Meccanica dei continui

Meccanica dei Continui

Statica

Configurazione di riferimento

Configurazione attuale o deformata

dP/ds = 1

Modulo del vettore tangente

Def.

Inestensibilità: è un vincolo

Equilibrio

F(a) è la forza esercitata dall'ambiente esterno nella posizione a.

∫₀^r F(a) da è la risultante delle forze esterne.

Per avere equilibrio non basta imporre che risultante e momento esterni siano a zero; ma dobbiamo

chiedere che anche la risultante e il momento delle forze interne sia zero.

Prima equazione cardinale della statica:

Imponiamo a zero la risultante di tutte le forze agenti su λ₁-λ₂:

∫_λ₁^λ₂ F_a(s) ds + T(λ₁) - T(λ₂) = 0

dT_x + dT_y

F_x(s) + dT_x = 0

dλ

dλ

La relazione è valida se e solo se:

Seconda equazione cardinale della statica:

dM + ε T = 0

condizioni al contorno:

[ T(λ₁) = T_A , T(λ₂) = T_B ]

[ M(λ₁) = M_A , M(λ₂) = M_B ]

Filo pesante omogeneo:

Rappresentazione flessionale ←→ M = 0 (→ ε y'' = 0 → ε y = cx+ d)

Filo appeso:

Si dispone secondo una catenaria

y(x) = 1/α cosh(αx + c) + d

dove c e d sono costanti di integrazione

k = ε/ρ

Ponte sospeso:

Si dispone secondo una parabola

y(x) = P/2ε x² + cx + d

DEF.

LE ROTAZIONI SONO TENSORI ORTOGONALI CON DETERMINANTE UGUALE A +1.

Teor. Se _λ ∈ R e Rot ⇒ ∃ _λ ∈ R : ^{| λ |} = 1. (DIM. SUL QUADERNO)

Tr(R) = 1 + 2 cosθ ⇒ cosθ = ^{Tr(R) - 1} / ₂

DEF.

ROT := INSIEME DELLE ROTAZIONI

ORTH := INSIEME DEI TENSORI ORTOGONALI

TEOR.: (DI DECOMPOSIZIONE POLARE).

Allora ∃! U,V : tale che F = RU = VR

con U,V ∈ Sym⁺ e R ∈ Rot. (DIM SUL QUADERNO)

OSS

U e V hanno gli stessi autovalori ( ^λ_i(U) = ^λ_i(V)) e gli stessi invarianti ( ^i_r(U) = ^i_r(V) ).

OSS

U e V sono lo stesso tensore ruotato in un altro autospazio

Def

Si dice campo spaziale una funzione φ che dipende solo dalla posizione spaziale

∫_Ωξ φ(x) dV_ξ = ∫_Ωξ φ(χ(x)) J(χ) dV_p = ∫_Ωp φ_m(p) J(p) α dV_p

oss.

(F_αƩ Fb) = JF (aabb)

Per definizione, versore normale:

• D = [dφ/dX dΦ/dY dΦ/dM]
• ∮ᐧᐨ

Sappiamo Che:

• Δ = [∑ᐨᐨ F dφ/dW]

Teor.

• n dA_χ = JF^-T n^x dA_P
• JF n dA_χ: n^x dA_P

Teor. (per i campi vettoriali)

• W_*^x = JF^-1 W_*^m

(def. Sul endomorf.)

Teor. (per i campi tensori)

• T_* = ∑T_mF^-T

(def. Sul endomorf.)

Teor. (per la divergenza)

• Div_(W*) = ∫div(w_m)^m

(con def. endomorf.)

TEOR. (DEL TRASPORTO):

SIA _ϕ(x,t) UN CAMPO SCALARE

_{dd ϕx,t d}^x + ∫_ϕ(x,t) ( ( )⋅η) d_A

VALIDO ANCHE CON W CAMPO VETTORIALE

ALTRI TEOREM:

∫_{W d} ^x = ∫_{( + L}