Appunti Meccanica applicata alle macchine II

Meccanica dei corpi rigidi nello spazio

Definiamo un sistema cartesiano ortogonale terogeneo chiamato Σ per definire la configurazione di un punto, un sistema di punti e un continuo.

Un continuo può essere definito corpo rigido se, per due punti qualsiasi appartenenti allo stesso, la loro distanza mutua non varia nel tempo:

d_{ph, pk} = |p_k - p_h| = costante ∀ h, k

Quindi, scelto un sistema di riferimento solidale al corpo rigido, le coordinate di ogni punto del rigido stesso rimangono le stesse.

Meccanica dei corpi rigidi nello spazio

Definiamo un sistema cartesiano ortogonale terogeneo chiamato Σ per definire la configurazione di un punto, un sistema di punti o un continuo.

(Ω ⎢̅₁, ̅₂, ̅₃)

P ≡ (ξ_1P, ξ_2P, ξ_3P)

ξ_1P = (p - Ω) · ̅₁

ξ_2P = (p - Ω) · ̅₂

ξ_3P = (p - Ω) · ̅₃

Un continuo può essere definito corpo rigido se, per due punti qualsiasi appartenenti allo stesso, la loro distanza mutua non varia nel tempo:

d_h,k = ⎢p_k - p_h⎢ = costante ∀ h, k

Quindi, scelto un sistema di riferimento solidale al corpo rigido, le coordinate di ogni punto del rigido stesso rimangono le stesse.

Quindi la configurazione di un corpo rigido nello spazio viene univocamente definita dal sistema di riferimento mobile S, solidale al corpo, rispetto al sistema di riferimento fisso Σ.

Per definire univocamente la posizione del corpo rigido nello spazio occorre conoscere la posizione dell'origine del sistema di riferimento mobile rispetto al sistema di riferimento fisso e l’orientazione dei suoi assi.

Ω ≡ (ξ₁₀, ξ₂₀, ξ₃₀)

(u₁·e₁ u₂·e₁ u₃·e₁) (u₁·e₂ u₂·e₂ u₃·e₂) (u₁·e₃ u₂·e₃ u₃·e₃)

(R₁₁ R₁₂ R₁₃) (R₂₁ R₂₂ R₂₃) (R₃₁ R₃₂ R₃₃)

R_i,j = ū_j · ε_iṘ = (R₁₁ R₁₂ R₁₃ R₂₁ R₂₂ R₂₃ R₃₁ R₃₂ R₃₃)

Matrice di rotazione

Essendo una terna fissa, ū₃ viene definito in maniera univoca noti ū₁ e ū₂, di conseguenza i coseni direttori utili a definire l'orientazione si riducono a 6.

In secondo luogo ū₂ viene definito univocamente, noto ū₁, conoscendo l'angolo che ε₂ forma con il versore ū₁ (infatti ū₂ ⟂ ū₁). Di conseguenza, i coseni direttori necessari si riducono a 4.

Inoltre, R₃₁ non è indipendente in quanto risulta che R₁₁² + R₂₁² + R₃₁² = 1, essendo il modulo di un versore unitario. Di conseguenza i coseni direttori utili per definire le orientazione degli assi si riducono a 3, ovvero R₁₁, R₁₂ e R₂₁.

Sono quindi necessari 6 parametri lagrangiani per definire univocamente la posizione di un corpo rigido nello spazio: 3 coordinate, 3 coseni direttori.

Per quanto riguarda i coseni direttori, in maniera equivalente si può affermare che solo tre coseni direttori sono indipendenti sui 6 che figurano nella matrice di rotazione. Ciò si evince dalle seguenti relazioni:

ū₁ · ū₁ = 1

ū₁ · ū₂ = 0 ; ū₂ · ū₁ = 0

ū₁ · ū₃ = 0 ; ū₃ · ū₁ = 0

ū₂ · ū₂ = 1

ū₂ · ū₃ = 0 ; ū₃ · ū₂ = 0

ū₃ · ū₃ = 1

La matrice di rotazione è un'applicazione biunivoca tra le configurazioni di S ed i 3 parametri.

Esempio

• P(x; y)
• P(r; θ)

Nel caso in cui P ≡ O:

• P(x=0; y=0)
• P(r=0; θ=2)

Quindi il riferimento polare non è biunivoco, dal momento che esistono infinite configurazioni che portano allo stesso risultato finale.

Per definire