Appunti per l'esame di Meccanica Applicata alle Macchine

1. Composizione dei meccanismi:

Macchina: Sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sotto

l’azione di forze convenientemente applicate, lavoro d’interesse industriale.

Meccanismo: Dispositivo in grado di trasformare le forzo d’ingresso ed il movimento

in un insieme di forze di uscita e movimento desiderati.

Membri: Organi che compongono una macchina, od un meccanismo.

Elemento cinematico: Membro a contatto con

Coppia cinematica: Insieme di due elementi cinematici a contatto; ha almeno un

grado di libertà. A seconda di dove avviene il varia il numero dei gradi di

moto,

libertà, se è ho 3 gdl, se è ho 6 gdl.

piano spaziale

Tipologie di coppie:

1) Indipendenti: Permettono un movimento relativo ad un solo gdl.

2) Combacianti: In contatto con porzioni di superficie finita.

3) Elementari: Coppie rigide e combacianti.

Moto di rotazione (es. cerniera).

3.1) Rotoidale: Moto di traslazione (es. cilindro + pistone).

3.2) Prismatica:

Moto elicoidale (es vite + madrevite).

3.3) Elicoidale:

Catena cinematica: Un dispositivo è tale se suppongo che nessuno dei membri che

lo compongono sia a priori da considerarsi fisso.

3 1 2 , ,

Regola di Kutzbach: , dove .

, Applicazioni:

3 4 1 2∙4 1

1. Manovellismo di spinta: .

3 4 1 2∙4 1

2. Quadrilatero articolato: .

3 4 1 2∙3 1 1

3. Camma e punteria: .

3 5 1 2∙6 0

4. Giunto di Oldham: , in realtà ha 1 gdl; infatti il

corpo 4 non aggiunge nessun vincolo poiché il punto M descrive una

traiettoria circolare.

2. Forze agenti sulle macchine:

Forze: (Nel movimento della macchina compie lavoro positivo).

Motrice: (Nel movimento della macchina compie lavoro negativo).

Resistente:

Derivano dall’azione di corpi esterni alla macchina o dall’azione di campi di

Esterne:

forze. Nascono dal contatto fra i membri della macchina. Esempi:

Interne: (tra le due superfici in contatto non

1.Attrito di strisciamento fra superfici asciutte

molecole/atomi di altre sostanze, come polvere, ossidazione…).

"

! , f = coefficiente di attrito, dipende dal materiale, dalla

#

Legge di Coulomb: 0,2 ≤ ! ≤ 1,8.

natura delle superfici, dalla temperatura, dalla pressione di contatto,

(tra le due superfici in contatto c’è un materiale lubrificante).

2. Attrito mediato

Conseguenza dell’attrito tra superfici asciutte è il logoramento, quanto vale?

Ipotesi del Reye: “Il volume di materiale asportato durante il logoramento è

proporzionale al lavoro di attività”.

Esempi:

1) Perno di spinta:

Un albero/disco/geometria cilindrica su un piano è tenuto da una forza assiale,

. Quanto vale per mantenere la

mantenuta in rotazione con un momento d’attrito μ

A

rotazione? Distribuzione di pressione fra superfici di contatto.

! ∙ ∙ 2& ∙ ' ≡ 2& ∙ ∙

(

Per le ipotesi del Reye: (Lavoro

resistente/dissipato dalle forze di attrito è proporzionale al volume), f=coefficiente

*

di attrito, p=pressione di montaggio, h=usura/riduzione di pattino. Quindi .

+

Voglio trovare la distribuzione delle pressioni: ̅

. .

/ /

̅ - ∙ 2& ∙ 2& - ⟹ ⟹

2& 2 2

. .

0 0

3̅ ∙ (equazione traslazione verticale)

4 . +

5.

/ 0

Voglio il momento di attrito da applicare al perno di spinta per mantenere la

rotazione: .

.

/ /

6 - !∙ ∙ 2& ∙ 2&! - &! 2 2 ⟹

7 . .

0 0

. 8.

6 ! ! 2

0 /

7 9:;<= (equazione di rotazione).

6 > ! 2

7 9:;<=

Nota bene: Se , c’è slittamento.

2) Pattino su superficie piana:

@ 5@ F @ 5@

+ ∙C + E G, E

D1

0 A 0 A

( ( , h è lo spessore del materiale

B B @ A

asportato per effetto dell’usura.

C! H C I ! J II I

K

Ipotesi del Reye:

E I I !! II K

Dall’equilibrio: C C ̅

B B

̅ - C - + E C +E ⟹ ⟹

D1 G +E 2

( (

̅ C

1+E

+E 2 B ! ̅

L ! C

M

B

Forza necessaria per mantenere l’equilibrio:

Porzione dissipata dal punto p: 2E

1+

C

B B 3

̅ ∙ C - C C - + E C +E ⟹ C

NC O 2 3 2+E

( (

( (

E 0 ⇒ I I ⇒ C 2

(

è E E JJ , ′ E I I I .

