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Sforzi nei sistemi continui
Nello studio dei sistemi continui distinguiamo 2 tipi di forze:
- forze di massa: tutte le f esterne che si esercitano a distanza su tutte le particelle del sistema con entità proporzionale alla massa. Es: gravità → peso.
- forze di superficie: tutte le f esterne che vengono esercitate su una parte del sistema continuo attraverso le sue superfici di contorno.
Consideriamo un generico volume W di fluido in equilibrio. Se lo dividiamo in due parti tramite una superficie A qualsiasi, per mantenere l'equilibrio vedremo un sistema di forze sulla superficie di separazione.
Al punto di A avrò: m = dm/dA (valore finito, vettoriale)
Il pedice "n" indica che lo sforzo agisce su una superficie che ha come normale n; ciò non implica che m sia perpendicolare alla superficie!
m prende il nome di "sforzo unitario"
d = m dA prende il nome di "spinta elementare su dA"
La componente normale di m è per convenzione positiva se lo sforzo è di compressione! Non ha, infatti, senso parlare di trazione nei fluidi.
Il sistema di forze sarà: = ∫d = ∫m dA "spinta su A"
lo sforzo unitario tm varia in base all'orientazione di m, ovvero in base alla superficie di applicazione (giacitura ed orientamento).
Nell'intorno di un generico punto P avviene:
Considero un tetraedro di fluido con lati infinitesimi:
- m
- tyx
- txm
- tzy
le forze di massa agenti nel tetraedro sono a mossa
Del momento che: m - p * Volume = p * dxdydz, le forze di massa sono infinitesimi del 3o ordine, per cui trascurabili.
le forze di superficie (spinete elementari) sono:
- φm dA
- φx dAx
- φy dAy
- φz dAz
- (A = faccia normale ad X)
Per l'equilibrio la somma delle forze di massa e di superficie deve essere nulla:
Σmassa trascurabili + Σsuperficie = 0
ovvero:
φm dA + φx dAx + φy dAy + φz dAz = 0 (1)
(tm varia in base all'orientazione della superficie ed in base alla giacitura del punto considerato).
2
ed ottengo: p/ρn = cost → dunque d( p/ρn ) = 0
Calcolo il differenziale:
d( p/ρn ) = d(p · ρ-n) = dp · ρ-n + p · (-n) ρ-n-1 dρ
dp ruolo = 0
dρ-n - m/p1 dθ = 0 → divido per mᵨ
dρ-n =
dρ mᵨ =
→ sostituisco ρ2 = p · g
dρ-n = g dρ/g = dρ-n/p
A
dρ/ρ = dρ/mᵨ
Considero che per il principio di conservazione della massa:
dM = 0 → d(ρ V) = 0 → ρdV = Vdp → dV/V = dp/V
(4) e (2)
dW/W = - df/ε - dp/p → dρ/p = dρ/ε
B
Unendo A e B:
dρ/ρ = dρ/mᵨ + dρ/ε → ε = mᵨ
→ MODULO DI COMPRIMIBILITÀ - LIT
(se il caso segue una - poli tropica ed - è perfetto)
da pressione si propaga sottoforma di onda nei fluidi. la velocità di propagazione si dice "celerità" e dipende da ε:
C = √ε/ρ "CELERITÀ" m/s
NUMERO DI MACH:
Ma = V/C [adim.]
velocità del flusso di fluido
- Ma < 1 REGIME SUBSONICO
- Ma > 1 REGIME SUPERSONICO
- Ma < 0.2-0.3: fluido incomprimibile.
Equazione indefinita dell'equilibrio in condizioni dinamiche
Considero un parallelepipedo elemento di fluido. Per il caso di partic. infinitesime:
dR = du · A
dm = ρ · dx dy dz
Per il calcolo di R devo considerare la presenza di forze di massa e di superficie.
- forze di superficie: considero l’equilibrio intorno ad un punto.
φx, φy, φz sono le forze agenti sulle facce poggiate nel S.R.
nelle altre 3 facce agiscono
- φx', φy', φz', calcolabili con lo sviluppo di Taylor al primo ordine.
* le φ sono forze per unità di superficie.
F(s) = - ( ∂φx/∂x + ∂φy/∂y + ∂φz/∂z ) dx dy dz
- forze di massa: F(m) = F · dm = F · ρ dx dy dz
Dunque il 1° principio diventa
ρ F dx dy dz - ( ∂φx/∂x + ∂φy/∂y + ∂φz/∂z ) dx dy dz = A · ρ dx dy dz
→ ρ ( F · A ) - ( ∂φx/∂x + ∂φy/∂y + ∂φz/∂z )
Eq. indefinita di equilibrio dinamico
Superficie di separazione di 2 fluidi:
legge di Stevin su 2 punti
zN + PM/γ1 = zN + PN/γ1, dove r′1, N ∈ γ1
⇒ PN/PM + γ1(zn - zN) = pM′γ1h (1)
Considero che pN = pN′, con N, N′ ∈ γ2
PM = PM′, con M, M′ ∈ δ1
⇒ PN = Pn + γ2(zn - zn)= pM + γ2h (2)
eguagliando (1) e (2):
PN - PN′
PM′γ1h = pM+ γ1h, che è:
Verificato solo se γ1 = γ2 oppure h = 0
⇒ se i 2 fluidi sono diversi (γ1 ≠ γ2), avrò necessariamente h = 0. Ciò significa, estendendo a tutte le coppie di punti, che la superficie di separazione è orizzontale.
Spinta di un fluido pesante e incomprimibile, in c.d.s. statiche su una superficie piana:
Considero un piano inclinato di α rispetto all'orizzontale, a contatto con un liquido con peso specifico γ.
x: distanza di P dalla linea di sponda
h: affond. di P al PCIR
Stessa cosa per G (baricentro della superficie a contatto del liquido)
S = ∫Ap dA
p e pari a p = γ · h con h : affondamento dal PCIR
Geometricamente: h = x · sin α → S = γ· ∫Ah dA = γ · ∫A x·sin α dA
Calcolo il baricentro di A:
Xa = ∫Ax dA / A → ∫A x dA = xG· A
→ S · γ sin α ∫A x dA = γ sin α xG A = γ · hG · A = A· pG
Nota: la linea di sponda è l'intersezione tra il piano di giacenza della superficie piana ed il piano dei carichi idrostatici relativo.
Dunque in un bacino aperto sta sul pelo libero del fluido.
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