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Meccanica Applicata alle Macchine

Appunti di meccanica applicata alle macchine basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Allotta dell’università degli Studi di Firenze - Unifi, facoltà di Ingegneria, Corso di laurea in ingegneria meccanica. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Meccanica applicata alle macchine docente Prof. B. Allotta

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ESTRATTO DOCUMENTO

2 I I E I E | .

(

Tre categorie di rotismi epicicloidali:

1 B Ruotismi riduttori: µ v

µ

Ž

Una delle ruote esterne (v è fissa ed il movente ed il cedente sono costituiti

dall’altra ruota e dal portatreno. Ha di nuovo senso parlare del rapporto di

trasmissione. Dalla formula di Wills, si ottiene:

v

µ 0

Ž

Hp) ruota fissa:

Movente portatreno: v

µ 1

(

µ

Ω (

µ

Movente ruota uno: Ω (

v

µ 1

(

v

µ 0

Hp) ruota fissa: v

µ

Movente portatreno: 1

µ

Ω (

µ

Movente ruota uno: Ω 1

v

µ 1 (

Esempio: µ

Ω *

v

µ 0, E I v , I I I → , II :

v

µ

µ

v

µ Ω v

µ

µ µ µ∙

→ Ω

, Ω v

µ → Ω 1 v

µ → 1

µ µ

Ω Ω

( ( ( (

Esempi di applicazione:

Riduttore a ruote coniche: J

µ

Ω J J

J ,

J

v

µ J + J J

(

1

J • •

Riduttore a ruote cilindriche: J v

µ J

J J

, 1

• t •

µ

J J J J

Ω

( t t

} J J 50, J 49, J 51:

t •

v

µ 49 ∙ 51 50 1 50 + 1 50 1 1

1 1 1

t

µ 50 50 50 50

Ω

Ruotismi di questo tipo, che permetto forte riduzioni con molte ruote, hanno

rendimenti molto bassi.

2 B Ruotismi combinatori:

Hanno due gradi di libertà ed hanno un movente ed un cedente.

3 B Ruotismi compensatori:

Hanno due gradi di libertà, due cedenti ed un movente. Il più noto è il differenziale

automobilistico, che è un ruotismo a ruote coniche, dove il movente è il portatreno

ed i cedenti sono i due semiassi.

Le ruote 1 e 3 ruotano con lo stesso verso di rotazione; la ruota 2 è detta oziosa,

1

(

allora: (dalla formula di Wills). v

µ +v

µ

µ

°Ω ±

2

µ

v

µ ⟹ Ω v

µ v

µ

v

µ • •

sono uguali .

In rettilineo

v

µ v

µ •

In curva sono diverse poiché:

La ruota interna ha velocità più bassa

La ruota esterna ha velocità più alte

8. Organi flessibili:

I meccanismi ad organi flessibili sono caratterizzati da coppie cinematiche costituite

da un elemento flessibile (come ad esempio: cinghia, nastro metallico, catena) che si

avvolge sopra ad un elemento rigido (come ad esempio: puleggia, carrucola,

tamburo cilindrico).

Nota bene: Nessun elemento è perfettamente flessibile, per deformarlo è

necessario compiere lavoro, che non viene mai integramente restituito. Viene

recuperato il lavoro accumulato come energia elastica, non restituito quello

dissipato per attriti.

‡: ‡

Problema La dissipazione pesa sul

Caso ideale: } ”, ‡ 1

Effetto elastico prevalente:

m ⟹

m

3 š verso l’esterno aumentano la forza motrice e la forza resistente

(“poggia e buca”): } 2 + m

‡ ( ,

} ‡ , m < m ⟹ ‡ < 1

2 + m € š

” ∙ + m } ∙ 2 + m

õ2 ö š

š €

Effetto d’attrito prevalente:

m m

3 š

verso l’interno verso l’esterno:

} 2 m

‡ ( ,

} ‡ , m > m ⟹ ‡ < 1

2 + m € š

” ∙ + m } ∙ 2 + m

õ2 ö š

š €

m

Valutazione di per:

1. Cinghie:

Equilibrio alla rotazione della puleggia:

} ∙ + m ” ∙ 2 + m

õ2 ö -

3

Casi: → } ”

(

Ideale š∙õ.8g ö

→ } ∙ + m m > m

” ∙ + m ⟹ }

õ2 ö õ2 ö .

- -

3 3

Reale .8g /

” ∙ + m ö

õ2

Θ Θ Θ Θ

-

‚ ‚ ‚ }∙2∙ ”∙2∙ ∙2∙ ”∙2∙

2 + m

3:+;$•= 9 . 3

m m

2 + m

- - 3

1O ”2Θ ”Θ m m

”2Θ ∙ N -

2 + m 2 + m 3

3 3

Dunque: 2

1 ¬

‚ m

”Θõm m m m ⟹

ö, 3 4

- - É∙ ∙

3 3 3

2. Catene: m

Nel caso di una catena può essere fatta una valutazione di una volta noto il

coefficiente di attrito della coppia rotoidale costituita dai perni della catena:

2 Õ -

Θ Θ Θ Θ 1 ¬

‚ ”¦ + }¦ }+” ! ≃” ! ⟹ Ë Ë

2 É34 É

3 II I , ! !! I II I ,

ove: ¦ K K

E I I .

Macchine per rallentamento carichi:

1) Carrucola fissa:

La fune si avvolge sulla carrucola che ha un asse fisso collegato al telaio con una

staffa con accoppiamento rotoidale

¾ }+”

Dall’equilibrio alla traslazione:

} 2 m ¦ ” 2+m+¦ ⟹

Equilibrio dei momenti: à

m: L J E I , ! I I , +m: ‚ ! I

à

! J I I I • I Ià

m+¦

1+

2+m+¦ m + ¦

2

⟹} ” ” ≃ ” + 2 x”

ª1 «

m+¦

2 m ¦ 2

1 2

} ” 1

”⟹‡

} ( x” x

}

(

2) Carrucola mobile:

La fune è in parte vincolata ed in parte fissa sul telaio. Sulla puleggia è applicata la

forza resistente (discorde forze motrice)

p+} ”, p 2+m+¦ } 2 m ¦ ⟹} xp,

p + xp ”⟹ p 1+x

” } ” 1+x 1+x

} , ‡ ∙

(

2 2 x” 2x

(

Nel moto retrogrado: 1 ” } ” 2 2

K

” 1 + x } ⟹ } , } , ‡ ∙

p x} K K K K

1+x 2 } 1+x ” 1+x

( =

Paranchi:

I paranchi sono macchine costituite da una serie di carrucole fisse ed una serie di

carrucole mobili, rispettivamente montate su di un unico asse, e da una fune che i

avvolge alternativamente su di esse. Una delle estremità della fune è libera ed ad

essa è applicata la forza motrice; l’altra estremità può essere fissata alla parte fissa

od a quella mobile. Sono possibili quattro casi:

1. Tiro invertito e fune collegata alla parte mobile:

+ p + p + ⋯ + p ”

p

( Ž5

p xp

(

p xp x p

( x 1 x 1

Ž

p x p ⟹ ” p 1 + x + ⋯ + x p ⟹ p ”

Ž5 Ž5 x 1 x 1

Ž5 ( ( ( ( Ž

x x 1 ”

Ž

} x p ⟹ } ”, }

Ž 1

x

( (

Ž 1 1 1

} x 1 x 1

Ž x x

Ž

‡ , ‡

( K 1

} x 1 1

x x x

Ž Ž

1

x Ž

2. Tiro invertito e fune collegata alla parete fissa:

Ho lo stesso risultato del caso precedente salvo che il numero delle carrucole è pari

anziché dispari.

3. Tiro diretto e fune collegata alla parete fissa:

+ p + p + ⋯ + p + }

( Ž5

Q=p

p xp

(

p xp x p

( x 1 x 1

Ž8

} x p ⟹ ” p 1 + x + ⋯ + x p ⟹ p ”

Ž Ž x 1 x 1

( ( ( ( Ž8

x x 1 ”

Ž

} x p ⟹ } ”, }

Ž x 1 +1

( (

Ž8

x 1 +1 x 1

} Ž8 , ‡

‡ ( K

} + 1 x x 1 x x 1

Ž Ž8

4. Tiro diretto e fune collegata alla parte mobile:

Ho lo stesso risultato del caso precedente salvo che il numero delle pulegge è pari

anziché dispari.

5. Paranco differenziale:

È costituito da due carrucole fisse di diametro diverso solidali fra loro e da una

carrucola mobile. L’elemento flessibile è una catena che ingrana con la carrucola

fissa di diametro minore munita di denti; ciò per evitare lo slittamento della catena

sulla puleggia stessa.

p + p ”, p xp • | I J I E |

K

( (

” x

⟹ p , p ”

1+x 1+x

( p 2 +m+¦ p 2 m ¦

p 2 +m+¦ } 2 m ¦ + p 2 m ¦ ⟹} (

2 m ¦

(

” x 2 +m+¦ 2 m ¦ ” m+¦ 2 m+¦ m+¦

6 7 6ª1

} ≃ + 2 «x ª1 + «7

1+x 2 2 1+x 2 2 2

m ¦ m ¦ 2

2

} ª1 «

2 2

( 2 2 1 + 2 ≃ x:

g8§

Se trascuro la differenza e nei termini di attrito e suppongo che .

0

1 2 2

1 x

” 2 2 2 1+x 22 22

2 2

x

} ªx «, ‡ ∙ , ‡ ∙ ∙

K

2 1

2 22 2 2 2 2 x x+1

1+x x 1+

2 x

Ho arresto spontaneo se: x 2 >1

2

Trasmissione con cinghie: p ≠ p

Per trasmette il moto bisogna che (differenza di tensioni), dunque devo

p

p

studiare come fa la cinghia a passare da

Equilibrio alla rotazione: 2

®

® p p 2 ò 9

9

® p p 2 ® 2

+ + p p

Durante il contatto della cinghia sulla puleggia, la tensione passa dal valore e

viceversa. Voglio determinare la legge di variazione determino l’equilibrio di un

elemento infinitesimo di cinghia:

Studio l’equilibrio lungo le direzioni radiali e tangenziali.

ï ! J J E I ! I E

K

Equilibrio direzione tangenziale:

' '

p + p cos p cos «, E è II I :

ª « ª K K

2 2

' '

p + p cos p cos «+! ï ⇒ p ! ï J I

ª « ª

2 2

! I E ! JJ ′ II I

K

Equilibrio direzione radiale:

L: E I ! I E I ⇒ è ! J I ! L

K

¦2 '

9 %

¦ D G,

9 Massa elementino, Massa per unità di lunghezza della cinghia 9

2 ' Lunghezza elementino infinitesimo di cinghia.

L E2v 2v . I I ¦2 v ' ¦ '

* ' '

p sin + p + p sin ï + L,

ª « ª «

2 2

' ' '

ª « ª «≃ª «

p sin ! I E I ⟹I | sin

2 2 2

' ⟹ p ¦ ⟹ p ' ï

p ' ï+¦ ' ï, p ¦ p K K

p p p ! ï,

K

Siccome e ho che:

p p p

K K

p ' ⟹ p !p ' ⟹ ! ', I : log !',

N O

K K K

! p K " ˜ p

I I I J , ⟹ log !' ⟹ p

D G K

K ¡ .

