Meccanica applicata alle macchine

Definizione di macchina e principi

fondamentali

MACCHINE

Si definisce macchina un sistema costituito da più elementi, alcuni dei quali fissi ed

altri mobili, gli elementi mobili si muovono sotto l’azione di forze e producono lavoro.

Gli elementi che costituiscono una macchina sono detti membri o organi, essi si

muovono di moto relativo tra loro.

La macchina è sede di una trasformazione energetica. È possibile classificare le

macchine a seconda della trasformazione che mettono in atto:

Le macchine operatrici sono macchine che trasformano energia chimica o

 elettrica in energia meccanica (es. motore termico).

Le macchine generatrici, al contrario trasformano energia meccanica in un’altra

 forma di energia (es. alternatore).

Le macchine operatrici assorbono energia meccanica e quest’ultima viene

 utilizzata per portare avanti delle lavorazioni (es. turbine).

Una macchina è costituita da parti fisse e mobili. In particolare, l’insieme delle parti

fisse viene denominata incastellatura o telaio e serve a garantire che le parti mobili si

muovano in modo corretto, oltre a dare sostegno strutturale.

MECCANISMO

Un meccanismo è un sistema meccanico che permette la trasmissione del moto tra

due membri di una macchina o tra più macchine. Un meccanismo non trasforma

energia.

Per parlare di meccanismo bisogna introdurre il concetto di gradi di libertà, ovvero, il

numero minimo di coordinate indipendenti in grado di descrivere istante per istante le

posizioni di tutti gli elementi che lo compongono.

RESISTENZE D’ATTRITO P

Una macchina opera una trasformazione di energia, ci sarà quindi una potenza in

i

P

ingresso e una potenza in uscita. Una parte della potenza in ingresso verrà

u

dispersa, soprattutto a causa degli attriti durante la trasmissione del moto.

L’attrito viene distinto in due tipologie differenti:

Attrito radente – se il moto relativo tra due corpi è di strisciamento

 Attrito volvente – se il moto relativo tra i due corpi è di rotolamento



ATTRITO RADENTE In assenza di lubrificazione e con superfici a

contatto diretto vale la legge di Coulomb:

R=fN fN è detto angolo di attrito

tan φ= φ

N

ATTRITO VOLVENTE

In caso di corpi rigidi e superfici prive di discontinuità, il rotolamento di un corpo sull’

altro non dovrebbe provocare nessuna perdita di energia. In realtà al rotolamento

relativo si oppone sempre una certa resistenza al rotolamento.

F

La forza , assieme alla reazione vincolare

, costituisce una coppia resistente.

N δ

Il braccio dipende dalle anomalie

elastiche dei materiali.

=Nδ

M r

Può essere utile valutare l’effetto di questa

coppia resistente come se fosse una forza

R '

(Forza fittizia )

Lavorodella coppia=Lavorodella forza fittizia

'

M ω dt=R r ω dt

r

M δ

' r

= =N

R r r In caso di urti contro asperità superficiali di

h

altezza , il centro d’istantanea rotazione

O O

varia e passa da a , di

1 2

conseguenza cambia istantaneamente anche

v v

la velocità di avanzamento, da a .

Si vuole calcolare di nuovo la forza resistente fittizia che si oppone al moto. Fatta

≪r

h α

l’ipotesi che , anche l’angolo , sarà molto piccolo, per cui:

2 2

r α r α

( ) ≅ ≅

h=r 1−cos α essendocos α 1−

2 2

La variazione di velocità, nelle ipotesi che abbiamo posto, si può scrivere come:

√ 2 h

Δ v=vα=v r

Assumendo che il corpo si continui a muovere dopo l’urto, si calcola la variazione di

energia cinetica: 2

1 mv h

2

( ) =

Δ E= m Δ v

2 r R''

Si può infine calcolare :

2

m v h

' '

R s= r

2

m v h

' ' =

R rs

RENDIMENTO MECCANICO

Il rendimento costituisce un elemento fondamentale di giudizio delle qualità funzionali

della macchina. −P

P P P

u m p p

= =1−

η= P P P

m m m

P P

Dove è la potenza utile, è la

u m

P

potenza motrice e è la potenza

p

perduta.