3) Ceppo-puleggia (freni a ceppo e tamburo):

Direzione di accostamento –> ho la massima usura.

Descrizione: La puleggia ruotante attorno al proprio asse viene premuta sulla fascia

cilindrica da un ceppo che viene accostato alla puleggia con un movimento di

traslazione. Voglio trovare la distribuzione della pressione nel contatto ceppo-

puleggia. Affinché il ceppo possa rimanere a contatto con la puleggia nonostante

l’usura, deve subire uno spostamento traslatorio. Lo strato usurato ha pertanto

costante secondo la direzione di accostamento; quindi secondo il

un’altezza h

0

raggio della puleggia, lo spessore dello strato varia secondo la legge:

cos V. 2 V

( Il volume di materiale asportato dall’usura sull’area elementare

2 cos V V. ! 2 V'

( (

vale: Il lavoro di attrito corrispondente vale:

angolo di cui ha ruotato la puleggia

α

( Per le ipotesi del Reye:

.

Volume del materiale asportato = Lavoro delle forze di attrito:

2 cos V V ! 2 V' ⟹ V cos V.

( (

d=angolo

Voglio calcolare che individua la direzione della risultante delle azioni di

d ⟺

pressione. Per farlo basta osservare che individua tale direzione proiettando

tutte le azioni di pressione in direzione ortogonale a quest’ultima, si ottiene un

valore nullo. Cioè:

g g

- sin ' d 2 ' 2 - cos ' f sin ' d ' 0 ⟹

g g

5 5

g5hij g

tan d tan f .

g8hij g d,

Proiettando tutte le azioni di pressione sull’angolo devo trovare F :

p

o n

L cos ' d 2 ' ⋯ 2lm cos f d + sin m cos f + d

M /

3 o .

5 /

Calcolo la forza equivalente alle azioni di attrito:

p !L d,

3

La risultante è ed è ortogonale alla direzione individuata da inoltre sarà

applicata ad una distanza d da O tale che:

m

g 4 sin 2

- ! 2 V !L , 2 cos d.

m + sin m

3

g

5

Circonferenza del Romiti:

K=Intersezione delle rette di azione T e F .

d, p (

Al variare di il punto K descrive una circonferenza di diametro:

o

hij cos d.

42 /

g8hij g ssss

d qr

Se trovo trovo = braccio di tutte le risultanti delle azioni normali e tangenziali

o

ssss t. hij

qr cos d.

/

che la puleggia ed il ceppo si scambiano. g8hij g

Punto P = Per questo punto passano le risultanti delle azioni normali e tangenziali

0

che si scambiano il ceppo e la puleggia.

Utilità del Romiti = Risolvere equilibri freno a ceppo flottanti.

Attrito di rotolamento:

Caso ideale:

Le forze dissipanti (ad esempio l’attrito) sono assenti.

La distribuzione delle pressioni è simmetrica.

Caso reale:

La distribuzione delle pressioni è deformata.

R si sposta in anticipo rispetto al rotolamento della ruota di una quantità u

(=parametro è causato da elasticità imperfetta, elasticità

d’attrito volvente,

ritardata, urti tra le asperità).

' ' < 1 , rappresenta la frazione della semicirconferenza c della zona

deformata. ⟹

P ed R costituiscono una coppia il momento si oppone all’v (= rotazione ruota

⟹ 6

sul terreno) devo applicare un momento per mantenerlo un moto con

v=costante.

Esempi (parametro d’attrito volvente):

1) Ruota e piano perfettamente elastici:

3+

∁ xy { I , | JJ I

z 3+ 3

'xy ⟹ ! 'xy

+

z z+

2) Solo la strada è deformabile e la pressione è proporzionale alla deformazione:

}≡ | + + + 2 ≃ + 2 ⟹ 2

€+

•z y

}≡ ⟹ • z

@ €+ €

y y

'x ⟹ ! 'x

• •

+

z z+ /

3) Ruota rigida, strada si deforma plasticamente:

€ €

⟹ ! 'x

} ≡ |, ' 'x +

z z+

Cuscinetti a rotolamento:

Utilità: L’attrito è più basso rispetto ai cuscinetti di strisciamento.

3. Lavoro e rendimento: ‚ L∙ I E I .

Il lavoro di una forza/coppia è una grandezza scalare:

La forza può essere applicata a:

Parti mobili:

Lavori positivi --> forza motrice

Lavori negativi --> forza resistente

Telaio:

Reazioni movente = membro al quale è applicata la forza motrice.

Reazioni cadente = membro al quale è applicata la resistenza utile.