"

p p ' 0 ⟹ p p

K K

K K

La tensione cresce, fino a raggiungere per

Attenzione: p p K

K ¡

La tensione non può variare con la legge: lungo tutto l’arco di

abbracciamento della cinghia sulla puleggia; infatti tali angoli hanno valori diversi

8 9

sulle due pulegge. La tensione varia con tale legge esponenziale lungo un certo arco

e rimane costante lungo l’arco restante

(arco di scorrimento) (arco d’aderenza).

m m ã || E I , m ≠m , m f+d , m f+d

&

f I J I , f ≃ 90 = 2

f:

Determino il valore di

p p p p p 2 1

® 2 2

K K K £

+ ® ® 1

£

p ∙ , p ∙

+ +

K K

2 2

1 1

£ £ f,

Queste due relazioni non sono sufficienti per determinare il valore di che dipende

p

(

dal valore di (tensione nella condizione di pulegge scariche). Ammesso che la

cinghia si comporti in modo perfettamente elastico e trascurando le variazioni di

lunghezza negli archi di abbracciamento, affinché la cinghia in lavoro abbia la stessa

p p p

p

lunghezza della cinghia a riposo deve essere:

, JJ I II | , … I Ià,

( (

…∙ …∙ ! J

+p +1

p ® £

p ⟹ p ∙ +•

+

2 22 1

( ( £

p ® f.

( +

da cui assegnati e posso calcolare

:;

: 8

p , ® f:

( + :;

Dato se cresce deve diminuire , questo comporta l’aumento di

: 5

f

Quando ha raggiunto il valore massimo pari all’angolo di abbracciamento della

puleggia minore, le due tensioni non possono crescere ulteriormente e fare così

®

+ . La cinghia scorre globalmente sulla puleggia, riducendo di solito la

equilibrio a

scorrevolezza.

Cinghie a sezione trapezoidale: permettono di raggiungere valori più elevati del

coefficiente di attrito.

;#

p 2! ¾ 2! ï,

K < < <

il coefficiente d’attrito diventa:

hij hij hij

Rendimenti delle trasmissioni a cinghie:

Le principali cause di perdita nelle trasmissioni a cinghie sono:

Ë Ì Per elasticità della cinghia: ⟹

La massa che passa attraverso le due sezioni deve essere uguale la somma è

uguale a zero. È dovuta al fatto che per effetto delle deformazioni elastiche le

velocità periferiche non uguali. Infatti sezionando i due rami liberi delle cinghie

dovrà essere nulla la massa totale di cinghia che attraversa le sezioni per unità di

tempo e quindi indicando con la massa per unità di lunghezza della cinghia scarica

si ha: • Ià x

ª• ° ±«

p Ià JJ E

1+ …∙ x ±, … ∙ x

… JJ E I ° E •

p

1+

• 1

…∙

⟹ =

p p

1+ 1+

…∙ …∙

Essendo: • •

>p ⟹ > •>• >• • •

p p p

1+ 1+

…∙ …∙

= 1;

Per le cinghie indeformabili risulterebbe il rapporto effettivo di trasmissione

vale dunque:

v v 2 2 2 2 =

∙ ∙ ∙ ∙

v v 2 2 2 2 >

Un’ulteriore dimostrazione del fatto che si evince da:

® v >® v ⟹ 2 p >2 p : >

p p

2 2

Quindi la puleggia motrice deve aderire al tratto più teso, viceversa quella

resistente; l’aderenza si ha dunque sempre dalla parte del ramo entrante.

É Ì Perdita per rigidezza:

Equilibrio dei momenti:

2 2 p +m p

® p +m p m 2 p +p

9

® p 2 m p 2 +m 2 p p m p +p

+ m

p p p +p

∙ v 2 p p m p +p

® ® 2 2

‡ + + m

® ∙ v ® 2 2 p p +m p +p p p + p +p

9 9 2

m p +p

D G

1 m p p 1

+p m +p 1 p +p

2 p p °1 ± °1 ±≃1 mª «∙

≃ ∙ ∙ +

m +p

p 2 2

p p 2 p p 2 p p

D G

1+ p p

2 1 +1

1 £

1 m∙ª «∙

+

2 2 1

£

> Ì Perdite per effetto ventilante:

È la perdita dovuta alla resistenza dell’aria sulla cinghia e sulla puleggia. Non è

facilmente valutabile, ma comunque varia sensibilmente con la velocità.

? Ì Perdite per attrito nei perni:

Anche questa può essere sensibile perché in genere i perni sono fortemente caricati

p p

dalle tensioni e . Sotto questo aspetto sono molto convenienti i galoppini

p

tenditori, che mantengono costane la tensione da vuoto a carico ciò permette di

ƒ ƒ

p 1,15 p 0,15

— —

avere mediamente e .

. .

Per altro la cinghia è più sollecitata perché le flessioni per giro sono in numero

superiore. Il rendimento globale è, in genere, abbastanza elevato e può raggiungere

85%.

lo Pe motivi pratici non conviene avere rapporti di trasmissione al di fuori del

9

, 3G 40, 50

D

campo e velocità periferiche superiori a .

• Œ

Freni a nastro:

1) Ordinario:

Sono costituiti da una puleggia solidale all’albero, che vogliamo frenare. Sulla

puleggia si avvolge un nastro d’acciaio, bloccato in parte fissa non necessariamente

sul fulcro della leva, la quale è montata sul fulcro fisso del telaio. Sulla leva è

applicata la forza. La differenza sostanziale con la trasmissione a cinghia è che qui ho

uno scarrucolamento su tutto l’arco di abbracciamento.

p p ¡ ricavata da trasmissione a cinghia, in cui non ho scarrucolamento quindi

è applicabile ai freni a nastro, faccio un’approssimazione)

Equilibrio della rotazione della puleggia e della leva:

® p p 2⟹® p 1ö2

õ ¡ L

, ® 2õ 1ö

L ¡

p L ⟹p

B p > p :

Se il ramo del moto si inverte

p p ⟹p p

¡ 5 ¡ L 1

¡

, ® 2∙

L K

® p p 2õ1 2õ1

2 p ö ö ¡

K 5 ¡ 5 ¡

® < ®

K significa che il freno a nastro funziona meglio (ha un momento frenante

v v

maggiore) se è orario (come nella figura) rispetto ad un antiorario.

2) Differenziale:

La differenza da quello ordinario è che il nastro anziché essere montato in parte

p p

fissa, è collegato alla leva in modo tale che i bracci e siano tali per cui

L

applicando la forza il nastro si serri sulla puleggia. L ⇒

p p , p | p | +L ⇒p | p | + L ⇒ p |

õ| ö

¡ ¡ ¡

L

⇒p | |

¡

Essendo: ¡

p p ⇒p L

5 ¡ | | ¡

Ho che: 1

¡

® p p 2 2 L

| | '

| < 0 L

| ¡ la forza cambia di direzione. Questo significa che il freno entra

Se L 0

in azione anche se (freno ad azione spontanea). Se il senso di rotazione si

'.

inverte cambia segno all’angolo In ogni caso deve essere verificata la condizione

| >

che per piccole rotazioni della leva il nastro si serri su di essa. Questo comporta

| quando il funzionamento è quello indicato nella figura.

Quando si vuole un momento frenante circa uguale nei due sensi di rotazione si può

| | |.

ricorrere alla disposizione nella figura. Essendo

2 1

¡

∙ ∙L

® | +1

¡

p p q.

Poiché questa volta i momenti di e hanno segno concorde rispetto ad

9. Dinamica: A…

A A… A… 3

+ L ∙ •

ª «

AI A A• A•

º : <

< <

… Energia cinetica,

3 Energia potenziale,

< Coordinata lagrangiana i-esima, variabili alle quali faccio riferimento per

individuare i gradi di libertà, • , • , … , •

Ž

Gradi di libertà, tanti sono questi tante saranno ,

L ∙ •

: < Forze lagrangiane, sistema di forze applicate al nostro sistema ridotto

all’i-esima coordinata lagrangiana.

Equazioni di moto di una macchina:

Nel caso di un meccanismo o di una macchina, quale normalmente intesa, in cui vi

siano soltanto membri che si muovono i moto piano ed il complesso abbia un solo

C

B C D D

grado di libertà, ho delle espressioni che hanno una forma particolarmente

E

E = '

*

dei membri in movimento, il vettore

semplice. Sia ha al

E 0

F G G

3E ∧ 3 C 1. ® 0 Á

+

massimo dimensione e è una matrice La matrice è

ancora uno scalare che ha le dimensioni fisiche di un momento d’inerzia o di una

V

massa a seconda che la variabile indipendente rappresenti una rotazione od uno

C.

spostamento

L’energia cinetica è espressa dunque da:

1 1

V

Á ≡ E C Cº E I I I ≡E I I I

2 2

+

Le forze elastiche e dissipative esterne sono normalmente nulle. Se supponiamo di

poter trascurare anche le perdite interne dovute agli attriti delle coppie cinematiche

risulta che:

A… A… F F

Vº V 1 V

H

F I

Vºö Vº Vº

ª « õF V V V + ” V, , I

* * + +

AV

AVº

I I 2 V 2 V

+ +

Nel caso in cui la variabile indipendente sia uno spostamento, l’equazione prende la

forma: 1 E C

I C Cº + Cº L C, Cº , I

+

2 C

+ +

I L

+ +

(o la forza lagrangiana ) sono calcolate imponendo

Si osservi che il momento

che il lavoro compiuto da essi per una variazione unitaria della variabile

indipendente sia uguale al lavoro compiuto da tutte le forze applicate al sistema per

spostamenti dei loro punti di applicazione congruenti a quello della variabile

indipendente.

Masse di sostituzione: 1 :

Da un sistema di passo ad un sistema di …

… … 3

+ L

N O

* * -

I º • •

3

Due casi:

1 C:

= Se ho come coordinata lagrangiana …

… … 3

+ L L J

ª «

* *

Cº C C

I F

2 V:

= Se ho come coordinata lagrangiana …

… … 3

+ ® ® E I

ª «

* *

I V V ô

Posso ricavare l’equazione di moto:

I sistemi meccanici hanno membri (non mi interessa che siano rigidi) che hanno una

⟹ ⟹

distribuzione di massa “rottura” calcolare le distribuzioni di massa di un

sistema con la distribuzione continua è complicato meglio approcciare

l’equazione di Lagrange e la dinamica usando semplificazioni. Cosa sono le masse di

sostituzione? Schematizzo i membri; invece che con una distribuzione continua di

massa, con delle masse concentrate. Devo imporre che i due sistemi abbiano la

stessa energia cinetica, che è espressa da:

1 1 Γv

E + v

µ µ,

"

%

2 2

dove:

v

µ " F F

F

velocità angolare, F Fý F

F F F

Γ Γ K L

Fý ý ý

F F F

tensore/matrice/omografia d’inerzia: F ý

F F F

, ,

F ý momenti d’inerzia rispetto agli assi del sistema di riferimento,

F F

F , ,

Fý ý ý momenti d’inerzia centrifughi.