Il rendimento è esprimibile anche in funzione del lavoro:

−L

L L L

u m p p

= =1−

η= L L L

m m m

L L L

Similmente è il lavoro utile, è il lavoro motrice e è il lavoro perduto.

u m p

MECCANISMI IN SERIE E IN PARALLELO

Il movente di un meccanismo è il membro al quale è applicata la forza motrice. Il

cedente, invece, è l’organo al quale è applicata la forza resistente.

Più meccanismi si dicono in serie se il cedente di ogni meccanismo è solidale al

 movente del meccanismo successivo.

Più meccanismi si dicono in parallelo se hanno in comune il movente o il

 cedente.

RENDIMENTO DEI MECCANISMI IN SERIE

L u ⋅η ⋅η ⋅

=η

η= …⋅ η

1 2 3 n

L m

È facile dimostrare che il rendimento complessivo è il prodotto dei rendimenti. Facendo

riferimento alla figura si nota che:

L L

u u ,2

=

η= L L

m m,1

Ovvero:

L L L η L η L

u u ,2 m ,2 2 u , 1 2 m ,1 ⋅η ⋅η

= = = = =η

η= η 2 1 2

L L L L L

m m ,1 m ,1 m ,1 m ,1 1

RENDIMENTO DEI MECCANISMI IN PARALLELO

+η +η +…+

L η L L L η L

u 1 m ,1 2 m ,2 3 m ,3 n m , n

=

η= + + +…+

L L L L L

m m , 1 m ,2 m ,3 m ,n

η ,

Il rendimento dei meccanismi disposti in parallelo, è pari alla media ponderata dei

η L

rendimenti con pesi i lavori motori .

i m ,i

Anche in questo caso si dimostra facilmente facendo riferimento alla figura:

+ + + +η +η +

L L L L …+ L η L L L …+η L

u u ,1 u , 2 u , 3 u ,n 1 m ,1 2 m ,2 3 m ,3 n m ,n

= =

η= + + + + + +

L L L L …+ L L L L …+ L

m m,1 m , 2 m , 3 m , n m ,1 m ,2 m , 3 m , n

MECCANISMI IRREVERSIBILI

In molti impianti di sollevamento (es. montacarichi, ascensori, cric) è necessario

predisporre dei sistemi di sicurezza che impediscano la discesa libera del carico. In

questo caso, si studia una classe di macchine in cui non vogliamo un buon rendimento

η=0.5

meccanico, con rendimento di soglia Rendimento meccanico per il caso

Rendimento meccanico per il caso inverso:

diretto: L ' L'

L L u p

u p =1−

η '=

=1−

η= L ' L '

L L m m

m m L '

L p

p =

1−η '

1−η= L '

L m

m

'

L L

1−η p m

= '

1 - η ' L L

m p L p

= '

k

k =L

Indicando con la quantità e ricordando che :

L

' m u

L p

1−η 1 k

'

⇒

=k =1+k −

η

η η

'

1- η '

Si vuole essere certi che il rendimento meccanico nel caso inverso sia nullo, , in

=0

η

modo da impedire il moto inverso.

k k

⇒

− =0 =0.5

1+k η=

η 1+k '

≅ ⇒ ≅1

Considerando che si tratta della stessa macchina, L L k

p p

MECCANISMI IRREVERSIBILI (CASO DEL PIANO INCLINATO)

+ =0

F+ P+ N μ N =0

asse x : F cos α−P sin α−μN

−F −P =0

asse y : N sin α cos α

N

Si ricava dalla seconda

equazione, e lo si sostituisce nella prima:

+

N=F sin α P cos α ( )

−μ + =0

F cos α−P sin α F sin α P cos α F

Si ricava il valore minimo della forza motrice che permette l’avanzamento del

corpo sul piano inclinato:

−μ

sin α cos α ( )

ϕ

=P +

F=P tan α

cos α−μ sin α

ϕ

Si ricordi che è l’angolo di attrito già osservato in precedenza.

Si osserva cosa accade in mancanza

F

della forza :

+ =0

F+ P+ N μ N =0

asse x :−P sin α−μN

−P

asse y : N sin α=0

N

Come nel caso precedente si ricava dalla seconda equazione e la si sostituisce

nella prima equazione:

N=P cos α

−P −μ =0

sin α P cos α μ

Si ricava il valore di :

P sin α =cos =tan

μ= α φ

P cos α ϕ

>

α

Questa relazione indica che nel caso in cui ci sarà moto retrogrado e il corpo si

ϕ

<

α

muoverà verso il basso. Nel caso in cui il moto non avverrà e si rientra nella

condizione di irreversibilità.

