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M.A.M.
Vibrazione → moto che avviene nell'intorno di una posizione di equilibrio o stabile.
Moto armonico
Supponiamo che il punto si muova di moto circolare uniforme.
In coord. polari: \(\varphi = \varphi(t)\)
\(\frac{d\varphi}{dt} = \omega\) (costante se in moto cir. un.)
\(\omega\) = velocità angolare del segmento rigido OP.
\(\int_{0}^{t} d\varphi = \int_{0}^{t} \omega dt \Rightarrow \varphi = \omega t\)
Segue il moto della priett. di P su x, il punto si muoverà di moto rettilineo alternato, con legge
\(x_{p} = OP \cdot \cos\varphi = A \cos\omega t\)
\(y_{p} = OP \cdot \sen\varphi = A \sen\omega t\)
Leggi del moto armonico
\(x = A \cos\omega t\)
\(A\) = ampiezza \(\omega\) = pulsazione
\(\omega T = 2\pi\) \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)
\(\frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\) → frequenza \([f^{-1} = Hz]\)
\([\omega] = [rad \cdot s^{-1}]\)
\(z = A e^{j \omega t}\) = complex sinuosoid
A = lung. vettore rotante.
ωt = fase del vettore.
\(\operatorname{Re}(z) = A\cos\omega t\) → \(z = \operatorname{Re}(z) + j \operatorname{Im}(z)\)
\(\operatorname{Im}(z) = A\sin\omega t\)
A\cosωt + j A\sinωt → vettore viola sarà somma dei 2 blu istante per istante.
Proprietà del moto armonico
x = A cosωt (posizione)
v = dx/dt = -ωA senωt => a = d2x/dt2 = -ω2A cosωt = -ω2x
-cosωt = si può anche scrivere = cos(ωt + π) quindi l'acc.
è in opposizione di fase rispetto alla posiz. (il fasore
dell'acceleraz. è avanti di π rispetto al fasore della
posizione).
Stesso vale se considero la complex sinusoid.
z= A ejωt => dz/dt = j ωA ejωt
d2z/dt2 = -ω2A ejωt = (-ω2z)
Forze elastiche
k = costante elastica (o rigidezza)
xA = 0 (A è fisso)
Quando xB = 0 => lunghezza a riposo. Se si sposta B cambia
la lunghezza della molla dallo proprio
di xB sul punto sara esercitata una F = -kxB
se lo spostamento fosse avvenuto nella direz.
opposta, F sarebbe stata concorde al verso
positivo di x. Ora considero:
xA, xB = 0 = config. iniziale
Qual è ora la F esercitata su B?
Considerazione (Est).
Smorzamento viscoso - Moto armonico: x(t) = x0 ei(wt+∅)ma è un moto perpetuo libero, nella realtà nonesiste. Devo considerare che l’Ec deve esseresmorzata da una resistenza al moto (attrito, resistenza aerodinamica).
FB = - C xB v con cui cambiala lunghezzadello smorzatoreGref. di smorzam. viscoso.
Svincolo A, cosa succede?FB = -C (xB - xA)FA = -C (xA - xB) v di A.
Quindi per lo smorzatore conta la velocità dideform., non lo spostamento. È lineare proprioperché proporzionale alla v.
Vibrazioni libere smorzate (e non) di sistemi lineari
Ad 1 G.G.L.
FK + FC = m ẍ
FR = -Kx FC = -C ẋ
-Kx - C ẋ = m ẍ ⇒ mẍ + C ẋ + Kx = 0 EQ. DIFF.