Affinché le energie cinetiche (delle masse continue e delle masse concentrate) siano

uguali: ∑ E ®

Ž

N <

Le masse devono essere uguali:

∑ E C 0

Ž<N < <

∑ ,

E ü 0 0, 0, 0

Ž<N < <

∑ Se prendo un sistema di riferimento baricentro =

E J 0

Ž<N < <

∑ E C ®C

Ž<N E

< <

∑ ,

E ü ®ü

Ž<N E

< <

∑ Se prendo un sistema non baricentrico,

E ü ®J

Ž<N E

< <

∑ ∑ ∑

• • •

9 F 9 ý 9

C , ü , J

O0 O0 O0

E E E

∑ ∑ ∑

• • •

dove: 9 9 9

O0 O0 O0

Γ:

Verificare la matrice

∑ F

E + J

õü ö S

Ž<N < F

< <

∑ F Q

E + J

õC ö

Ž<N Q

< ý

< <

∑ F

E + ü

õC ö

Ž<N < < <

∑ F F R

E C ü

Ž<N Q

< < < Fý ýF

∑ F F Q

E C ü

Ž<N < < < Fý ýF

∑ F F P

E ü J

Ž<N < < < ý ý

Ho un totale di 10 equazioni. 10

Pertanto se si assegnano in modo arbitrario punti, le precedenti equazioni

10 10 E

<

costituiscono un sistema i equazioni nelle incognite , che ammette in

generale una sola soluzione. J

Se il moto è piano, assumendo l’asse normale al piano del moto coincidente con il

J 0.

piano ∑ F F F F F

E J 0, , , , ,

Ž<N < < F ý Fý F F

Non ho più , dimostrazione del perché i momenti

d’inerzia centrifughi sono nulli: F F F 0

F Fý F

F F F F

L T U

K 0

v v , v , v 0, 0, v ⟹ 0 0 v ∙ v

" Fý ý ý

F F F

F ý v

F ý

4

Mi rimangono equazioni:

∑ ∑ ∑

∑ F

® , E C 0 , E ü 0 , E + ü

E õC ö

Ž<N Ž<N Ž<N

Ž

N < < < < < < < <

4

Infine se allineo le masse (a titolo di esempio):

∑ E ü 0 ⟹ 3

Ž<N < <

Perdo: ho solo equazioni.

Concludendo un corpo rigido, che si muove di moto piano, può essere sostituito, per

3

quanto riguarda l’energia cinetica, da masse puntiformi allineate su di una retta

baricentrica.

Studio dinamico di meccanismi:

Nello studio di un meccanismo ad un grado di libertà l’approccio matriciale non

offre un sostanziale aiuto ed in genere conviene scrivere direttamente l’energia

cinetica del sistema, eliminare le variabili in sovrannumero mediante un preventivo

studio cinematico e scrivere direttamente l’unica equazione di Lagrange.

Esempio:

1. Ruotismo:

≪ ∼

⟹ ≪

Raggi albero ruota i raggi dell’albero sono trascurabili.

Momenti d’inerzia dell’albero ruota.

V

Scelgo come variabile lagrangiana

1 1 1

F F F F

Vº Vº Vº

… + + +

K

2 2 3

* • •

V , V V

• •

Quindi:

1 1

F F F F F F

Vº Vº

+ + + , I I

… K

2 2

* • +ô +<;=••= B ô

• 0 0

… H H

F F F

Vº Vº

⟹ V V J

õF ö

* K

Vº I

+ô +ô +ô +ô

0 0 0 0

… 3

0, 0 E | E I I JJ

*

V V

® v ® v +® v ® v ⟹ ® ® +® ®

+ • • + • •

® V +® V ® V ‚

• • 9

9 Lavoro del momento esterno applicato al nostro meccanismo)

V V V V ⟹ ® +® ® V ® V ‚

• • • • + 9

® + 9

H H

F

F V ® +® ® ⟹ V ®

+ • • + +

® + ® > ® ⟹ ® ®

• •

Se il sistema ruota in modo concorde a e .

® + ® < ® ⟹ ®

• • •

Se il sistema ruota in modo concorde a .

Se ho coppie elastiche e viscose?

º

® V

í • •

• º

‚ V V

í • • • Vº Vº

® V ∙ V ⟹ ® ∙

í • • • í • • •

®

í • •

0 • •

Tutto avviene come se sull’albero 1 agisse una coppia viscosa di coefficiente: .

H

F Vº

V ® I

+ + • •

H H

F F

Vº Vº

V + ® I V J ,

K

+ • + + •

• •

Se ci mettessi una coppia elastica:

® x V

+

‚ x V V , V V V V ⟹ ‚ x V V

® V ‚ x V V ⟹® x V

+ +

H

F Vº

V + + x V ® V I I

I x

+ • +

2. Quadrilatero articolato:

F F ssss ssss

, , ¿é E

F

• z

ssss

Siano i momenti d’inerzia delle manovelle (ãæ rispetto ai propri assi,

z

la massa della biella (æ¿ e il suo momento d’inerzia baricentrico.

Energia cinetica del meccanismo:

1 1 1 1

F F F

… v + v + E + Ω

E

2 2 2 2

* • z z

ssss ssss

1 ã{ 1 1 ãæ

1 F F F

ssss

v + v + E v ãr + v

N O N O

ssss ssss

2 2 2

2 ¿é qæ

• z z

F F F F

ssss

ssss /

7V ¯

/

v + + E ãr + V

0

• z z ô

ssss

¯ å

•/ / 0 V

ssss

Momento d’inerzia ridotto alla coordinata Lagrangiana :

ã{ V F

,

ssss ⟹ V ≠ I I

ãr V ô

ssss 0

qæ V

Ora voglio ridurre il momento delle forze esterne alla nostra lagrangiana: le potenze

devono essere uguali. ssss

ã{

T® U

v ® v ® ®

® V ® V

ssss

¿é

• • •+ •+ • •+ ô

0 V

(Potenza manovella Momento ridotto alla coordinata lagrangiana )

Equazione di moto:

F V

1

H

F Vº

ô

V V + ⋯ ® V , I

0

2 V

ô ô

0 0

;W

… ,

Al posto di ci sarebbe trascurabile, viene messo in conto al secondo membro.

;-

Dinamica delle macchine alternative:

1. Masse ridotte della biella di un manovellismo:

sssss

q® ⟹

Manovella, corpo solido che ruota rispetto ad un punto fisso non è

*

difficile calcolare .

Pistone/cursore, massa che descrive un moto alterno, lo schematizzo

sssss

come un punto materiale.

}® Biella, problema.

Sostituisco la biella con tre masse allineate poste in P (piede della biella), M (testa di

biella), G (baricentro della biella). Ž

+ E + E E E E

1. E °X ±

E

€ ƒ z < z

<N

Ž

2. E ∙ E ∙ | 0 E C 0 ±

°X

€ ƒ < <

<N

F F

Ž

3. E ∙ + E ∙ | E C

°X ±

€ ƒ z < z

<

<N

Risolvo: F F

E | E | F

E ⟹ + E | ⟹ E

ƒ ƒ z z

| +| |

€ ƒ z ƒ

F F F|

E E E E

z z E

| |

ƒ € z

I valori delle masse dipendono dalla geometria della biella; nel caso limite di

approssimare la biella con un parallelepipedo di lunghezza e larghezza risulta:

1 E E

+

E E E + O≃

N1

z z

12 6 6

€ ƒ z 2

2E 2

E E E

z

E 6 3

z z E E

€ ƒ

La risoluzione può essere fatta anche mediante due sole masse e ed un

F

momento d’inerzia fittizio (nel senso che ad esso non corrisponde alcuna

(

distribuzione di massa) che indico con .

Le equazioni di equilibrio sono: E + E E

€ ƒ z

Y E ∙ E ∙ | 0

€ ƒ F F

E ∙ + E ∙ | +

€ ƒ ( z

Risolvo:

E E

| |

⟹ + E E

E ƒ ƒ

€ ƒ z | F F

E E E E E ∙ |

ƒ z € z ( z z

F < 0

(

Solitamente poiché:

Z

®

Tutte le masse tra danno un contributo inerziale minore rispetto al caso in cui

® ®

tutta la massa sia concentrata in (ci sono masse anche dopo che avranno un

contributo inerziale maggiore, ma non sono in grado di soppesare). Affinché questo

Z

non si verifichi bisognerebbe che la biella fosse molto più lunga, ma è impossibile. Lo

}.

stesso discorso è applicabile alle masse tra

2. Energia cinetica del manovellismo:

È la somma dei seguenti termini: F v

9

Energia cinetica della manovella E B €

Energia cinetica delle masse dotate di moto alterno (masse alternative)

Energia cinetica della biella pari all’energia cinetica delle sue masse di sostituzione:

1 1 f

1 F

E + E v + ª «

2 2 I

2 € ƒ (

€ E E

€ ƒ

È chiaro che la massa si somma alle masse alterne e a quelle della manovella

F ;£

D G

( si ha:

(masse alterne); per quanto riguarda il termine ;•

E

sin f ¶ sin V ª¶ «

JJ E

f

cos f ¶v cos V I II I

I

f cos V ≪

¶v ≃ ¶v cos V f V

I cos f

f

F F F F F

¶ v cos V ¶ v 1 sin V ¶ v ¶ v sin V

ª «

I

( ( ( ( (

F F F

F v v sin V

( ( ( (

ƒ €

Ricordando che: ≪

[ [ +

v V + sin 2V ≃ v sin V, sin 2V 1

Dsin G

€ poiché è piccolino e

¯

v sin V

⟹ € F

(

Ne segue che l’energia cinetica spettante a può essere in parete imputata alla

\ \

®

A A

massa posta in (che si aggiunge alle masse rotanti) ed in parte alla massa

¯ ¯

/ /

}

posta in (che si aggiunge alle masse alterne). Nel caso di biella e parallelepipedo

risulta:

E E F

E E E

z z

2 2 6

€ ƒ ( z

F E E 2 E

⟹ E + E ⟹ E

( z z z

2 6 3 3

€ z ƒ

Energia cinetica di tutto il manovellismo:

F F

1 1

F F

lF nv

… v + E «∙D + + + V +

°ªE G ªE « ±

( € (

2 v 2

* B € 9 ƒ B +=•

F \ \ ssss

í

V + E + E q{

DE G D G DE G

A • A

B B € B €

¯ á ¯

/ /

F V

B è funzione solo di è il momento d’inerzia delle masse alterne (compresa la

massa di sostituzione della biella) ridotto all’asse di rotazione della manovella.

ssss

q{ sin V + sin 2V

ª «

v 2

Equazione di Lagrange: F

… … V

H

F F F

Vº Vº

+ V ∙ ⟹ + V ∙ V +

ª « õF ö

* * B

Vº Vº

I I

+=• B +=• B

F V

H

F Vº

+ ∙

V ∙ V +

õF ö B V

+=• B F

… V

1 Vº

* B

Vº V

2

Equazione di moto delle macchine alterne:

1

H

F F Vº

+ V ∙ V + V ® V, I

ö

õF 2 V

+=• B B B

3. Bilanciamenti delle macchine alternative monocilindriche:

Considero una motrice alternativa costituita da un manovellismo di spinta centrato

come la manovella ruotante a velocità costante. I suoi membri in movimento sono

soggetti alle seguenti forze alterne:

– L

1. La spinta del fluido agente sulla testa del pistone.

2

2. La reazione esercitata sul pistone dalle pareti del cilindro, che in assenza di

attrito è normale all’asse del manovellismo. q,

2

( esercitata sulla manovella attraverso la coppia rotoidale in che

3. La reazione 2 2

=F =ý

decompongo in e .