RENDIMENTO (CASO DEL PIANO INCLINATO)

s

Per uno spostamento lungo il piano, il lavoro motore è dato da:

( )

=F +φ

L s cos α=P tan α s cos α

m

Mentre il lavoro utile è dato da:

=F =P

L s cos α−μN s sin α

u

Il rendimento varrà:

L P s sin α tan α

u = =

η= ( ) ( )

L + +φ

P tan α φ s cos α tan α

m <

α φ

Ricordando che in caso di moto retrogrado :

tan α tan α tanα

< = <0.5

η= ( ) ( ) ( )

+φ +α +α

tan α tan α tan α

Funzionamento di un gruppo di

macchine

Salvo casi particolari, una macchina non funziona mai da sola, ma viene accoppiata a

formare un gruppo di macchine. Una macchina motrice è destinata a far muovere una

macchina utilizzatrice.

CONDIZIONI DI REGIME Nel funzionamento di un gruppo di

macchine si rispetta sempre la legge

di conservazione dell’energia

cinetica. ( )

1 2

( )

−M −M

M dθ=d mI ω

m u p 2

Δ L= Δ E

Il funzionamento di un gruppo di macchine si compone usualmente di tre fasi:

>

M M → Δ L> 0 Momento resistente

1. Transitorio di avviamento in cui m r

=M

M → Δ L=0

2. Funzionamento a regime in cui =M +

M M

m r r u p

<

M M → Δ L< 0

3. Transitorio di arresto in cui m r

Si distinguono due tipi di regime a seconda delle macchine:

Regime assoluto, in cui la velocità angolare del gruppo si mantiene

ω

 costante

Regime periodico, in cui la velocità angolare varia nel tempo seguendo

ω

 una legge periodica (il suo valor medio rimane costante)

FUNZIONAMENTO A REGIME ASSOLUTO

Il regime si dice assoluto se la velocità angolare rimane costante nel tempo.

Nel caso di gruppi di macchine che funzionano a regime assoluto, la variazione di

lavoro è nulla:

Δ L=0

Affinché si abbia ciò è necessario che tutte le machine del gruppo siano a regime

assoluto, cioè che mantenendosi inalterate le condizioni di funzionamento, sia il valore

M M M M

di che quello di (= + ) risultino indipendenti dal tempo ed

m r u p

uguali tra loro. =M =M +

M M

m r u p

Riprendiamo l’equazione dell’energia cinetica:

M ( )

12 2

¿ m−M

(¿ ) dθ=d I ω

r ¿ ω

Osserviamo che il primo termine è nullo e per =cost si ottiene:

( )

12 12

2 2

= =0

d I ω ω dI

Ovvero: =0 =costante

dI → I

Macchine di questo tipo sono quelle costituite essenzialmente da un rotore e da uno

statore oppure da un insieme di organi rotanti. Esempi di questo tipo sono i motori e i

generatori elettrici, le turbine a gas e vapore, i compressori dinamici e le pompe

centrifughe.

FUNZIONAMENTO A REGIME PERIODICO

Le condizioni di regime periodico si verificano se almeno una delle macchine è a

regime periodico (ad esempio macchine alternative). Queste macchine sono

caratterizzate dalla presenza di organi dotati di moto rotatorio (nell’esempio pistoni e

bielle) e di un momento della coppia motrice o resistente variabile periodicamente. Le

macchine in regime periodico hanno un loro ciclo caratteristico costituito da fasi

diverse che si ripetono periodicamente nel tempo: un motore termico a quattro tempi

ha un ciclo costituito da quattro fasi che si ripetono ogni due giri e soltanto in una di

queste fasi viene erogata coppia motrice sull’albero.

M θ

Il momento della coppia (motrice o resistente) è funzione periodica di così

I

come il momento di inerzia delle masse degli organi mobili.

( ) ( )

M θ I θ

Θ ( )

M θ

È utile osservare che il periodo della funzione deve essere un multiplo

M

Θ ( )

I θ

del periodo della funzione .

I =K

Θ Θ K =1,2…n

M I

Questa relazione spiega che solo se

tutti gli organi mobili della macchina

hanno ripreso le posizioni che avevano

all’inizio del ciclo, può cominciarne uno

nuovo.

Prendiamo il grafico di una macchina a regime periodico; possiamo osservare che

“punto per punto” la macchina non andrà a regime: infatti i punti in cui le grandezze

hanno lo stesso valore sono pochi (punti di intersezione tra le due curve).

