Meccanica applicata alle macchine - Esercizi

Calcolo del momento motore e gradi di libertà

Dati del problema

ω₁ = 1 rad/s

ω₁ = 2 rad/s²

J_G = 30 kg·m²

F_R = 400 Nm₃ = 20 kg

Meccanismo e obiettivi

Dato il meccanismo in figura, si calcoli:

• Il numero di gradi di libertà
• Il momento da applicare alla manovella O₁A affinché sia rispettata la legge del moto assegnata in presenza della forza resistente F_R applicata al corsoio in D.

Calcolo del numero di gradi di libertà

Il sistema è composto da cinque elementi, più il telaio, quindi non vincolato. Nel piano è descrivibile assegnando 3.5 parametri lagrangiani. I membri sono collegati attraverso coppie rotoidali e 2 coppie prismatiche, in totale 7 vincoli che tolgono 2 gradi di libertà ognuno. Notato che i vincoli sono ben disposti si ottiene (3.5 - 2.7 = 1) solo una unicabilità del sistema.

Ricerca del momento motore (M_M)

Dal teorema delle forze vive si ha che:

L_m + L_R + L_p = ΔE_c

Derivando:

W_m + W_R + W_p = ^dE_c/_dt

Dove, nel nostro caso, trascurata W_p si ha:

W_m = M̅_M x ω̅₁ ; W_R = F̅_R x J̅_F + m_g g̅ x v̅_G

Trascura l'energia spesa per le altre masse.

Calcolo delle velocità

dE_c/dt = d/dt (1/2 I_3o2 ω₃²) = I_3o2 ω̅₃ x ω̅₃

Le incognite da calcolare sono quindi: V̅_c, V̅_A, ω̅₃.

V_A = ω₃ ∧ (A-0₂) = 0.19 m/s (A0₂ = 0.19 m)

Velocità relative

Considerando A come appartenente al membro 3 avremo che la sua velocità relativa V̅_r sarà:

V̅_r = V̅_A - V̅_t

Che risolta graficamente (FIG. 1) mi' da V̅_r e V̅_t.

V̅_r = 0.13 m/s ; V̅_t = 0.13 m/s

Calcolo della velocità angolare

Conosciuta la velocità di trascinamento V̅_t possiamo ricavare la velocità angolare ω₃:

ω₃ = V̅_t/A0₂ = 0.22 rad/s (A0₂ = 0.59 m)

Calcolo della velocità V̅_A

Ed a questo punto conosciamo V̅_A:

V̅_A = ω₃ ∧ (A-0₂) = 0.07 m/s (A0₂ = 0.32 m)

V̅_B = ω₃ ∧ (B-0₂) = 0.16 m/s (B0₂ = 0.76 m)

Calcolo della velocità V̅_C

Infine troviamo graficamente (FIG.2) V̅_C dalla relazione:

V̅_C = V̅_B + V̅_CB

V_C = 0.15 m/s

Calcolo dell'accelerazione ω̇₃

Andiamo ora alla ricerca dell’ultimo dato che manca, la ω₃.

Un modo per calcolarla è quello di trovare l’accelerazione di trascinamento tangenziale in A e poi dividere questa per la distanza A₀, infatti ω̇₃ = a_LT / A₀.

Si tratta di un problema di moti relativi.

Equazioni del moto relativo

a_AN = ω₁² A₀ = 0.19 m/s²

a_AT = ω̇₁ ∧ (A - 0₁) = 0.38 m/s²

a_A = √a_AN² + a_AT² = 0.42 m/s²

Soluzione grafica

Dall’equazione sui moti relativi abbiamo che:

a_A = a_r + a_e + a_c = a_r + a_e + a_tN + a_c

Dove oltre ad a_A conosciamo:

a_tN = ω₃² A₀ = 0.03 m/s²

a_e = 2ω̇₃ ∧ V_r = 0.06 m/s²

Accelerazioni e direzioni

Conosciamo ancora la direzione di a_r (la retta che contiene A₀) e quella di a_LT (normale a quest’ultima). Il problema è risolubile graficamente (fig. 3). Da cui:

a_LT = 0.19 m/s²

ω̇₃ = a_LT / A₀ = 0.32 rad/s²

Calcolo del lavoro resistente W_R

Conosciuto il componente di _g lungo la direzione di V̅_G (FIG.4), e tenuto conto dei versi, si ha:

W_R = -F̅_R x J_c + m₃g̅ x V̅_G = -F_RJ_c - m₃g·V_G = -63.50 W

Calcolo del momento motore M_M

Dal teorema di Huygens abbiamo:

I_3ω2 = I_3q + m₃ g_ω2² = 32.05 kg·m²

Considerando che i versi di ω₃ e ω̅₃ sono discordi:

dE_c/dt = I_3ω2ω̅₃ x ω̅₃ = - 2.25 W

Da cui:

M_M·ω₁ + W_R = dE_c/dt

M_M = dE_c/dt - W_R/ω₁ = -2.25 + 63.50/1 = 61.25 Nm