del moto (ordinaria lineare, completa omogenea)
ansatzx = U eλt ⇒ ẋ = λU eλtẍ = λ²U eλt
muλ² + cλ + k = 0
x1 = e-ξωnt1
x2 = e-ξωn(t1+Td)
= e-ξωntd
δ = ln x1/x2 = ξωnTd =
δ = ln x1/x2 = 2πξ/ωd√1-ξ2
DECREMENTO LOGARITMICO
SERVIRA A MISURARE x1 e x2 POSSO COSÌ CALCULARE δ E DI CONSEGUENZA ξ
CASO 3 : ξ = 1 λ1,2 = -ωn = λ x(t) = aeλt + beλt
a e-ωnt + b e-ωnt = e-ωnt(a + bt)
PROBLEMA IN CAUCHY
x(t) = e-ωnt(a + bt) L'ESPONENZIALE PREDOMINA IN
UN PRODOTTO TRA FUNZIONI, PERCIÒ x(t) ➝ 0 .
x(t) = e-ωnt(a + bt)
x(0) = x0
ẋ(0) = v0 ⇐ ẍ(x) = -ωn e-ωnt (a + bt) + e-ωnt b
x(0) = a = x0
ẋ(0) = -ωn x0 + b = v0 ➝ b = v0 + ωn x0
x(t) = e-ωnt [ x0 + (v0 + ωn x0) t ]
ANDAMENTO :
quindi per t→∞ :
x(t) = xp(t)
soluz. particolare
xp(t) = soluzione del moto a regime
considero F(t) = F0 senωt (o cosωt non cambia).
xp(t) ≃ x0 sen (ωt-∊)
noto:
mẍ + cẋ + kx = F0 senωt
mẍ + cẋ + kx = F0ejωt quindi se usassi ϕ sarebbe una comb. lin. di sen = cos.
il termine con il sen sarà la componente immaginaria.
(cioè la nostra xp(t) sarà la comp. immaginaria).
↺ soluz. suggerita, la derivo:
ẋ(t) = x0ωcos(ωt-∊)
ẍ(t) = -x0ω2sen (ωt-∊)
↺ prova. di un vettore rotante sull'asse immaginario
ẋ = x0ωsen (ωt-∊+π/2)
senα = cos(α+π/2)
PER UN SYST. NON SMORZ.
ẍ = 0 → F(t) = F0ejωt
x(t) = x0 cos(ωt - φ) → x0 cos ωt β < 1
x0 cos (ωt - π) β > 1
CASO β > 0
- β → 0 tgφ → 0 φ → 0
- β → ∞ tgφ → 0 φ → π (DEN.C. NEGATIVO)
- β = 1 φ = π/2
MAN MANO CHE β CRESCE, IL SALTO È MENO REPELL!NO. β > 0 MA PICCOLA, β > 0 MA GRANDE.
OTENIMENTO DI SOLUTIONE NON GRAFICO MA ANALITICOFUNZIONE DI RISPOSTA IN FREQUENZA →
mẍ + cẋ + kx = F0ejωt ← CONTIENE QUINDI s
SOLT. IN FORMA: x(t) = x̂0 ejωt
PULSA. = ALLA ω DELLA FORZANTE
AMP. COMPLESSA
ẋ(t) = jωx̂0ejωt
ẍ(t) = -ω2x̂0ejωt
-mω2x̂0ejωt + jcωx̂0ejωt + kx̂0ejωt = F0ejωt
-mωx̂2 + j5ω + 5cw DIVIDA NUM E DENOM * k
Amplificazione
Attenuazione
T > 1
T < 1
In amplificazione l'effetto è amplificato rispetto alla causa, in attenuazione avviene l'esatto opposto.
Isolare dalle vibrazioni → Per isolare T → 0
Quindi β dev'essere più grande possibile, ξ più piccolo possibile (curva nera ξ≈0 ad esempio).
Quindi ρ↑↑ ⇒ Perfetto
Isolamento
ξ↓↓
Come ottengo ξ↓↓ e β↑↑?
Per ξ↓↓ dev'essere piccolo lo smorzamento:
ξ = C/Ccr = C/2√km → C↓↓ C dev'essere molto basso
Se considero nessuno smorzamento artificiale, avrò un sistema poco smorzato (quindi smusso viscoso viene eliminato).
ρ↑↑ → ρ = ω/ωN = √k/vm (per questo sistema mecc.)
ωN↓↓ → Ho 2 possibilità:
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