Meccanica applicata alle macchine Cinematica

9/3/17

CINEMATICA DEL PUNTO

Il punto è una entità GEOMETRICA, non fisica

esempio punto GPS: il punto è molto piccolo rispetto alla mappa

MOTO DEL PTO NELLO SPAZIO

(evoluzione della posizione nel tempo)

• distanza di riferimento
• tempo

POSIZIONE

ORIGINE

SDR: (VERSORI) \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) (x, y, z)

terna DESTRORSA

• VETTORE POSIZIONE

\((P(t) - O) = x_p(t)\hat{i} + y_p(t)\hat{j} + z_p(t)\hat{k}\)

in uno specifico istante temporale

In un piano possiamo usare anche la notazione polare

CINEMATICA DEL PUNTO

Il punto è una entità GEOMETRICA, non fisica.

Esempio punto GPS: il punto è molto piccolo rispetto alla mappa.

MOTO DEL PTO NELLO SPAZIO

(valutazione della posizione nel tempo)

• distanza di riferimento
• tempo

POSIZIONE

ORIGINE

SDR

(VERSORI) _i, _j, _k (x, y, z)

terna DESTRORSA

VETTORE POSIZIONE

(P(t) - O) = x_p(t)_i + y_p(t)_j + z_p(t)_k

in uno specifico istante temporale

In un piano possiamo usare anche la notazione polare

Nello spazio si aggiungono le coordinate cilindriche o sferiche

CILINDRICHE: ρ, φ, z

PIANO: Notazione esponenziale complessa

(P(t) - O) = x_0 i + y_p j = ρ cosθ  + ρ senθ = ρ cosθ + i senθ = ρ e^iθ

ma anche:

e^iθ = cosθ + i senθ

creare una tabella con | t | x_p | y_p | z_p | sopra le funzioni :

traiettoria del punto

ci serve l'equazione che descrive latraiettoria: si deve esplicitareil t dal sistema

con θ = Ωt

con costante =1

eq. della traiettoria

→ s = ^y⁄_A

y_g = - B ^x2⁄_μ² + c x² eq della parabola conconcavità verso il basso

Equazione di moto dell'ascissa curvilinea

Valore che indica la quantità percorsa in funzione del tempo

Tabella t | y

• Tale odore escissa curvilinea da eq. della traiettoria

s(t) = ∫₀^t √ (dx_p/dt)² + (dy_p/dt)² + (dz_p/dt)² dt

Ascissa Curvilinea

Principio circonferenza

x_p = R cos ωt

y_p = R sen ωt

dx_p/dt = -R sen ωt

dy_p/dt = Rω cos ωt

e

s(t) = ∫₀^t √ R²ω²sen² ωt + R²ω²cos² ωt dt =

= ∫₀^t Rω dt = Rωt = Rθ

esempio parabola

_dxp / _dt = A   ;   _dyp / _dt = B_t

e

s(t) = ∫₀^t √(A² + B²t²) dt

VETTORE VELOCITA = _{d r(t)} / _dt quando   _vp(t) = _dds

_d[P(t)_{Δ t} - P(t)] = [P(t + Δt) - P(t)] / Δ t

per Δ t → 0 → la differenza tende a ds

ds non dà info su direzione e verso → ẑ versore tangente

→ per Δ t → 0

r̂(t) = _ds / _dt ẑ(t)

v_p = _ds / _dt

In notazione cartesiana

d/dt (P(t) - O) = J̅_p = ẋ_p(t) ı̅ + ẏ_p(t) j̅ + ż_p(t) k̅

Esempio

x_p = R cos ωt → ẋ_p = - Rω sen ωt

y_p = R sen ωt → ẏ_p = Rω cos ωt

Esempio

θ = ẏ_p / ẋ_p = dy / dx

la velocità è sempre tangente alla traiettoria

con notazione ESPONENZIALE

((t) - ) = (t) e^i(t)

• previsione:

eⁱ = cos + i sen

d/dt eⁱ = ( - sen + i cos ) ̇ = i ̇ eⁱ

e^{i( + π/2)}

la derivata del versore è sfasata di 90°

Quindi se

^→ ⊥ ̇^→

|| = √[̇² + ( ̇)²]

ou

angolo

- Moto rettilineo uniforme

la traiettoria è una retta

(P(t) - O) = xpi

v̅_P = ẋpi

(P(t) - O) = ρ(t) e^iθ

v̅_P = ρ̇ e^iθ

Nel caso generale

Moto circolar