‚

ƒ

Forza motrice compie lavoro: ‚

.

Resistenza utile compie lavoro: ‚

€

Resistenza passiva compie lavoro:

Teorema delle forze vive:

Δ… ‚ ‚ ‚ Δ… J . I E

ƒ . €

ΔΕ 0 ⟹ ⟹

Se per ogni intervallo di t l’energia cinetica è costante la macchina si

‚ ‚ + ‚

ƒ . €

dice in condizioni di regime assoluto: .

L’energia cinetica E è una funzione periodica del tempo t, di periodo T.

Regime: ‚ + ‚ Δ… 0

‚

ƒ . € è sempre vera, per ogni intervallo

Assoluto --> L’equazione

di tempo (esempio: turbine, alternatori).

‚ ‚ + ‚

ƒ . €

Periodico --> L’equazione è verificata solo per intervalli di tempo

che sono multipli del periodo T (esempio: motori alternativi, come motori a pistone,

pompe a pistone, compressori alternativi). ˆ

‡ ‚ ≠ 0 ⟹ ‡ < 1 E

‰ €

Rendimento per le macchine a regime: siccome

ˆ

Š

;ˆ ˆ

‡ ‡ ΔI

‰ ‰

<Œ•BŽ•BŽ:= 9:;<=

;

;ˆ ˆ

Š Š

ˆ

1 ‡ •

Differenza di perdita: ˆ

Š

1) Meccanismi in serie:

Il cadente di ogni meccanismo è il movente del successivo, il rendimento è:

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

‡ ∙ ∙ …∙ ∙ ‡ ∙ ‡ ∙ … ∙ ‡

‰•’0

‰0 ‰/

‰• ‰• Ž

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Š0 Š/ Š• Š• Š•“0

2) Meccanismi in parallelo:

Il moto è trasmesso da un movente a più meccanismi differenti, oppure viene

trasmesso da più meccanismi ad un solo cadente, il rendimento vale:

‚ + ‚ + ⋯ + ‚ ‡ ∙ ‚ + ‡ ∙ ‚ + ⋯ + ‡ ∙ ‚

‚ + + + 9 9 Ž 9

‡ + 0 / • 0 / •

‚ ‚ + ‚ + ⋯ + ‚ ‚ + ‚ + ⋯ + ‚

9 9 9 9 9 9 9

0 / • 0 / •

3) Espressioni del rendimento:

Considero una macchina in cui:

‚ } ∙ I E I

9

Forza motrice = P, ‚ ” ∙ • I E I

+

Forza resistente = Q,

P, Q rimangono costanti 0

‚

€

Condizioni ideali: Macchina identica, ma senza resistenze: A

L

9=•+<*:

Considero un po’ più piccola, non ci sono forze da equilibrare (es: attrito),

} L → ‚ } ∙

( ƒ (

dunque A

‚ + ‚ ‚ , E ‚ 0 ⟹ ‚ ‚ } ∙

+ € 9 € + 9 ( , il rendimento vale:

A A A A

‚

‚ } ∙ }

9

‡ + ( (

A

‚ ‚ } ∙ sp }

9 9

4) Moto retrogrado:

Macchina funzionante a regime, ma in condizioni di moto invertito, nel senso che la

forza Q, che prima era resistente, diventa la forza motrice. Per osservarne il moto a

} K

regime, dovremo applicare una forza con la stesso retta d’azione di P, che

costituisce la forza resistente della macchina.

˜ ˜ ˜ ˜

ˆ € ∙Œ3 € ∙Œ3 €

‡ K —

˜

ˆ š∙Œ3 € ∙Œ3 €

A A

™ } ”, } x ∙ ”,

(

Moto diretto: condizioni ideali; condizioni reali (k>1)

} 1

‡ ⟶ ‡<1

(

} x

Moto retrogrado: NON lascio la fune ed il peso viene giù con un moto accelerato,

I I ⟹

MA: mi deve scendere con devo applicare una forza resistente:

} ∙ x ” J E I I , L E E • ,è

K + )

œ • œ

K

5) Relazione :

‚ ‚ ‚ 1 ‡ ‚ ‚ ‚ ‚

K K K

1 ‡ 1 ‡ ⟹ ∙ ‡∙ x ∶

€ + € €

€ € €

K

‚ ‚ ‚ 1 ‡ ‚ ‚ ‚ ‚

K K K

K

ƒ + ƒ €

ƒ € €

‡∙ x+1 x

‡ K œ

6) Macchina ad arresto spontaneo:

Avvien quando la macchina si ferma spontaneamente, nel caso che venga a mancare

la forza motrice, senza che inizi il moto retrogrado:

x

≤ 0 ⟹ ‡ ≤ è x ≃ 1 ⟹ ‡ ≤ 0,5

‡ K 1+x

E I I E | E I .

