17 novembre 2020 16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Dinamica dei fluidi:

1. Equazione indefinita dell'equilibrio dinamico.
2. Posizione del generico problema fluidodinamico: necessità di un legame costitutivo:
   • Definizione di fluido perfetto.
3. Equazioni di Eulero.
4. Teorema di Bernoulli e relativa interpretazione energetica.
5. Definizione di corrente lineare.

L’equazione è una conservazione della quantità di moto.

Non omdra nel caso Matric:̇ ≠ ̇̄

̄ ≠ _{Φ ≠ Φ} Con i ≠ j

FORZE AGENTI SUL VOLUME INDEFINITO:

ρₓ̄ _{ẟ dx} = ρ̇ₓ̄ _{ẟ dx}

segni aloth crescono da regiorienti analoghi

= 0.δ̇ ̄

Lez. 6

martedì 17 novembre 2020 16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Dinamica dei fluidi:

1. Equazione indefinita dell'equilibrio dinamico.
2. Posizione del generico problema fluidodinamico: necessità di un legame costitutivo:
   • Definizione di fluido perfetto.
3. Equazioni di Eulero.
4. Teorema di Bernoulli e relativa interpretazione energetica.
5. Definizione di corrente lineare.

1) EQUAZIONE INDEFINITA DELL' EQUILIBRIO DINAMICO (F=ma)

L'equazione è una conservazione della quantità di moto. Non ombra nel caso Matrici:

Forze agenti sul volume indefinito:

Eq. indefinita del equilibrio dinamico

Forma compatta:

Ricorda!! Eq di indefinita di equilibrio dinamico corrisponde a 3 equazioni scalari.

Necessità di un legame costitutivo

Per poter risolvere il campo di moto di un fluido è necessario mettere a sistema le due equazioni di: Cons. mom. e quantità di moto:

• Cons. mom. 1 eq
• quantità di moto → 3 eq
• 6 incognite

anche aggiungendo la Relazione di stato rimangono 5 eq. in 6 incognite. ∇ ≠ risolvibile

Le equazioni mancanti le andiamo a trovare attraverso un legame costitutivo (o legge reologica): I legami costitutivi sono equazioni ipotizzate e verificate sperimentalmente definite modelli. Il modello che ci interessa ha come forma. Esistono vari modelli; con la forma che ci interessa, il più semplice è quello di fluido ideale e perfetto.

• Fluido ideale e perfetto.
• Nel modello di F.I. vale φ=PI
• Anche se il fluido è in movimento non sono presenti azioni tangenziali.

Equazioni di Eulero

Dimostrazione:

Applicando il modello di F.I. all' eq. di cons. della quantità di moto :

• Eq. 1: Eulero

ρ(i - â) = grad(p)

→ Eq. 1: EULERO

Eq. di equilibrio dinamico per un fluido perfetto. (NON ha validità GENERALE!!)E.mando Φ_XX = Φ_YY = Φ_ZZ = P e Φ_XY = Φ_Xz = Φ_YZ = 0→ Il sistema diventa di 5 eq. in 5 inc. → RISOLVIBILE

TEOREMA DI BERNOULLI

Dimostrazione:ρ(i - â) = grad(p) Scompon.g l'equazione usando come sistema di riferimento la terna intrinseca (t, n, b)

→ i = (v, 0, 0) sempre secondo la terna intrinseca.π (i ρ_n - ρ - ρ ^V2_R) = ½P_n

π _ρb = ½P_b

Dove ^V2_R → ACCELERAZIONE CENTRIPETA

Considero solo la componente lungo i e applico l'ipotesi:

1. DI FLUIDO PESANTE : ⁱ_z = -g ^ρ_ζ ⊃⊃i; ^g app.core le regole di derivata estrema⊃⊃ ^ρ_t = ^ρ_t + ^ρ_½cp→ -^gρ_{½&p;bζ - ^{ρ V2}}½( ^ρ½&v)

2. DI MOTO PERMANENTE : ^V_tagli> = ø

→ -^goρ_½&pi = -^ρ½½^{½W g} = Y-[_yoρ - ^ρV2÷G]

ρ2ρ2.

(-γ ∂z_s - β ∂_s (v_s²/2) = ∂p ∂_s) 1/γ∂z_s + ∂_s (v_s²/2) + 1/γ ∂p/∂s = ø

III) DI FLUIDO INCOMPRIMIBILE: ρ = cont.∂z_s + ∂_s (v_s²/2) + (1/ρ) (∂p/∂s) = 0

(∂/∂s (z + p/γ + v²/2g) = 0

z + p/γ + v²/2g = cont.)

Def. TEOREMA DI BERNOULLI / CARICO TOTALEH = z + p/γ + v²/2gDove z + p/γ => CARICO PIEZOMETRICO

=) Il carico: è una lunghezza ma rappresenta una energia perché è una energia per unità di peso.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL CARICO

Il fatto che le linee dei carichi totali sia attrattenuto è un caso particolaredovuto al fatto che il fluido è IDEALE e non genere inpressioni.

5) CORRENTE LINEARE

Def. CORRENTE GRADUALMENTE VARIATA LINEARE:

Considera le componenti r e s dell'equazione di Eulero sotto ipotesi di FLUIDOPESANTE:

(-β g ∂z_s - v²_s/R = ∂p∂s) 1/ρ∂z_s^v_s/R g + 1/ρ ∂p∂s )