® q.

+

4. La coppia resistente applicata all’asse per

Per il principio di d’Alembert (per un sistema dinamico, le forze d’inerzia possono

essere circa considerabili come se fosse applicate stazionarie considero un

problema dinamico statico) questo sistema di forze è equilibrato dalle forze

d’inerzia delle masse del meccanismo; che sono:

E + E v q ®

Z 9 ƒ

1. La forza d’inerzia delle masse rotanti: diretta da verso ed

q.

9

essendo la distanza dal baricentro della manovella da

E + E s

€ € €

2. La forza d’inerzia delle masse alterne: dirette secondo l’asse del

H

F

manovellismo. f .

(

3. La coppia d’inerzia della biella pari a:

Condizioni di equilibrio: 2 + L L sin V + L

a H

=F + B

F

Q

+ L sin V + L L 0

2 f

®

=F + B 2 L sin V +

+ (

^ 2 + L sin V + 2 0 ssss

ssss

⟹ }q

}q

=ý +

=ý + €

H H

F F

ssss Q̀

® + 2 }q f 0 ® f

+ € ( 2 + (

_ ssss

ssss }q

}q

L L J I ! E I I

+

L L J I

B

L L J

® ® E I I I

+

ssss

}q æ

H

F f ® E I I !! II J |

( ⟹

Se il complesso delle azioni che sollecitano il telaio è uguale a zero il meccanismo

si dice equilibrato/bilanciato. Per ottenere un bilanciamento basta annullare i

termini alternativi di maggiore ampiezza, che generano effetti di vibrazione. La

® ⟹ L

+ B

variazione è molto lenta non produce inconvenienti. (forza alterna) è

diretta secondo l’asse del manovellismo ed ha carattere periodico, poiché è

s €

proporzionale all’accelerazione del piede di biella. È di difficile equilibratura. La

H H

\ \

£ £

q }

L J A A

sss ssss

s ha un’intensità limitata.

coppia d’inerzia della biella € €

Possibilità tecniche per annullare tali forze:

Forza rotante (facile annullamento):

E + E

9 ƒ Momento statico rispetto all’asse di rotazione della massa della

®;

manovella e della massa di sostituzione della biella in è nullo se il baricentro q

della manovella si trova dalla parte opposta del bottone di manovella rispetto ad

9 .

Š

ed ad una distanza dall’asse pari a Per fare questo basta disporre dei

9 ™

contrappesi sull’albero a gomiti.

Forza alterna:

s ≃ v cos V + ¶ cos 2V ;

€ chiamo forze alterne del primo ordine quella parte di

forze alterne indipendente da e forze alterne del secondo ordine quella dovuto al

¶.

termine proporzionale

Teoricamente anche la forza alterna è eliminabile:

z

s E + E ⟹ | < 0,

€ B z

La massa che moltiplica è : annullabile facendo cioè

* sssss

}® ®.

portando il baricentro della biella esternamente al segmento dalla parte di

Soluzione mai realizzata in un manovellismo semplice le forze alterne non

possono mai essere completamente bilanciate.

Compensazione parziale:

Forze alterne del primo ordine: Forze alterne del secondo ordine

Bilanciabile, aumento il contrappeso della manovella.

4. Bilanciamento di macchine alternative pluricilindriche:

ï

Considero il motore alternativo a cilindri in linea (gli assi di tutti i cilindri sono

paralleli).

Sul telaio della macchina agiscono:

La coppia di reazione

Una forza, somma di tutte le forze alterne e rotanti di componenti:

C X

X

Ž Ž lE n

+ v cos V + E v cos V + ¶ cos 2V

C

< +=• < B¯• < <

<N <N

B X

Ž E v sin V

+=• <

<N

Un momento (valuto rispetto all’origine degli assi) di componenti:

X

Ž

a ® ü J E| I

Q F < <

Q <N

X

Ž

® C J |

ý < <

<N

Q H

F F

X X

Ž Ž

® f ≃ ¶ v sin V

_ ( < (

<N <N

Posso annullare le singole forze rotanti contrappesando ciascuna manovella, oppure

annullo la loro somma contrappesando due manovelle.

Alternativa:

Disporre i cilindri in modo che le singole forze d’inerzia si annullino reciprocamente,

studio questo metodo. Il contributo delle forze alterne vale:

C X

Ž Ž

E v + ¶ cos 2V

cos V

ªX «

B¯• < <

<N <N

B X

Ž Ž

v cos V + ¶ J cos 2V

E J

ªX «

B¯• < < < <

<N <N

Il complesso di queste forze è un sistema equilibrato se:

X

Ž S

cos V 0

< • | I ! J I E

<N R

X

Ž J cos V 0 P

< <

<N

X

Ž S

cos 2 V 0

< • | I ! J I

<N R

X

Ž J 2 cos V 0 P

< <

<N m

<

Se indichiamo con lo sfasamento della manovella -esima rispetto alla prima, così

V + m

V

< < , le condizioni precedenti si scrivono:

che risulti

X X X

Ž Ž Ž

a cos V + m cos m sin V sin m 0

cos V

Q < < <

Q <N <N <N

Q X X X

Ž Ž Ž

J J J

cos V + m cos V cos m sin V sin m 0

< < < < < <

<N <N <N

X X X

Ž Ž Ž

cos 2 V + m cos 2V cos 2m sin2 V sin2 m 0

Q̀ < < <

Q <N <N <N

Q

X X X

Ž Ž Ž

J J J

cos2 V + m cos2 V cos 2m sin2 V sin 2m 0

_ < < < < < <

<N <N <N

V varia con il tempo queste equazioni sono soddisfatte solo se:

Poiché l’angolo

X

Ž S

cos m 0 Q

< Q

<N Q

X

Ž sin m 0

< …• | I ! J I E

<N R

X

Ž J cos m 0 Q

< < Q

<N Q

X

Ž J sin m 0 P

< <

<N

X

Ž S

0

cos2 m Q

< Q

<N Q

X

Ž sin2 m 0

< …• | I ! J I

<N R

X

Ž J cos2 m 0 Q

< < Q

<N Q

X

Ž J sin2 m 0 P

< <

<N 8 ⇒

Se sono verificate queste equazioni anche il sistema delle forze rotanti è

equilibrato:

X

Ž

a E v cos V 0

Q +=• <

Q <N

Q X

Ž E v sin V 0

+=• <

<N

X

Ž E v J cos V 0

Q̀ +=• < <

Q <N

Q X

Ž E v J sin V 0

_ +=• < <

<N H

∑ ∑

F F

f ≃ ¶v ⟹ .

sin V

Ž<N Ž<N

( < ( <

Infine essendo: è nullo anche

m

<

Osservo che sono soggetti all’ulteriore condizione di mantenere nel motore la

massima uniformità possibile della coppia motrice, dunque sull’albero vi devono

':

essere manovelle spostate ciascuna rispetto alla precedente di un angolo

2& 4&

' E I I E ; ' E I • II I E

ï ï

m 0, m ', m 2', … , m ï 1 '

• # ï

Dunque solo per particolari valori di la somma delle forze d’inerzia sarà nulla.

Per quanto riguarda i momenti:

q

Conviene prendere l’origine degli assi nel punto medio dell’albero a gomiti e

disporre le manovelle in modo simmetrico. Se questo è possibile il momento delle

forze d’inerzia è uguale a zero. Esempi:

b

Ë É:

Í 0, m &

' 2 I E & ⟹ m ∑ ∑

\ \\

L 0 L ≠ 0

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

® ≠ 0 ® 0

Ž Ž

Albero simmetrico < <

<N <N

' 4 I E 2& ⟹ m 0, m 2&

∑ ∑

\ \\

L ≠ 0 ≠ 0

L

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

® ®

0 0

Ž Ž

Albero simmetrico < <

<N <N

b >:

É Í 2& 2& 4&

' 2 I E ⟹ m 0, m ,m

3 3 3

∑ ∑

\ \\

L

L 0 0

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

≠ 0 ≠ 0

® ®

Ž Ž

< <

<N <N d4

t4 t4

' 4 I E ⟹ m 0, m , m

• La decomposizione della

• • • ⟹

manovella è identica a quella del motore a due tempi stessi risultati.

> b ?:

Í & & 3&

' 2 I E ⟹ m 0, m ,m

2 2 2

∑ \

L 0,

Ž<N <

Albero antisimmetrico, quindi:

∑ ∑

\ \\

L 0 L 0

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

® ≠ 0 ® 0

Ž Ž

< <

<N <N

' 4 I E & ⟹ m 0, m &, m 2&, m 3&

• t

e

∑ \

L 0

/ <

∑ ∑

<

Albero simmetrico con

\ \\

L 0 L ≠ 0

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

® 0 ® 0

Ž Ž

< <

<N <N

? b f:

Í 2& 2& 4& 8& 10&

' 4 I E ⟹ m 0, m ,m ,m 2&, m ,m

) (

3 3 3 3 3

• t

e

∑ \ 0

L

/ <

<

Albero simmetrico con

∑ ∑

\ \\

L 0 L 0

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

® 0 ® 0

Ž Ž

< <

<N <N

b h:

g Í 7&

& & 3& 5&

' 4 I E ⟹m 0, m ,m &, m ,m 2&, m ,m 3&, m

) ( i d

2 2 2 2 2

• t

e

∑ \

L 0 ,

/ <

<

Albero simmetrico con quindi:

∑ ∑

\ \\

0 0

L L

Ž<N Ž<N

c c

< <

∑ ∑

\ \\

® ®

0 0

Ž Ž

< <

<N <N

5. Motore a due cilindri a V:

f

Indico con l’angolo formato dagli assi dei due cilindri e mi riferisco al sistema di

assi di figura. Su ogni cilindro agiscono sui rispettivi assi le seguenti forze:

C E v cos V + E v cos V + ¶ cos 2V

∙ Œ +=• Œ +=• Œ Œ

B

∙ E v sin V

Œ +=• Œ

C

∙ E v cos V + E v cos V + ¶ cos 2V

Œ +=• ; B¯• ; ;

B

∙ E v sin V

Œ +=• ;

Sul complesso agisce la forza:

f f

C C C B B

+ cos sin

2 2

Π; Π;

f f

B B B B B

sin + + cos

2 2

Π; Π;

C C B B

, , ,

Π; Π;

