Meccanica applicata alle macchine Cinematica

CINEMATICA DEL PUNTO

Il punto è una entità GEOMETRICA, non fisica

Esempio punto GPS: il punto è molto piccolo rispetto alla mappa

MOTO DEL PUNTO NELLO SPAZIO

(variazione della posizione nel tempo)

• Distanza di riferimento
• Tempo

POSIZIONE

• ORIGINE
  • SDR: VERSORE \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) \( (x, y, z) \)

  terna DESTRORSA

• VETTORE POSIZIONE

\ = x_P(t) \hat{i} + y_P(t) \hat{j} + z_P(t) \hat{k}\ in uno specifico istante temporale

In un piano possiamo usare anche la notazione polare

Nello spazio si aggiungono le coordinate cilindriche o sferiche

CILINDRICHE: ρ, θ, z

SPERICHE: ρ, θ, φ

PIANO: Notazione esponenziale complessa

(P(t) - O) = x_ρ i^θ + y_ρ j = ρ cos θ i + ρ sen θ j = ρ cos θ + i i sen θ = ρ e^iθ

ma anche:

e^iθ = cos θ + i sen θ

in notazione cartesiana

energia

x_p = R cos ωt

x_p' = -R ω sen ωt

y_p = R sen ωt

y_p' = R ω cos ωt

energia

tg θ = ẏ_p / ẋ_p = dy/dx

la velocità è sempre tangente alla traiettoria

Nel caso U -> ₂ ²

Nel caso U -> = dt

Nel caso moto circolare uniforme

_P = ²X

XP=K -> = ²NNel caso moto circolare accelerato -> = dt₂ ²N

r = -> ²N

Tema cinematico del moto

P

p

Velocità

\(\vec{v}_P = \frac{d}{dt} (\vec{P-O}) + \frac{d}{dt} (O-O) = \dot{x}_P \hat{i} + x \frac{d}{dt} \hat{i} + \dot{x}_O \hat{i}\)

profac - dedurre formula di un vettore - formula Poisson \(\frac{d}{dt} \hat{i} = -\vec{\omega} \wedge \hat{i}\) ; \(\frac{d}{dt} \hat{j} = \vec{\omega} \wedge \hat{j}\)

con \(\omega = \) velocità angolare della terna relativa

Raccolti 1

\(\vec{\omega}\) \(e^{ia}\) - \(\dot{\alpha} e^{ia}\) - \(\dot{\alpha} e^{ia}\) \((\hat{ia})\)

Raccolti 2

\(\frac{d}{dt} \vec{\zeta} = \frac{d}{dt} \vec{n}\)

ALLORA \(\vec{v}_P = \dot{x}_P \hat{i} + x \left(\vec{\omega} \wedge \hat{i}\right) + \dot{x}_O \hat{i}\) \(\vec{v}_P = \dot{x}_P \hat{i} + \vec{\omega} \wedge \dot{x}_O \hat{i} + \dot{x}_O \hat{i}\)

propr associativa (P-O)

DERIVIAMO ANCORA PER OTTENERE

\(\vec{v}_p = \dot{a}(t) \vec{e}_i + \dot{b}(t) i \beta(t) \vec{e}_j + \dot{\vec{b}}(t) \beta(t) \vec{e}_j + \dot{\beta}(t) \vec{e}_j\)

\(\dot{\vec{v}}_p = \frac{d}{dt} \vec{v}_p = \ddot{a} \vec{e}_i + \dot{b} \dot{\beta} \vec{e}_j + \dot{i} \beta \vec{e}_j + \dot{i} \beta^2 \vec{e}_i + i \beta \dot{c} \vec{e}_i +i \dot{\beta} \vec{e}_j\) \(\vec{a}_{Rel} \quad \vec{a}_{p, T} \quad \vec{a}_{p, n}\)

hbar{EXTRACTION}

\(\vec{a}_p = \vec{a}_{p, Rel} + \vec{a}_{p, Tr} + \vec{a}_{p, coriolis} = \vec{a}_{p, Tr}\)

coriolis \(\vec{a}_p\) \(\vec{a}_p\)

\(\vec{a}_{Tr, Tr} + \vec{a}_{Tr, Rot, t} + \vec{a}_{Tr, Rot, n}\)

• MOTO RETTILINEO: Solo acc. tang.
• DOVUTA ALLA: Traslazione del carrello
• ROTATIONE: Comp tangenz, Comp normale

\(\vec{a}_{Tr, Tr} + \vec{a}_{Tr, Rot, t} + \vec{a}_{Tr, Rot, n}\)

coriolis \(\dot{\vec{v}}_{p, Rel} \beta_{i} \vec{e}_i\)

\(\vec{w}^2\)

\(\cdot \beta^c \dot{e}_{i\beta}\)

\(\vec{w}\)

i \(\vec{\dot{b}}\) \(e_j\)

2 d/dt (P-Q) (P-Q) = 0

(P-Q)=

d/dt (P-Q) = d/dt (P-O) - d/dt (Q-O)

v_P v_O

(v_P - v_Q) (P-Q) = 0

le componenti su (P-Q) delle velocità deve essere uguale (verso concorde)

ALLORA v_P (P-Q) = v_Q (P-Q)

crepa

tutti i punti della retta hanno o 1 o l' altro

le velocità

Per verificare che il moto sia piano non basta identificare nello spazio un solo punto che sta fermo ma bisogna identificare 2 punti con

VELOCITÀ NULLA (NELLO SPAZIO)

EQ. RIVALS

→a_A = →a_B + →ω^. ∧ (A-B) + →ω ∧ →ω ∧ (A-B)

con A, B e allo stesso corpo rigido

Nel caso piano →ω^. e →ω hanno componente solo lungo k

IN GRANDE

MOTO TRASLAZIONE: solo →a_B

MOTO GENERICO: se un punto è fisso il moto sta fermo posso usarlo come appoggio (B)

Opera con det

vettori

_c( c)

RAGGIO CERCIND OSULLARE

d_c = d_cd_t

(d²d_t)²

R²θ²

a_c = R

p è un raggio co puòde traettoria celilnea

Quando P_o = CIRR lo strisciamento è nullo

Circonferenza PRIMITIVA

Circonferenza di BASE

CIRC.PRIMITIVA IMPO PERCHÉ EQUIVALE A DIRE CHE

Ω₁O₁P_o = Ω₂O₂P_o

τ = Ω₂/Ω₁ = O₁P_o/O₂P_o = k_p1/k_p2 = z₂^m/2/z₂^m/2 = z₁/z₂

RAPPORTO DI TRASMISSIONE