Esempi di rendimento:

1) Piano inclinato:

}

‡ , f ≫ ', } sin f ” sin '

(

} ( š hij ¡8¢

} sin f + ” sin ' + ⟹}

Condizioni reali: hij £8¢

š hij ¡

}

(

Condizioni ideali: hij £

} sin ' sin f + sin ' ∙ sin f cos + sin cos f

‡ ⟹ ‡ ∙

(

} sin ' + sin f sin f sin ' cos + sin cos '

1 + ! cot f &

I : ‡ 0,5 f ∨ '

1 + ! cot ' 2 š hij ¡5¢

sin f ” sin ' ⟹ }

} K K

Condizioni moto retrogrado: hij £5¢

} 1 ! cot '

K

‡ I : ‡ 0 '

K K

} 1 ! cot f

(

2) Coppia rotoidale:

Q=Forza resistente (assegnata), P=Forza motrice(nota solo la retta d’azione), R=Reazione

vincolare passante per il punto H (dall’equilibrio dei momenti) e tangente al circolo

¦).

d’attrito (di raggio } ∙ ”∙|+2∙¦ ⟹} šz8.§

Equilibrio dei momenti intorno al centro del perno: B

¨}

2 + ” 2}” cos V

Equilibrio delle forze usando thr. Carnot:

2 ≃ 2

(

Dal momento che ho che: ”| ”|

©ª

y}

2 + ” 2}” cos V +” 2ª ” cos V

« «

( ( | |

”© +1 2 cos V

Dunque:

”| + 2¦ ”| ¦ | |

”©

} + + 1 2 cos V

Da cui:

} 1

‡ (

} 1 1 2

¦y

1 + + cos V

|

|

Mentre: 1 2

¦©

‡ 1 + cos V

K | |

3) Coppia prismatica:

Q = Forza resistente (nota); P = Forza motrice (nota retta d’azioni)

} cos ' + f ” cos f ⟹ } cos ' ” cos f

(

” cos f

” cos f

} }

cos ' + f cos '

(

} cos f cos ' + cos f ∙ cos ' cos sin ' sin

‡ ∙

(

} cos f cos ' cos ' ∙ cos f cos + sin f sin

1 ! tan '

1 + ! tan f

4) Coppia elicoidale:

Considero una vita mobile e la madrevite sia fissa. Alla vite applico una forza

resistente Q (nota e diretta secondo l’asse). Sono note anche le caratteristiche

V

geometriche della vite (cioè: h = passo, r = raggio medio del filetto, = angoli che

m

le generatrici degli elicoidi formano con un piano normale all’asse della vite). È noto

'

anche = angolo d’attrito tra vite e madrevite. Sia = inclinazione dell’elica media.

= momento necessario a mantenere la vite in moto uniforme.

Voglio trovare M m

Considerazioni: • ∙

Considero un tratto elementare di elica media, di lunghezza , ed indico con

• •

la forza su di esso agente; è dunque la forza unitaria di contatto. La forza è

¬),

scomponibile in una (indicata con che forma con l’asse

d, -¬),

componente normale

della vite un angolo, ed una (indicata con diretta

componente tangenziale

secondo l’elica media, ossia secondo la direzione dello strisciamento della vite sulla

madrevite. ®

9

Per calcolare il momento si ricorre all’equazione dei lavori, scrivendo che il

lavoro motore, corrispondente ad una certa variazione della vite, è uguale alla

somma del lavoro resistente e del lavoro perduto per spostamenti corrispondenti,

2&

facendo riferimento alla rotazione posso scrivere che:

® ∙ 2& ” + ‚ ‚ I

9 3 !

Il lavoro perduto, come si evince dalla figura, è dovuto unicamente alle forze .

! 2&

Infatti lo spostamento della forza , per una rotazione della vite, è pari alla

2& 9

lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti . L’ipotenusa

@

risulta uguale a . Dunque:

hij ¡ ! ¯

‚ -

sin '

3 (

JJ J E I I I II I E I

! ¯

” + M

sin '

® (

2&

9

Voglio calcolare l’integrale, dunque dall’equilibrio delle forze agenti sulla vite alla

traslazione assiale: ”

¯ ¯ ¯

cos d - ⟹ -

” + ! sin ' - cos d ! sin '

( ( (

Ottengo quindi che:

” ! ”

® + ®

°1 ±

2& sin ' cos d ! sin ' 2&

9 9 A

Il rendimento della coppia vale dunque:

® 1 sin ' cos d ! '

9

‡ A 1

® sin ' cos d + ! '

1+

9 sin ' cos d ! sin '

d V '

Voglio calcolare essendo noti ed (questo può essere calcolato se sono noto il

@

tan ' ' d