Sostituendo a i loro valori si ottiene: f

C l n

E + E v cos V cos V + E v ¶ cos 2V + cos 2V cos 2

+=• B¯• Œ ; B¯• Œ ;

f

E v sin V sin V sin 2

+=• Œ ; f

B l n

E + E v cos V cos V + E v ¶ cos 2V cos 2V sin 2

+=• B¯• Œ ; B¯• Œ ;

f

+ E v sin V + sin V cos 2

+=• Œ ;

9 *

E + ∙

E ™

+=• ƒ perché la massa della manovella va suddivisa fra i

Si noti che + £ £

V V , V V +

Π;

due maccanismi. Adesso osservando che e:

f f f

cos + cos + 2 cos cos V

ªV « ªV «

2 2 2

cos 2V f + cos 2V + f 2 cos f cos 2V

f f

f sin V

cos cos + 2 sin

ªV « ªV «

2 2 2

cos 2V f cos 2V + f 2 sin f sin 2 V

f f f

sin sin V

+ sin + 2 cos

ªV « ªV «

2 2 2

f f f

sin sin + 2 sin cos V

ªV « ªV «

2 2 2

Si ottiene sostituendo: f f

C 2 + E cos v cos V + E v ¶2 cos f cos cos 2 V

ªE «

2 2

+=• B¯• B¯•

f f

ü 2 + E sin v sin V + E v ¶2 sin f sin sin 2V

ªE «

2 2

+=• B¯• B¯•

Le componenti del primo ordine sono nulle se:

f

E + E cos 0

j 2

+=• B¯• f

+ E sin 0

E 2

+=• B¯•

Ossia sommando:

2E + E E + 2E + E + E 0

j +=• B¯• 9 ƒ B €

f f

cos sin 0

2 2

La prima equazione può essere soddisfatta con un opportuno valore di c e la

f 90 . f 90 C

= =

seconda facendo Per si annulla anche la componente secondo

ü

della forza alterna del secondo ordine. Rimane solo una componente secondo del

E v ¶√2 sin 2 V.

B¯•

secondo ordine che vale:

Bilanciamenti di meccanismi piani:

La parte del bilanciamento è ben sviluppata per il manovellismo di spinta; più

recenti sono gli studi generali sul bilanciamento dei meccanismi piani. In generale è

possibile equilibrare le forze d’inerzia con opportuni contrappesi (bilanciamento

ma di solito rimane non equilibrata una coppia d’inerzia. Sebbene un buon

passivo),

bilanciamento sia auspicabile in molte circostanze l’aggiunta di contrappesi aumenta

la coppia d’inerzia non bilanciata, le reazioni dei cuscinetti e la coppia motrice

necessaria per azionare il meccanismo. Pertanto molte volte la migliore soluzione

tecnica consiste in un bilanciamento parziale, in altri termini il problema deve essere

visto in un quadro più ampio con il fine di ottimizzare un progetto tenendo conto di

esigenze diverse, spesso contrastanti. Studieremo questo problema nel caso di un

quadrilatero articolato.

1. Bilanciamento attivo:

ã, æ, ¿, é ssss

Dato il quadrilatero di figura, qualora sul telaio sia montato un secondo

ã, æ , ¿ , é ãé

K K

quadrilatero immagine speculare del piano rispetto alla retta e

ruotante in senso inverso, per ovvie ragioni di simmetria l’azione complessiva sul

ãé

telaio è diretta secondo la congiungente stessa. Questa componente può essere

eliminata introducendo la seconda coppia di quadrilateri indicati in tratteggio,

ruotanti alla stessa velocità (bilanciamento attivo). Questo metodo di bilanciamento

è teoricamente non facile a realizzare ed ha per tanto un interesse puramente

tecnico.

2. Bilanciamento passivo: Z Z

ã, æ, ¿, é

Z •

Considero il quadrilatero della figura ed indico con e i baricentri

il baricentro della biella.

delle manovelle e con

La porzione di ciascun baricentro rispetto all’asse del relativo membro è individuata

=

dal numero complesso: ;

Ãô

< <

La porzione di ciascun baricentro rispetto al telaio dai numeri complessi:

=

J ̙ ̢ ̢

0 0 0

^ =

J + +

̢ ̙ ̢ ̢ ̢

0 / / 0 /

=

J + +

̙ ̢ ̢

• • •

• t • t •

La forza d’inerzia totale che si scarica sul telaio è:

Ls E JH + E JH + E JH E J + E J + E J

I

• • • •

Essa risulta nulla se:

J + E J + E J E + E + E J I I

E E

• • •

Ossia se il baricentro complessivo dei membri in movimento rimane fisso.

, J , J

J • i rispettivi valori si ha:

Sostituendo a = = =

E +E +E + E I I

â â â

0 / •

• •

D’altra parte da considerazioni geometriche risulta:

+ +

â â â

0 / •

t •

â /

Eliminando fra queste due equazioni si ottiene:

= = = =

E + E E + E + E I I

â â

0 •

• •

= = =

, , •

SI noti che essendo costanti, gli unici termini variabili col tempo sono gli

â â

0 •

esponenziali e . Quindi la condizione imposta può essere verificata solo se:

=

E + E E 0

= =

E + E 0

• • •

= =

+ K

Dalla figura risulta e le condizioni precedenti si possono riscrivere:

= =

E E 0

K

= =

E + E 0

• • •

Esse determinano i momenti statici e le posizioni angolari del baricentro di due

membri, assegnate le analoghe grandezze del terzo; infatti in termini reali esse si

scrivono: E E K

E E

j • • •

V V K

V V + &

Dinamica delle motrici alternative funzionanti a regime periodico:

L’equazione di moto di una motrice alternativa soggetta ad un momento motore

® ®

9 +

ridotto ed ad un momento resistente è:

1 Á V

H Vº

Á V V + ® ®

2 V 9 +

® ® I I

9 +

Da questa si vede che anche nell’ipotesi la velocità angolare

º Vº

V Á V

non può essere costante a causa della variabilità di . La variabilità di è

® V ®

9 +

ancora provocata dalla variabilità di e talvolta anche di . Per tali motivi in

una macchina alternativa è possibile soltanto una condizione di regime periodico ma

Vº I I

non di regime assoluto . Si definisce di una

grado di irregolarità

macchina alternativa funzionante a regime periodico il rapporto:

v v

9BF 9<Ž

v 9:;<=

v v v v

9BF 9<Ž 9:;<=

Essendo e il valore massimo e minimo di nel periodo e il

v.

valore di Tanto più è piccolo quanto più la macchina si approssima alla condizione

di regime assoluto. Essendo in generale piccolo (da a a seconda delle

•( •((

applicazioni della motrice), l’espressione precedente può anche essere modificata

come segue: + v

v

v ≃ ⟹E I v + v 2v

9BF 9<Ž

2

9:;<= 9BF 9<Ž 9:;<=

v v + v v v

v ∙

9BF 9<Ž 9BF 9<Ž 9BF 9<Ž

v 2v 2v

9:;<= 9:;<= 9:;<=

L’equazione dei lavori: ‚ ‚ Δ…

9 +

… Á + Á v … + …

V v + B +

Essendo una motrice alternativa: può essere

‚ ‚ Δ… + Δ…

9 + B +

scritta: .

Essa costituisce un integrale primo dell’equazione di moto della macchina. Noto

® V ® V Δ… v V

Θ

9 +

e è possibile ricavare e quindi per ogni valore di compreso

entro il periodo della macchina e da questo risultato si può calcolare il grado di

irregolarità . Il calcolo può essere condotto per via numerica o per via analitica

grafica, seguendo il procedimento appresso esposto, noto sotto il nome di metodo

di Tretgold.

Nel metodo di Tretgold la variazione di energia cinetica delle masse alterne è messa

in conto come lavoro delle forze d’inerzia alterne supposte note e sommate alle

forze motrici. In realtà le forze d’inerzia alterne non sono note perché il loro valore

v

dipende dalla velocità angolare che è incognita, ma, essendo piccolo, possono

v v I I .

9:;<=

essere valutate in prima approssimazione per Così

facendo si ha:

‚ Δ… + Δ…

9 + B + 1

‚ Δ… ‚ ‚ + ‚ ‚ Δ… Á v v

2

9 B + 9 B + + + =

v

Á

+ è costante il massimo ed il minimo di si ottengo quando è massima e

Poiché

minima la differenza: ∗

‚ + ‚ ‚ ‚ ‚

9 B + 9 +

Pertanto risulta: 1 ∗

Á v v ‚ ‚

j

2 + 9BF = 9 + 9BF

1 ∗

Á v ‚ ‚

õv ö

2 + = 9 + 9<Ž

9<Ž

Da cui: 1 ∗ ∗

Á v ‚ ‚ ‚ ‚ x

õv ö

2 + 9BF 9 + 9BF 9 + 9<Ž

9<Ž

v v x

9BF 9<Ž Á

2v v

+

9:;<= 9:;<= Á

+

A parità di altre condizioni per diminuire occorre aumentare ossia calettare un

volano sull’asse della motrice. In pratica il calcolo si svolge nel modo che segue:

V ® V ® V

9 9B

- Si valuta per e Momento motore dovuto alle forze

d’inerzia alterne. ® V + ® V

9 9B

- Si integra il diagramma di per via grafica o numerica per

‚ V

ottenere il diagramma ‚ V ® V

+ +

- Si traccia il diagramma in base alla legge nota di variazione di

x.

- Si valuta la differenza di Á

+

La relazione precedente permette di calcolare per una data macchina od il

necessario per avere un dato grado di irregolarità.

Dinamica dei moti oscillatori:

Lo studio delle vibrazioni degli organi delle macchine riveste grande importanza per

gli effetti che tali moti possono avere sul funzionamento della macchina e sulla sua

stessa vita. In alcuni casi i moti vibratori sono utilizzati per conseguire alcuni effetti

utili (ad esempio convogliatori a vibrazione) ma di solito il loto studio è effettuato al

fine di individuarne le cause ed i eliminarne o limitarne gli effetti dannosi. Gli organi

delle machine sono sistemi continui on massa ed elasticità distribuita. Lo studio dei

moti di sistemi elastici continui è possibile in modo rigoroso soltanto in casi molto

semplici che hanno un interesse tecnico limitato. D’altra parte per i problemi tecnici

è sufficiente uno studio approssimato basato quasi sempre sulla sostituzione del

sistema continuo ad infiniti gradi di libertà con un sistema discreto avente un

numero finito di gradi di libertà. Questo modo di procedere è giustificato anche dal

fatto che i modi di vibrare di pratico interesse corrispondono alle configurazioni più

semplici della deformata dell’organo vibrante. Il problema delle più opportuna

discretizzazione del sistema continuo in studio non è semplice; in alcuni casi la

soluzione è ovvia, in altri rimane un notevole margine di direzionalità. La differenza

fra i vari schemi possibili tende a ridursi al crescere del numero dei gradi di libertà.

