Meccanica applicata alle macchine

Il momento di inerzia delle masse degli organi mobili

( ) ( )M θ I θΘ ( )M θÈ utile osservare che il periodo della funzione deve essere un multiploMΘ ( )I θdel periodo della funzione .I =KΘ Θ K =1,2…nM IQuesta relazione spiega che solo setutti gli organi mobili della macchinahanno ripreso le posizioni che avevanoall’inizio del ciclo, può cominciarne unonuovo.Prendiamo il grafico di una macchina a regime periodico; possiamo osservare che“punto per punto” la macchina non andrà a regime: infatti i punti in cui le grandezzehanno lo stesso valore sono pochi (punti di intersezione tra le due curve).Tuttavia, analizzando queste curve nel loro periodo, posso affermare che questeavranno lo stesso valore medio. Analizziamo nel dettaglio il grafico:Le zone I e III sono zone in cui la coppia resistente è maggiore, avremo una variazione di lavoro negativa e per questo la macchina

tenderà a rallentare. Le zone II e IV presentano una coppia motrice maggiore, una variazione di lavoro positiva e per questo la macchina accelererà. I punti A, B e C sono invece punti di equilibrio a variazione nulla.

Questa continua fluttuazione delle velocità (anche se relativamente piccola) è negativa per la macchina ed esiste un organo meccanico predisposto alla limitazione di queste variazioni.

Θ Θ M θ M θ ω

Indicati con e i periodi di e , la velocità angolare del M I m r gruppo varia con legge periodica con un periodo che risulta dato da:

kΘ=k Θ Θm m r rk k

con e numeri interi primi tra loro.

m r ω

Questa equazione spiega che, affinché riacquisti gli stessi valori, è necessario Θ che il gruppo compia una rotazione, che comprenda un numero intero di periodi ( ) Θ Θ M θ del momento motore ed un numero intero di periodi , del m rm ( ) M θ momento resistente

.rAd esempio potrebbe risultare:Θ k 2m m= =Θ k 1r r Θ=2 ΘRisultando mωIl valore medio di è sempre dato da: Θ1 ∫ ( )ω= ω θ dθΘ 0 ΘIntegrando l’equazione dell’energia cinetica tra 0 e e ricordando che il momentomotore medio ed il momento resistente medio coincidono, otteniamo:M¿ m−M(¿ ) −M )=0dθΘ(Mr m ,med r , med¿ Δ L= Δ ERisultando nulla nell’intervallo suddetto la variazione di energia cinetica ( ).I , ω I , ω I ωIndicati con e rispettivamente i valori di e assunti all’inizio1 1 2 2e alla fine del periodo, avremo: 1 12 2− =0I ω I ω1 1 2 22 2 =ωωΘ ω( θ)Essendo il periodo di deve essere e di conseguenza1 2=II 1 2GRADO DI IRREGOLARITÁ NEL PERIODOIl grado di irregolarità mi fornisce informazioni su quanto si distanzia il valore

La velocità angolare di un oggetto è la misura della sua velocità di rotazione rispetto al suo valore medio. A seconda delle finalità di utilizzo e della sofisticatezza della macchina, il grado di variazione può cambiare (essere minore per macchine sofisticate) Δω = ωmax - ωmin = ωmed.

Per garantire che un gruppo abbia un grado di irregolarità nel periodo non superiore a quello richiesto dalla macchina utilizzatrice, spesso è necessario dotare la macchina di un volano opportuno. Il volano è un organo meccanico costruito in acciaio o ghisa, composto da una corona C, un disco D e un mozzo M. Di solito, il volano viene montato sull'albero della macchina a regime periodico dalla parte che la collega alle altre macchine del gruppo. La sua funzione è quella di "serbatoio di energia": quando la macchina tende ad accelerare a causa di una variazione positiva del lavoro, il volano assorbirà parte dell'energia in modo da mantenerla stabile.

ritornare al valore medio;viceversa quando la macchina tenderà a rallentare, il volano rilascerà energia.

DETERMINAZIONE DEL MOMENTO DI INERZIA DI MASSA DEL VOLANO

Un metodo approssimato per la determinazione del momento di inerzia di massa del volano è quello di Thomas Tredgold che si basa su due ipotesi:

1. Alla velocità angolare media sostituisco la media aritmetica: Θ - ωω1 ∫ max min( )ω= ω θ dθ ≈ Θ 20
2. Nel determinare il lavoro compiuto dalle forze di inerzia delle masse che si muovono di moto non rotatorio, si suppone costante la velocità angolare del gruppo. δ

Facendo uso della prima ipotesi possiamo riscrivere il ; moltiplicando e dividendo ω per otteniamo: m 2 2- ωωmax minδ= 22ω med

Concentriamoci ora sulla seconda ipotesi, riprendendo l'equazione dell'energia cinetica per un gruppo di macchine: M 1 2¿ m-M(

dθ=d I ωr 2¿=I +I I

Nel caso più generale cioè una macchina che presenta parti che si muovono di moto rotatorio ed altre che si muovono di moto alternato. Sostituendo:

M [ ]1 2¿ i ,m+ M(¿ )dθ=d ( + )ωI Ii ,u r a2¿I

Ricordando che è costante e differenziando, otteniamo al secondo membro:

r2 2ω ω+I d d Ia a2 2

Questa somma rappresenta il lavoro, col segno cambiato, delle forze di inerzia delle masse dotate di moto non rotatorio. Tenendo conto della seconda ipotesi di Tredgold, il primo termine della somma risulta nullo.

2ω =0I da 2

Pertanto, posso riscrivere: M 2ω- ¿ i ,m+ M(¿ )dθ= d Ii ,u a2¿M M

Avendo indicato con e i momenti d’inerzia ridotti delle forze di inerzia i ,m i ,u delle masse dotate di moto non rotatorio della motrice e dell’utilizzatore. Ritornando all’equazione precedente, scrivo:

MM 2ω¿ i ,m+ M ( )(¿ ) + ( )dθ= I I