Meccanica dei fluidi - Lezione 5

Lez. 5

martedì 17 novembre 2020 16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Cinematica dei fluidi:

1. definizione di velocità e accelerazione.
2. approcci lagrangiano ed euleriano.
3. Rappresentazione grafica del campo di moto:
   1. Traiettorie.
   2. Linee di corrente.
   3. Linee di fumo.
4. tipi di moto
   1. Vario.
   2. Permanente.
   3. Uniforme.
5. equazione di continuità nelle forme:
   1. Indefinita.
   2. Globale.
   3. per correnti.

CINEMATICA

1. Definizioni

Def. VELOCITÀ: \(\vec{v} = \dot{x} + \dot{y} + \dot{z} = \{ x_i \cdot v, w \} \cdots {\phantom{h}} \vec{V} - \Phi (x ; t) \)

Def. ACCELERAZIONE: \(\vec{a} = \dfrac{d \vec{V}}{dt} \)

applichiamo la REGOLA IN DERIVAZIONE EULERIANA\(\dfrac{d \vec{V}}{dt} = \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial \phi} + \dfrac{\partial z}{\partial x} \)

(DIFFERENZIALE TOTALE)

\(\Rightarrow \vec{a} = \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial w}{\partial t}\)

\( + \dfrac{\partial x}{\partial t} \cdots \dfrac{\partial w}{\partial t}\)

=\(\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial x} + \dfrac{\partial w}{\partial z} \)

dove \(\Rightarrow\) ACCELERAZIONE LOCALE

\(\Rightarrow\) non dipende dalle variazioni di velocità

di un punto (fisso) nel tempo

\(\Rightarrow m \cdots \dfrac{\partial w}{\partial x} + \dfrac{\partial w}{\partial y} + \dfrac{\partial y}{\partial z} \) \(\Rightarrow\) ACCELERAZIONE CONVETTIVA

\(\Rightarrow\) non dipende dal tempo:

dove le variazioni di velocità nello spazio.

quindi \(\alpha_x = \dfrac{dx}{dt} ; \alpha_y = \dfrac{dy}{dt} ; \alpha_z = \dfrac{dw}{dt} \)

1. PUNTI DI VISTA / APPROCCI LAGRANGIANO ≠ EULERIANO

Lez. 5

martedì 17 novembre 2020 16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Cinematica dei fluidi:

1. definizione di velocità e accelerazione.
2. approcci lagrangiano ed euleriano.
3. Rappresentazione grafica del campo di moto:
   1. Traiettorie.
   2. Linee di corrente.
   3. Linee di fumo.
4. tipi di moto
   1. Vario.
   2. Permanente.
   3. Uniforme.
5. equazione di continuità nelle forme:
   1. Indefinita.
   2. Globale.
   3. per correnti.

CINEMATICA

DEFINIZIONI

Def. VELOCITÀ:

Def. ACCELERAZIONE:

applico la REGOLA IN DERIVAZIONE EULERIANA

(DIFFERENZIALE TOTALE)

dove –ACCELERAZIONE LOCALE

–ACCELERAZIONE CONVETTIVA

inoltre,

PUNTI DI VISTA / APPROCCI LAGRANGIANO & EULERIANO

2) PUNTI DI VISTA/APPROCCI LAGRANGIANO & EULERIANO

Considera una regione di spazio in cui c'è un fluido che si muove.=> Tante particelle che si muovono con dipendenza dal tempo edallo spazio.

• I) LAGRANGIANO: Legato alle particelle. => Identifica una particella e studia solo il suo moto.

• II) EULERIANO: Legato ai punti. => Identifica i punti nello spazio e studia cosa succede in quei punti nel tempo; noi infatti il tempo osserviamo particelle diverse per ogni istante quanto.

3) RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL CAMPO DI MOTO.

• I) TRAIETTORIE: Luogo dei punti occupati da una particella nel tempo.

• II) LINEE DI CORRENTE: Linee che punto per punto sono tangenti alla velocità.

• III) LINEE DI FUMO: Fissata una "sorgente", sono linee che uniscono i punti che rappresentano delle particelle che sono transite per quella sorgente.

Queste rappresentazioni coincidono in caso di MOTO PERMANENTE.

4) TIPI DI MOTO

Considera: = ^∂v/_∂t + u ∂^v/_∂x + v ∂^v/_∂y + w ∂^v/_∂z

• I) MOTO VARIO: ^∂v/_∂t ≠ 0 ∃ acc. locale (≠ dipendenza da tempo).

• II) MOTO PERMANENTE (O STAZIONARIO): ^∂v/_∂t = 0 ≠ dipendenza da tempo.