Da un punto di vista matematico la differenza consiste nel fatto che i sistemi

continui sono rappresentabili con equazioni differenziali alle derivate parziali ed i

sistemi discreti con equazioni differenziali ordinarie. Il numero dei gradi di libertà del

sistema è definito come il numero di coordinate indipendenti atto a rappresentarlo

e coincide con il numero di equazioni differenziali necessario per descrivere la sua

evoluzione nel tempo. Le equazioni differenziali del complesso (“Modello

matematico” de sistema) sono in genere accoppiate fra di loro a costituire un

sistema; esse possono essere disaccoppiate mediante opportuni cambiamenti di

coordinate. Le vibrazioni possono essere libere o forzate. Nel primo caso il sistema

meccanico vibra in assenza di forze esterne e soltanto sotto l’azione di deformazioni

inziali; in assenza di fenomeni dissipativi (“smorzamento”) la vibrazione si mantiene

indefinitamente nel tempo ed è costituita da una somma di moti periodici aventi

frequenza costante e dipendente soltanto dalle caratteristiche fisiche del sistema

stesso (“modi o frequenze naturali” del sistema). Le vibrazioni forzate si

manifestano quando il sistema è soggetto ad una o più forze eccitatrici di tipo

alternativo. La frequenza di oscillazione coincide con la frequenza della forza

eccitatrice. Se questa è uguale ad una delle frequenza naturali del sistema si

manifesta il fenomeno della “risonanza” e l’ampiezza di vibrazione diventa molto

grande limata soltanto dallo smorzamento. I sistemi meccanici sono di solito

debolmente smorzati e le frequenze naturali possono anche essere determinate

supponendo nullo lo smorzamento, senza commettere errori apprezzabili. Pertanto

lo studio del sistema libero non smorzato porta ad informazioni essenziali anche per

lo studio del sistema forzato. Le forze smorzanti si manifestano in vaie forme, non

sempre rappresentabili matematicamente in modo semplice. I tipi più comuni sono:

- Attrito viscoso, proporzionale alla velocità;

- Attrito coulombiano, approssimativamente indipendente dalla velocità;

- Attrito aerodinamico, proporzionale al quadrato della velocità;

- Attrito isteretico, forma assai complessa, descritta nel seguito.

Sistemi ad un grado di libertà:

Nel caso di un corpo rigido in moto traslatorio o rotatorio soggetto a forze elastiche

e viscose, le equazioni di moto sono:

ECH C Cº + ! I

H Vº

ÁV V + E I

A parte il diverso significato dei simboli le equazioni sono identiche e quindi basta

riferirsi ad una di esse. Il problema da risolvere è quello di determinare la funzione

C I ! I .

una volta assegnata la forza Il problema può agevolmente essere risolto

n C :

in modo generale utilizzando la trasformazione di Laplace (‚lC

n l n+

El C C 0 Cº 0 + C C 0 C L ⟹

L EC 0 + ECº 0 + C 0 L }

C + + + (

E + + E + E + + E + +

} 0;

(

Se tutti i valori iniziali sono nulli inoltre il secondo termini non è

significativo per quanto riguarda le proprietà intrinseche del sistema vibrante. Salvo

casi particolarissimi si può quindi porre:

L x

C L , :

E + + + 2= +1

9 9

1 , , 2=

x 9 9

v

l 9 Pulsazione naturale non smorzata.

= Fattore di smorzamento.

! I C I .

Assegnata la funzione la precedente relazione determina Esempi:

! I 1 I ;L

1. x

C + 2= +1

9 9

C I C

L’andamento della funzione dipende dai poli della ossia dalle radici

+ 2=v + v 0. =

9 9

dell’equazione:

Poiché nei sistemi meccanici normalmente è piccolo e minore di (quando è

dovuto ai soli smorzamenti interni del materiale), tali radici sono:

=v ± = =v ±

¨1

Âv Âv v J

9 9 9 3 3

C I

e la è espressa da: =

¨1

5ná • T U

™ sin v I + I

C I x 1 =

= 3

¨1 v

3

Si ottiene come è noto un’oscillazione smorzata di pulsazione ; l’ampiezza si

l .

n

riduce del fattore nel tempo

:

lL

! I m I 1n

2.

La forza eccitatrice, costituita da una forza di intensità molto grande che agisce per

tempi molto piccoli, può essere rappresentata con una funzione di DIrac:

x

C + 2= +1

9 9

v

5ná •

C I x sin v I

9

= 3

¨1

Si ottiene ancora un’oscillazione smorzata dello stesso periodo della precedente e

con la stessa legge di smorzamento.

á

! I sin vI L

3. 8á

Π/ /

C I

È noto che in generale la si compone di due termini. Il primo (integrale

particolare) è dovuto alla forza eccitatrice ed è dello stesso tipo di questa; il secondo

(integrale generale dell’equazione omogenea) è costituito da un’oscillazione

smorzata avente le stesse caratteristiche delle precedenti. Il primo termine

rappresenta l’oscillazione e la deformazione a regime. Nel nostro caso la situazione

di regime è rappresentata da un’oscillazione della stessa pulsazione della forza

eccitatrice. Se interessa questo termine si ha:

v x v x

C I ° ∙ ∙ ± +° ∙ ∙ ±

Υ Υ

+ Âv + 2= +1 Âv + 2= +1

+:%<9: 9 9 9 9

ŒNÃá ŒN5Ãá

1 x 1 x

∙ ∙ ∙ ∙

Ãá• Ãá•

2Â 1 v + Â2= v 2Â 1 v Â2= v

9 9 9 9

Ponendo: x ® â

v + Â2= v

1 9 9

Con: x 2= v

I

® ª «

9

1 v

1 v + 4= v

¨ 9

9 9

Si ha: Ã á•8¢ Ã á•8¢

C I ®∙ ® sin vI +

+:%<9:

®

dove e sono rispettivamente modulo ed argomento della funzione:

Âv.

nl

l valutata per

Œ 8 Œ8

/ / ™

™ C Z

Questo risultato è generale e non limitato a sistemi oscillanti ad un grado di libertà.

L ,

Z

Tutte le volte che si ha un’espressione del tipo

Ammettenza meccanica generalizzata o flessibilità dinamica

! I

E la è una forza che varia con legge sinusoidale, l’oscillazione a regime vale:

Z

|Z | n

C I v ∙ sinlvI + I v

+:%<9:

v la pulsazione della fase eccitatrice, supposta di ampiezza unitaria.

essendo =

Ritornando al semplice sistema oscillante già considerato è noto che l’ampiezza

della vibrazione può avere un massimo per valori di che variano in un certo

® v

campo. Il massimo di si ha per quel valore di che rende minimo il denominatore

1 v + 4= v v

9 9 ossia per che soddisfa alla condizione:

l n

; 1 v + 4= v 2 1 v v + 8ξ v 0

9 9 9 9 9 da cui:

;á ¨1

v 2=

v

+ 9 =

Questa pulsazione si dice pulsazione di risonanza del sistema. La risonanza ossia il

2= ≤ 1 ≤ ≃ 0,7.

massimo dell’ampiezza si manifesta solo se: ossia per √

® ;

9BF n¨

Il corrispondente massimo dell’ampiezza al rapporto

5n /

=

ƒ ƒ ≃ ”

p p

™ ™ n

n¨ si dà il nome di fattore di risonanza, per piccolo

5n /

“fattore di qualità”.

I fenomeni di risonanza sono in genere molto pericolosi negli organi delle macchine

perché con forze di intensità anche modesta, si possono avere deformazioni (e

®

quindi sollecitazioni del materiale) molto grandi. Il valore di inteso come rapporto

fra ampiezza della deformazione ed ampiezza della forza eccitatrice si denomina

anche flessibilità dinamica del sistema. Esso vale per quanto già visto:

1 1

® 1 v + 4= v

¨ v

v

9 9 ©°1 + 4=

G ± D G

D v

v

9 9

0

v 0 ® ; ® n¨

Nel caso statico e alla risonanza il rapporto fra

: 5n /

=

flessibilità dinamica e flessibilità statica è proprio pari al fattore di risonanza. Ad

0,1

infinito per (valore già grande per materiali ferrosi) la flessibilità dinamica

=

alla risonanza è circa 5 volte la flessibilità statica. Consideriamo una curva relativa d

}

} e

un determinato valore di (sufficientemente piccolo) e consideriamo punti

situati a destra ed a sinistra del massimo per i quali l’ampiezza si riduce a volte il

ω

valore del picco. Si può verificare che essi corrispondono rispettivamente alle

2=, + 2=.

v v

v ¨1 ¨1

+ +

pulsazioni: = =

á 5á àá + 2= 2= ≃ 1 + 1 2= ‡

¨1 ¨1

/ 0

Il rapporto á á š =

— —

detto anche “fattore di perdita”, può servire per determinare sperimentalmente e

quindi il coefficiente di attrito viscoso. Questa proprietà risulta utile per la

determinazione sperimentale del modello matematico di un sistema vibrante.

10. Lubrificazione:

Parallelismo:

Fisica meccanica - Fluidodinamica

Ls

Conservazione della massa Equazione di continuità

E ∙ s Equazione di Navier-Stokes

Fisica meccanica: ”s E∙ ̅

c s

Ӽ Ls :

Considero un fluido:

Punto materiale si trasforma in un volumetto, che evolve nello spazio dalla

Ω Ω I I.

C C

=

s s

configurazione iniziale ad una generica configurazione nell’istante

C̅ ⟹ C̅ s

La generica particella finirà in

Associo alla particella delle grandezze: ¦ Ià

! C̅ , I ¦∙ ̅ • I Ià E I Ià E

Sorgente delle forze agenti sulla particella:

̅

|s C, I → ¦ ∙ ! ! J Ià E

Ls E ∙ s:

Voglio “trovare”

Come faccio a scrivere come evolvono le quantità associate alle sorgenti con le

forze?

Procedo in modo assiomatico:

s

º Ls

” :

Newton: dunque: u x

+ s

̅ ”s º

- ! ¦ ∙ ̅ ⟹ ¦ ∙ ̅ ”

t w

I

+ + r

!̅ |s t w

- -

I t w

+

r r |s Ls

• • - :

s v

r •

Ipotesi fisiche:

1 B Il fluido è un continuo di Cauchy (effetti molecolari sono trascurabili, il fluido

non è fatto da atomi:

2 B La massa si conserva (non esistono forze che creano/distruggono la massa)

3 ¦ ≃

B Il fluido è omogeneo ed incomprimibile costante, quand’è che questo

accade? Liquidi, tratto oli liquidi )

4 B Fluido Newtoniano, le tensioni sono proporzionali solo ai gradienti di velocità:

A+

∝ Aü

Considero solo l’attrito:

Gli strati si muovono con velocità diverse e strisciano l’uno sull’altro:

> ⟹

Se il primo strato tracina il secondo strato

5 6

B Non ci sono effetti termici: costante

Equazione di base della fluidodinamica:

…• J I Ià

z …• J ! E

ï ¾I x

Teorema del trasposto (dimostrazione fatta in seguito):

!̅ I E

+ à

̅

- ! C̅ , I ¾ II • I E E ! Ω

±

+ I E

r • A! ̅

+ +

̅ !̅

- ! C̅ , I - +- ̅ ∙ s ã

AI

I r r r

• • •

̅

!

