Meccanica dei continui

Meccanica dei continui

Statica

Configurazione di riferimento

Configurazione attuale o deforme

Asse curvilinea

Con una data parametrizzazione assume valore 1 in un punto nella configurazione di riferimento.

Def. Inestensibilità: è un vincolo

Equilibrio

È la forza esercitata dall'ambiente esterno nella posizione. È la risultante delle forze esterne.

Per avere equilibrio non basta imporre che risultante e momento esterno siano a zero ma dobbiamo chiedere che anche la risultante e il momento delle forze interne siano zero.

Postulati della meccanica dei continui

d_P/d_S = 1 ← modulo del vettore tangente

dλ/ds = |d_P/ds|

DS(S) ↔ S(N)

Superamento del rapporto Quincke con assegnata lunghezza attuale calcolata in punto nella configurazione di riferimento

Def. Inestensibilità: è un vincolo, λ = S^s (→ |d_P/ds| = 1).

F_d(N) è la forza esercitata dall'ambiente esterno nella posizione N.

∫₀^R F_d(λ)dλ è la risultante delle forze esterne.

Per avere equilibrio non basta imporre che risultante e momento esterni siano a zero, ma dobbiamo chiedere che anche la risultante e il momento delle forze interne sia zero.

Tensione interna

Momento delle forze interne →→→ La relazione è valida se e solo se:

Equazioni cardinali della statica

1^a equazione cardinale della statica

Imponendo la condizione di equilibrio sui momenti risultanti:

Con passaggi analoghi a prima (vedi quaderno) otteniamo che la relazione è valida se e solo se:

3^a equazione cardinale della statica:

Condizioni al contorno

• Filo pesante omogeneo: Rappresentato flessibile (Ipotesi costitutiva)
• Filo appeso: Si dispone secondo una catenaria
• Ponte sospeso: Si dispone secondo una parabola

Problema piano

Dato che la figura sta nel piano le reazioni vincolari usciranno nel piano stesso. Il nodo risultante (r) insieme al momento (m) sarà perpendicolare al piano. Scompongo R nelle sue componenti tangente alla sezione tagliata:

Sforzi

• Sforzo assiale
• Sforzo di taglio
• Momento flettente

Algebra tensoriale

I tensori che usiamo sono trasformazioni lineari da V in V dove V è uno spazio tridimensionale euclideo.

Diade: a ⊗ b = T (a ⊗ b) u = (b . u) a

Se lineare esiste tensore nullo e tensore identità. T può essere rappresentato con matrici diverse in base alla terna ortonormale di riferimento.

λT + μB , AB sono tensori (quadrando)

Trasposizione

Sia T^T il tensore trasposto di T. Teor. (α ⊗ b) T^T = α^T ⊗ b^T se T^T è il trasposto di T

Tensore simmetrico

Def. Tensore Simmetrico se: S = S^T

Tensore antisimmetrico

Def. Tensore Antisimmetrico se: W=-W== ^{0 -c b}/_{c 0 -a}/_{-b a 0} Un tensore antisimmetrico posso metterlo in relazione con un vettore w= (c,a,b).

Teor. Sia W un tensore antisimmetrico e W il suo vettore corrispondente intrinseco — allora, W_α = w ∧ α (secondo un orientamento destro)

Scomposizione dei vettori

Teor. Ogni vettore può essere scomposto nella sua parte simmetrica e la sua parte antisimmetrica: T= ₁/² (T + T^T) + ₂/²(T - T^T)= sym (t) = skew(t)

Prodotto scalare

A⊗B= ((a@b )(c@d) = ((a·c) . (-b^d)_→ Si calcola come: A·B = ∑_ij A_ik · B_ik

Tensori ortogonali

Def. 2 tensori si dicono ortogonali se: S · W = 0

Autotensore

TT_T = λI

λ = λ₁ +λ₂ + λ₃+λ_i=3=0

Invarianti

Con : {i₁ = tr(T)i₂ = ₁/² (tr(TT_T)+ tr(TT_T)²)i₃ = det(T)}

Proprietà

i₁ (α(T)) = α₁(T)

i₂ (α(T)) = α₂(T)

i₃ (α(T)) = α₃(T)

(a ∧ b ∧ c = Vol(a₁, b₂, c₃))

τ_a ∧ τ_b ∧ τ_c = Vol(τ_a, τ_b, τ_c)

- τ_a ∧ τ_b ∧ τ_c = i₃(T) (a ∧ b ∧ c)

- τ_a ∧ b ∧ c + a ∧ τ_b ∧ c + a ∧ b ∧ τ_c = i