• III) MOTO CALMOFORME: La velocità non dipende dello spazio. Esempio: Moto in condotto.

Moto Vario: Varia continuamente l'operatore della velocità e di conseguenza la velocità varia sia nel tempo che nello spazio.

Moto Stazionario: Le variabili e quindi il momento finito a quell'operatore, la portata è sempre la stessa, la mia velocità non varia nel tempo ma varia nello spazio perché la geometria del condotto sto variando (effetto dell'accelerazione convettiva).

Equazione di Continuità o Conservazione della Massa.

Non facendo riferimento a oggetti solidi ma a fluidi in movimento che hanno un continuo rimescolamento di particelle, l'equazione è scritta in termini di quanto entra e quanto esce considerando un volume di fluido.

I) Forma Definita: Dimostrazione.

Considera un volume infinitesimo di fluido, questo immerso in un un campo di moto retto dal fluido da esterno e da era del suo contorno è noto presente del fluido al suo interno: Studio i Flussi di Massa.

Considero un vettore velocità agente su uno della faccia e lo scompongo nelle sue componenti; posso notare come l'unica componente che origina flusso di massa è la componente perpendicolare.

Per poter identificare le masse entranti devo intendere un intervallo di tempo = dt.

→ La massa entrante nel volume infinitesimo sarà la massa contenuta nella regione antistante al volume di lunghezza udt.

m_outy = ∫ρv^* dt dx dz

→ per ricavare la massa uscente faccio uno sviluppo in serie dell'espressione appena ottenuta

m_outy = [∫ρv^* + δ(ρv^*)_/∂y dy] dt dx dz

→ Le due espressioni sono del tutto analoghe nelle altre direzioni

→ m_in - m_out = ∫ ρu dy dz – [∫ ρu + (δ(ρu)/∂x) dx] dt dy dz +

+ ∫ ρv dt dx dz - [∫ ρv + (δ(ρv)/∂y) dx] dt dx dz +

+ ∫ ρw dt dx dy – [∫ ρw + (δ(ρw)/∂z) dz] dt dx dy

inoltre m_in - m_out = termine di accumulo*

• *Se entra più fluido di quello che esce il fluido sarà più compresso.
• Se esce più fluido di quello che entra il fluido sarà più espanso.

Il termine di accumulo rappresenta una variazione di densità → Acc = ∂ρ/∂t dt dW (con continuo rigido)

→ \(\int \rho \, u \, dt \, dy \, dz - \int \rho \, u \, dt \, dy \, dz - \frac{\partial}{\partial x} (\rho u v) \, dt \, dx \, dy = dW\)

+ \(\int \rho \, v \, dt \, dx \, dz - \int \rho \, v \, dt \, dx \, dz - \frac{\partial}{\partial y} (\rho v u) \, dt \, dx \, dy\) = \(\frac{\partial}{\partial y} (\rho v)\) \, dx \, dt \, dy \, dz

+ \(\int \rho \, w \, dt \, dx \, dy - \int \rho \, w \, dt \, dx \, dy - \frac{\partial}{\partial z} (\rho w v) \, dt \, dx \, dy\) = \(\frac{\partial}{\partial z} (\rho w)\) \, dx \, dt \, dy \, dz

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (\rho \bar{u}) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho \bar{v}) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho w) = Q\) → Eq INDENNITÂ DI CONTINUITÂ

→ forme compatte: \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div} (\rho \vec{F}) = 0\)

casi particolari: se moto stazionario: \(\frac{\partial}{\partial t} = 0\) → \(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\) → \(\text{div} (\rho \vec{F}) = 0\)

se inoltre fluido incomprimibile → \(\rho = \text{const}\) → \(\text{div} (\vec{F}) = 0\)

ii) forma globale: dimostrazione

doppio integrale di forma indeterminata su un volume finito:

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} dV + \nabla \cdot (\rho \vec{F}) dV = 0\)

\(\frac{\partial}{\partial t} \int \rho dV = \int \frac{\partial}{\partial t} (\rho) dV = \frac{\partial m}{\partial t}\)

\(\int \nabla \cdot (\rho \vec{F}) dV = - \int \rho \vec{F} \cdot \vec{n} \, dA\)

Th. Divergenza

dove A → superficie del volume

\(\vec{n}\) → vettore normale uscente alla superficie

→ il membro rappresenta la portata massica (\(\dot{m}\))

portata volumetrica → \(\dot{Q} = \int \rho \vec{F} \cdot \vec{n} \, dA\)

→ \(\frac{\partial m}{\partial t} = \int_A \rho \vec{F} \cdot \vec{n} \, dA\) → Eq GLOBALE DI CONTINUITÂ