La variazione di è data da:

̅

!

AΩ AΩ

- La variazione dentro

- La variazione (il fatto che si sposti fa si che ci sia un punto che mi entra

Ω

ed esca da ⟶

Utilità del teorema del trasposto trovo equazione fondamentale della

fluidodinamica: A! ̅

+ + + +

̅ |s !̅ |s

- ! C̅ , I - ⟹ - +- ̅ ∙ s ã - ⟹

AI

I r r r r r

• • • • •

A! ̅ + +

+ |s

̅ -

⟹- +- ∙ ̅ ⟹

ö

õ!

AI "

r r r

• • •

A! ̅ +

̅ |s

+ ∙ ̅ I, Ω

⟹ - õ! ö

AI "

r •

{-s ~

ÕÓØõ-s µ

}

µ

⟹ + ∙ Ø ö

{|

Applicazioni:

̅ |s

1 ! → ¦ → 0

B ̅ ̅ " •§ + ¦ ̅ 0 E

••

Equazione di continuità:

̅ |s ̅

2 ! → ¦ ̅ → ¦! E ! J

B í

• ̅

§ís + ¦ ̅ ̅ ¦!

"

•• í

•§ •ís ̅

̅ + ¦ ̅G + ¦ + Á ∙ ̅ ¦!

D D G

•• •• ís í

Vari passaggi:

•§ •ís F̅ ,•

+ ¦ ̅G 0 Á

D •• •F̅

ís

dall’equazione di continuità, (Jacobiano)

•ís ̅

¦D + Á ∙ ̅ ¦!

G

•• ís í

Quali sono le forze agenti sul fluido?

Ogni particella interagisce con delle forze d’interazione, prodotte dalla particelle

adiacenti: »

|s ̅ FF Fý F

¦! + » T U

»

»

F

í ýF ýý ý

» + p » matrice degli stress,

•F• F ý

F

•F• pressioni,

p 3C3,

matrice termini tangenziali dovuti agli

effetti dell’attrito.

F µ

|s ̅ |s ̅

¦! + + p → + p + ¦!

í í

µ

lp n

6 Á + Á → p 6Δ ̅ 6 Ià

ís"

ís

Equazione di Navier-Stokes:

sss sss

•ís

¦D + Á ∙ ̅ +6 ̅ + ¦!

G

•• ís ís

•§ + ¦ ̅ 0

•• equazione continuità

¾ ¦≃ I I ⟹ ̅ 0

Condizioni iniziali: ∀ ∈

̅ C̅ , I ̅ C̅ C̅ Ω

( ∀ ∈

¦ C̅ , I ¦ C̅ C̅ Ω

(

Condizioni al bordo: ∀ ≥ ∀ ∈

̅ C̅ , I ̅ C̅ I , C̅ Ω

z=+;= ( z

∀ ≥ ∀ ∈

¦ C̅ , I ¦ C̅ I , C̅ Ω

z=+;= ( z

Teorema del trasposto (dimostrazione):

C, •¢

µ

L I •F̅ Lo Jacobiano di è una funzione che mi dice se le mie particelle si

stanno espandendo/contenendo.

Á C, I det L ⟹E I J

det L det L < 0 E |

⟹E C C +

+

̅ ̅ s s

s , I , I ∙ Á , I

- ! C̅ , I - ! (

r r

• A

C C C + +

̅ !ù

s s s

! s , I , I , I , Á , I ( ù

!ù ̅

C̅ , I + ΔI ∙ Á C̅ , I + ΔI ! C̅ , I ∙ Á C̅ , I +

+ ‚ ƒ

̅

- ! C̅ , I - lim

I ΔI (

à•→(

r r

A A ù ̅

! C̅ , I

+ +

‚ ƒ

̅

ù ̅ !ù

- ! C̅ , I ∙ Á C̅ , I - Á C̅ , I + C̅ , I Á C̅ , I

I I I

( (

r r

A A

Á C̅ , I det L Á C̅ , I ̅ C̅ , I

« ±

°ª I

I

ù ̅

! C̅ , I +

‚ ƒ

̅

- + C̅ , I ̅ Á C̅ , I

I (

r A A!ù ̅

ù ̅

! C̅ , I + +

‚ ƒ

+ Á C̅ , I ̅ Á C̅ , I

AI

I ís (

A!ù ̅ +

‚ ƒ

̅

- + Á C̅ , I ̅ + ! C̅ , I ̅ Á C̅ , I

AI ís

r A „! …

̅ ̅

Á C̅ , I ̅ + ! C̅ , I ̅ ̅

"

ís

A! ̅ + +

̅

- +- ̅

õ! ö

AI "

r r

• •

A! ̅ + !̅

- +- ∙ ̅ ∙ ã

AI "

r r

• • „õ s|s |s

s ∙ s ∙ s…

ö

"

A! + !̅

+- ̅ ∙ s ã

- AI

r •r

• •

Principali tipi di lubrificazione:

1 →

= Lubrificazione asciutto (zero) non c’è lubrificante, possibile grazie a materiali

polimerici. Applicazione: bronzine, materiali sintetici. Costa poco, ma hanno limiti in

termini di carichi applicabili.

2 = Lubrificazione limite (grasso). Uso fluidi caratterizzati da molecole che hanno

dimensioni caratteristicamente comparabili con le dimensioni caratteristiche della

rugosità. Applicazioni: bronzine, cuscinetti volventi.

3 = Lubrificazione mista, caso particolare tra 2 e 4.

4 = Lubrificazione fluidodinamica. Effetto di portanza

p Forze resistenti dovute all’opposizione del moto. Il contatto è completamente

mediato dal meato/meandro (fluido). Sfrutto la portanza:

Il corpo, che si muove su un fluido, è soggetto a delle forze risultanti. La risultante

delle pressioni del fluido è diretta verso l’alto produce forze che il fluido fa sul

corpo, riuscendo a sostenere il carico che il fluido fa sul corpo. Applicazione:

cuscinetti fluidodinamici.

5 = Fluidostatica: Ovviare al problema di quando il moto si ferma. Porto il ⟹

lubrificante in pressione dentro il meato. Se ottengo una forte sovrappressione

risultante delle forze che il fluido fa sull’albero sostentamento anche se l’albero

gira lento o si ferma. Applicazione: cuscinetti fluidostatici.

I E I

‚ | ! J I | E

II ! E I E I v, ï

- La lubrificazione fluidodinamica è necessaria quando aumentano in

contemporanea.

v, ï ⟹

- Pochi tanti uso cuscinetti volventi.

v, ï.

- Crisi coppia cinematica: elevati

Modello coppia cinematica: (come si fa?)

ü ü C, J E I , I

T U T U

̅ C, J ̅ C, J

Ls Ls Ls

, ¾ ¾

:F• necessarie per mantenere in moto le pareti su ed del meato.

A¾ A¾ A¾

$ :

quattro facce laterali; Uscita lubrificante; Entrata lubrificante.

Inizio con Navier-Stoke

µ

!̅ µ

s + 6Δ ̅

c ̅ N O

̅ 0 Campo delle velocità di un qualsiasi punto del

fluido che si trova nel meato.

Ipotesi:

1 B Effetti inerziali (parte di accelerazione) trascurabile:

•ís

s + Á ̅ ≃ 0

D G

•• ís

•ís 0 → ⟹

••

1.1 moti stazionari studio problema a regime.

Á ̅ 0 →

ís

1.2 moto fluido laminare, suppongo che il fluido non sia

caratterizzato da moti vorticosi.

Ls

2 B :F•

Noni ci sono (di volume) applicate al fluido

!̅ ≃ 0 L’unica forza sarebbe il peso, ma il peso del fluido è ridicolo rispetto

ai carichi applicati sulla coppia cinematica.

µ µ

0 + 6Δ ̅

c

⟹ ̅ 0

Condizioni iniziali: considero non dipendenza dal tempo (problema stazionario)

Condizioni al bordo: condizioni di aderenza A¾

¾ ̅ ̅ ¾ ¦

̅ ̅

Perché faccio il modello?

Output da calcolare: →

- Campo delle velocità come si muove il fluido nel meato;

- Campo delle pressioni come si distribuiscono le pressioni nel meato;

- Effetto portante: che coppia e forza ottengo;

}

- Le calcolate sono sufficienti a bilanciare i carichi?;

”:

- Portata lubrificante quanto lubrificante esce ed entra?.

≪ 2

*$+íB•$+B

→ → CJ

Schiaccio il fluido esce da tutte le parti il moto del fluido lungo (tangente) è

ü

preponderante rispetto a (normale):

̅ 0;

Derivate spaziali di Moto schiacciamento quindi:

L ≫ L L ⟹ , C J

õL ö

† ý •BŽ%:Ž•: F le derivate spaziali lungo e sono trascurabili

, ü.

rispetto alle derivate spaziali di lungo

A A

a 6 1

AC Aü

Q

Q A 0⟹ C, ü 2

A A

Q 6 3

AJ Aü

_ µ µ

µ µ

0 + 6Δ ̅⟹ 6Δ ̅

Ricorda: :

A A A A A

a 6N + + L ≫ L

O õ ö

AC AC Aü AJ Aü †

Q •BŽ%:Ž•:

Q A A A A

6N + + 0 ̅≃0

O

Aü AC Aü AJ

Q̀ A A A A

A

Q 6N + + L ≫ L

O õ ö

AC Aü AJ Aü

AJ

_ ý Fý

1 3

Integro e : A

A A A

1 1

- ü - ü→ ü+ C, J

Aü AC

AC Aü

6 6

A A

1

- ü - ü ü+- C, J ü→

AC

Aü 6

A

1 ü + C, J

→ C, J ü +

AC

26

A A

A A

1 1

- ü - ü→ ü+ C, J

Aü AJ

AJ Aü

6 6 •

A A

1

ü - ü ü+-

- C, J ü→

Aü AJ

6 •

A

1

→ ü + C, J

C, J ü +

AJ

26 • t

, , ,

• t

Voglio adesso sfrutto le condizioni al bordo:

, , ¾

, , ¾

A

1

u ü ü ü ü + ü ü +

AC

t 26 ü ü

t A

1

t ü ü ü ü + ü ü +

AJ

s 26 ü ü

Il primo pezzo è il contributo quadratico di scorrimento, campo di velocità se le

superfici stanno ferme.