Tuttavia, analizzando queste curve nel loro periodo, posso affermare che queste

avranno lo stesso valore medio. Analizziamo nel dettaglio il grafico:

Le zone I e III sono zone in cui la coppia resistente è maggiore, avremo una

 variazione di lavoro negativa e per questo la macchina tenderà a rallentare.

Le zone II e IV presentano una coppia motrice maggiore, una variazione di

 lavoro positiva e per questo la macchina accelererà.

I punti A, B e C sono invece punti di equilibrio a variazione nulla.



Questa continua fluttuazione delle velocità (anche se relativamente piccola) è

negativa per la macchina ed esiste un organo meccanico predisposto alla limitazione

di queste variazioni. ( ) ( )

Θ Θ M θ M θ ω

Indicati con e i periodi di e , la velocità angolare del

M I m r

gruppo varia con legge periodica con un periodo che risulta dato da

=k

Θ=k Θ Θ

m m r r

k k

con e numeri interi primi tra loro.

m r ω

Questa equazione spiega che, affinché riacquisti gli stessi valori, è necessario

Θ

che il gruppo compia una rotazione ,che comprenda un numero intero di periodi

( )

Θ Θ

M θ

del momento motore ed un numero intero di periodi , del

m r

m

( )

M θ

momento resistente .

r

Ad esempio potrebbe risultare:

Θ k 2

m m

= =

Θ k 1

r r Θ=2 Θ

Risultando m

ω

Il valore medio di è sempre dato da: Θ

1 ∫ ( )

ω= ω θ dθ

Θ 0 Θ

Integrando l’equazione dell’energia cinetica tra 0 e e ricordando che il momento

motore medio ed il momento resistente medio coincidono, otteniamo:

M

¿ m−M

(¿ ) −M )=0

dθ=Θ(M

r m ,med r , med

¿ Δ L= Δ E

Risultando nulla nell’intervallo suddetto la variazione di energia cinetica ( ).

I , ω I , ω I ω

Indicati con e rispettivamente i valori di e assunti all’inizio

1 1 2 2

e alla fine del periodo, avremo: 1 1

2 2

− =0

I ω I ω

1 1 2 2

2 2 =ω

ω

Θ ω( θ)

Essendo il periodo di deve essere e di conseguenza

1 2

=I

I 1 2

GRADO DI IRREGOLARITÁ NEL PERIODO

Il grado di irregolarità mi fornisce informazioni su quanto si distanzia il valore della

velocità angolare rispetto al suo valore medio. A seconda delle finalità d’impiego e

quindi alla maggiore o minore sofisticatezza della macchina utilizzatrice, il grado

cambia (minore per macchine sofisticate) −ω

ω

max min

δ= ω

med

Affinché un gruppo abbia un grado di irregolarità nel periodo non superiore a quello

richiesto dalla macchina utilizzatrice, è spesso necessario dotare la macchina in

regime periodico di un opportuno volano, un organo meccanico costruito in acciaio o

ghisa.

Il volano è costituito da una corona C, un disco D ed un mozzo M. Il volano viene

generalmente calettato sull’albero della macchina a regime periodico dalla parte che

la collega alle altre macchine del gruppo. La sua funzione è quella di “serbatoio di

energia”: quando la macchina tende ad accelerare, per una variazione positiva di

lavoro, il volano assorbirà parte dell’energia in modo da farla ritornare al valore medio;

viceversa quando la macchina tenderà a rallentare, il volano rilascerà energia.

DETERMINAZIONE DEL MOMENTO DI INERZIA DI MASSA DEL VOLANO

Un metodo approssimato per la determinazione del momento di inerzia di massa del

volano è quello di Thomas Tredgold che si basa su due ipotesi:

1. Alla velocità angolare media sostituisco la media aritmetica:

Θ −ω

ω

1 ∫ max min

( )

ω= ω θ dθ ≈

Θ 2

0

2. Nel determinare il lavoro compiuto dalle forze di inerzia delle masse che si

muovono di moto non rotatorio, si suppone costante la velocità angolare del

gruppo. δ

Facendo uso della prima ipotesi possiamo riscrivere il ; moltiplicando e dividendo

ω

per otteniamo:

m 2 2

−ω

ω

max min

δ= 2

2ω med

Concentriamoci ora sulla seconda ipotesi, ri