Il secondo pezzo è il contributo lineare di trascinamento, le superfici traslano il

meato, che trascina il lubrificante. , ,

Per determinare le tre incognite fondamentali del problema considero

l’equazione di continuità:

A A A

+ + 0 ̅ 0

AC Aü AJ ü

ü, ü a :

Integro rispetto a da

A A A

ý ý ý

/ / /

- ü + - ü - ü

AC AJ Aü

ý ý ý

0 0 0

Formula di Leibniz:

A A Af A'

C, J C, J

£ F, £ F,

- ! C, ü, J ü - ! C, ü, J ü + ! C, f C, J , J ! C, ' C, J , J

AC AC AC AC

¡ F, ¡ F,

A! A

C, ü, J ; f C, J ü ; ' C, J ü ;

AC AC A

1

! C, f C, J , J C, ü , J ü ü ü ü + ü ü +

AC

26 ü ü

A

1

! C, ' C, J , J C, ü , J ü ü ü

ü ü + ü +

AC

26 ü ü

A A Aü Aü A A Aü Aü

ý ý ý ý

/ / / /

- ü - ü+ → - ü - ü + 2

AC AC AC AC AC AC AC AC

ý ý ý ý

0 0 0 0

Idem per w:

A A Aü Aü

ý ý

/ /

- ü - ü + 3

AJ AJ AJ AJ

ý ý

0 0 ‡

1 …

26

K L

1 : 2 3 ‡

1 …

Sostituisco in , ricordando e chiamando

26

C, J ü C, J ü C, J h spessore del meato.

Equazione di Reynolds:

A A A A A A

+ +

«+ 126 + 66 +

ª ª «

AC AC AJ AJ AC AJ

• • A A

ü +ü +ü

ü

66 +

AC AC

- =Meato. ∼

- Incognita.

126 0,

- Termini di schiacciamento ( ma non è detto che la

0).

differenza di sia

• $ • ˆ

8$ 8ˆ

66 +

0 / 0 /

•F •

- Termine di velocità, mi dice come il moto

tangenziale delle superfici va ad agire sulle pressioni.

• •

ý 8ý ý 8ý

66 +

0 / 0 /

•F

•F

- Termini delle superfici, mi

dicono come la forma del meate agisce sulle pressioni.

C, J B9z<:Ž•:

Come trovo i carichi che gravano sulla superficie?

Da trovo la velocità e poi i carichi e la portata. La risultante delle azioni che un

fluido fa sulla superficie: E ! ¾

Ls - » s + s ¾ ª «

E ! ¾

B

0

Ls - » s + s ¾ ̅ » s

B

/ A¾ A¾

” - ̅ ∙ s ¾ - ̅ ∙ s ¾ s E , ” I I | ! I

$ $

Œ$ : :

•‰ •‰

Š

Cuscinetti fluidodinamici a pettini (elemento che viene ricavato o sull’albero (figura

a sinistra) o sulla sede (figura a destra), opzione più comune e meno costosa):

Obiettivo: Voglio capire quali forze si scambiano questi due elementi.

¾ Superficie cilindrica superficie generate da una retta (in questo caso

Cü, J Cü).

ortogonale a cioè parallela a e simmetrica rispetto al piano

| J.

Larghezza slitta / piano lungo

¾ Una delle due superfici che delimitano il meato (fissa).

C.

È solo in funzione di

Dunque:

0, 0, 0

0, 0

costante,

ü 0, C ü C ü C ü C

Dall’equazione di Reynolds:

A A

A A

«+ 66 , 66 I E I E I

ª ª «

AC AJ

AC AJ

• • C C

Relazione di campo:

•3 $

ü ü + ü

/ ,

‹ •F @ ¿ E I , Ià !

•3 ü ü

‹ • Ls Ls

ï , ï p , p

Siano e le componenti verticali e longitudinali di e

® E : A A A

u x

6 6ª + «

t w

Aü AC AJ

Ls Ž ‘

- » s + s ¾

t w

A

B • •

»

t w

… 6

0 Aü

t w

Ls Œ •

- » s + s ¾

s v

… …

B

/ ’̅

Ls

ï ∧ - + + + ¾ - ¾

õ õ» ö ö

Fý F ý B ý ý B

‰ ‰

0 0 A

Ls

p ∧ ̅ - » + + + ¾ - 6 ¾

D G Aü

F B F Fý ý F ‰

0 0

’̅

Ls ∧ - + + + ¾

ï õ õ» ö ö

Fý F ý B ý ý

‰ A

/

- 6 ¾ - ¾

Aü F B ý

‰ ‰

/ /

Ls

p ∧ ̅ - » + + + ¾

D G

F B F Fý ý F

‰ A

0

- ¾ +- 6 ¾

B F ý

‰ ‰

/ /

F ý

e : componenti del versore normale alla superficie.

Grandezze importanti: ⟹

B : Su entrambi i carichi entra in gioco sovrappressione quanto riesco ad

•$

innalzare la pressione sul meato?

6 C)

•ý : Gradiente delle velocità, come varia la velocità (diretta lungo del fluido

ü.

lungo Genera resistenza (negativa). ,

F possono essere negativi.

Contributi secondari, quelli moltiplicati per

Portata: ” - ¾ - ¾

$ :

•‰ •‰

Š

Ipotesi ulteriori: ∞

| → +

Il pattino / slitta sia infinitamente largo: cioè:

| ≫

spessore del pattino meato

Dunque: Con buona approssimazione posso studiare quello che accade nel meato in

una sezione qualunque del meato

C, J C

^ Y

} E C, ü, J q | → +∞ C, ü

C, ü, J 0

Sostituisco (le equazioni che ho ora) nell’equazione di Reynolds:

66 , I I , è è ! J C«

ª « ª

C C C C

¿ J I : C 0 C

B

C:

Integro rispetto a

66 +

C •

Altra integrazione:

C C

F F

K K

66 - + - +

( (

Impongo le condizioni al bordo:

C K

B

66 M ∗

( 66

C B

K

B

M •

(

C K

B

M +

∗ ( C , :

C K

B

M •

(

∃ ∗

C

un certo valore , dove la pressione inverte il suo trend:

Ottengo che: ∗

66 ª1 «

C C C

F F

K K

66 - O→ 66

N- ª «

• C C

C

B •

( (

Nota bene:

∼ ; ;3 ; 3

/

I I ⟹ ≃ , <0

D G

Se ;F ;F ;F /

;@ > 0, poiché deve essere uguale ad una quantità negativa ed è moltiplicata .

;F

;@ > 0 ⟹ Meato deve essere divergente nel senso del moto.

;F

HP) Cosa succede se è una retta: E

+ C + CG , :

D1

(

( (

( Spessore minimo del meato,

Spessore massimo del meato, @ 5@

E 0 A . Mi dice di quanto è inclinato il pattino

Parametro di forma del meato @ A

rispetto allo spessore minimo:

E E I I →I I I | , E I I I J E

E I → I E ,E I J |

‚ ! E E I I

ò (

^ ï I , I E I I || E I | Ià

( || I II I !

Variabili adimensionali: 66 C

x DE, G,

B =

66 Z E I | E , E I E

=

x ã E I • • I II .

x L J E E E , E

E sono I I .

1+E

∗ 2 2+E

(

∼ ≅

E 1 ⟹ E 1: Δ ( (

Dopo la situazione peggiora

66 E

ï ª «

(

|p | 6 V E

(

Coefficiente d’attrito equivalente:

|p | J I I |p |,

! ,E • I pesa !! II I , ï , !! II I

ï E

Maggiore maggiore spinta e resistenza

6 0 ⟹

Fluido ideale non sostengo carico, non ho perdite

⟹ ï p

( minore cresce come inverso del quadrato, cresce come inverso lineare

|

HP) è finito: ± z

J

B variano lungo in prossimità di (facce laterali)

± z

≠ 0 in prossimità di (buono, poiché da qualche parte il fluido deve uscire

negativo, poiché possibili perdite di pressione)

! p > p

zN <Ž<•= zN–

aumenta:

Coefficienti correttivi:

A titolo di esempio di un coefficiente di bordo, ho trovato un carico grande su

ï <

cuscinetti

ï +:B¯:

¼ |ï

# <

ï < trovato dal progetto.

¼

#

Trovo .

ï + (carico reale sostenibile dal cuscinetto).

Trovo

Coppia rotoidale:

1. Coppia rotoidale con perno oscillante:

È costituita da: 2 J,

¾ , raggio , asse (detto cuscinetto) coincidente con ha come

Due cilindri: q q v

µ ¾ 2

traccia il punto , ruota intorno ad con velocità angolare ; , raggio , asse

J, q

(detto perno) parallelo a ha come traccia il punto , possiede un moto di

q v

µ

rototraslazione del punto e dalla velocità angolare .

Cü, |.

La coppia cinematica, simmetrica rispetto al piano ha larghezza pari a

$

:

Ls Ls ed esce .

Ci sono due aperture attraverso le quali il meato entra

, ® , , ® ¾

sono le azioni esterne necessarie per mantenere in moto le pareti

¾ ≪

sssssss

del meato.

ed V ã ã 2 , 2 ⟹

Spessore del meato posso ricondurre lo studio della

coppia rotoidale a quella della slitta piana, introducendo opportune coordinate

C , ü , J

Œ3 Œ3 Œ3

cilindriche. Indicate con le variabili spaziali impiegate nello studio della

slitta piana, ho che: &<V<&

C V2 0 ≤ ≤ V

Œ3

Y — ˜

ü | |

Œ3 J

J ≤J≤

Œ3 2 2

Le derivate sono dunque:

A

A 1

a ∙ AV

AC

Q 2

Q Œ3 A

A A

Œ3 A

A

Q AJ

AJ

_ Œ3

Il primo membro dell’equazione di Reynolds diventa:

A A A A

1 «+ «, V, J

ª ª

AV AV AJ AJ

• •

2 q :

Velocità del punto

̅ q º ̅ + 'º ̅ , :

sssssss

q

I Ià q ’̅

̅ cos V ̅ + sin V

’̅ ’̅

sin V ̅ + cos V ’̅ ’̅

sssssss sssssss sssssss sssssss

ã q q ã + ⟹ q ã 2 q ã + 2 q ã cos V

Poiché: ’̅ ’̅ ’̅

∙ ̅ 0, ∙ 1

(ricorda che

Quindi ho che: ¨ cos V + 2

cos V + ≪

sssssss

q ã ≃ cos V + 2 E 2

2 sssssss

ã

ã può essere quindi ricavato notando che:

Lo spessore del meato ™

sssssss

2 q ã 2 2 cos V m 1 cos V

™ :

m 2 2

Con: (gioco radiale della coppia), .

g

Per la formula fondamentale dei corpi rigidi: ’̅ ’̅

’ sssssss

∧ ã q + 'º ̅ + v

µ ∧ q ã +

̅ ã ̅ q +v

µ º ̅

’̅ ’̅

̅ ã º sin V ̅ + cos V + 'º cos V ̅ + sin V +

’̅ ’̅

sssssss

+v

µ ∧õ q ã + sin V ̅ + cos V ö

’̅ ’̅ ’̅

v

µ ∧ v ̅ ,v

µ ∧ v ̅ v cos V ̅ + sin V

Siccome: l n l n’̅

̅ ã º sin V + 'º cos V +v 2 ̅ + º cos V + 'º sin V v sin V

;@ sin V,

Poiché: per quanto riguarda il cilindro:

;ô º sin V + 'º cos V + v 2 v 2

^ Y 0

;@ ;@

¾ → º cos V 'º + v ¾ →

;ô 0

0

2 ≃ 2 2,

Supponendo che trovo l’equazione di Reynolds:


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AUTORE

Ghero33

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5 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (FIRENZE, PRATO)
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Ghero33 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica applicata alle macchine e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Allotta Benedetto.

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