Meccanica Applicata alle Macchine

CATENA CINEMATICA RRRP

La catena cinematica RRRP è formata da tre coppie rotoidali e una prismatica.

Manovellismo ordinario:

E’ un meccanismo formato da tre componenti:

- Biella: è il membro collegato con una coppia rotoidale

all’attuatore/motore e si muove di moto rotatorio

- Manovella: è il membro collegato alla biella che trasferisce

il moto al corsoio

- Corsoio: è il membro che impedisce la trasmissione di forze

laterali e oblique.

Equazione di chiusura:

+ + = 0

=

L’angolo deve essere necessariamente maggiore di 90 gradi altrimenti si ha una singolarità nel caso .

2

Equazioni del moto del corsoio: = 0

Si indica con s lo spostamento del corsoio rispetto alla posizione di massima estensione della catena, con al

=

variare del rapporto ;

Equazioni esatte: 2 2 2 2

= + − − √1 − = −√1 −

Posizione: essendo

cos

̇ = Ω( − ) ̇ = Ω

Velocità: con cos

Ω̇ Ω̇

2 2 2 2

̈ = Ω − ̇ − ̈ + ̈ = −Ω + ̇ +

Accelerazione: con

< 1)

Equazioni approssimate al ordine ( 2

(1

= (1 + − − 2) = −1 + − 2)ità:

Posizione: con

4 4 4

̇ = Ω ( + 2)

Velocità: 2

Ω̇

2 (

̈ = Ω + 2) + ( + 2)

Accelerazione: 2

(

≪ 1)

Equazioni approssimate al ordine

= (1 − )

Posizione:

̇ = Ω

Velocità: Ω̇

2

̈ = Ω +

Accelerazione:

pag. 9 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

RICHIAMI DI STATICA E APPLICAZIONI

Si definisce momento di una forza F applicata in un punto P rispetto un polo O la quantità:

( )

ℳ = − ∧

Il momento rispetto al polo O rimane costante se il polo O viene spostato in un O’ lungo una retta parallela alla

direttrice della forza F, invece se viene solamente spostato si ha:

′ ′

− ∧ + − ∧

= ( ) ( )

′

In un insieme di n Forze si definisce Risultante la somma vettoriale di tutte e si indica con:

= ∑

=1

Un corpo si dice in equilibrio se la risultante delle forze applicate su di esso e i momenti risultanti da questi sono

entrambi nulli, ovvero:

⃗

∑

ℛ = =

=1 }→ Equazioni cardinali della statica

⃗

∑

ℳ= ( −)∧ = 0

=1 FORZE AGENTI SUI MECCANISMI E RENDIMENTO

Tra le numerose forze che agiscono su di un meccanismo si fanno 2 principali divisioni:

- Forze motrici

- Forze resistenti

Inoltre queste possono anche essere divise in:

- Forze interne: forze scambiate tra i vari membri di un meccanismo

- Forze esterne: forze che agenti esterni o campi di forze (gravitazionale, magnetico) esercitano sul

meccanismo

Quando due membri di un meccanismo vengono a contatto quasi sempre si scambiano forze, e di queste vi è sempre

una componente dovuta all’attrito, inoltre vi possono essere altre resistenze passive come ad esempio quelle

viscose.

Un indice utile allo studio di queste resistenze è il rendimento.

Per definire cosa sia il rendimento si consideri una macchina sulla quale dall’esterno siano applicate una o più forze

attive e una o più forze resistenti. Dopo un tot di giri della macchina le forze resistenti avranno assorbito un lavoro

mentre le forze motrici avranno erogato un lavoro .

Le forze di resistenza passive inoltre avranno a loro volta assorbito altro lavoro .

Indicando ora con E l’energia cinetica totale della macchina e considerando trascurabili le variazioni di energia

− − = ∆,

interna si avrà: ovvero la somma dei lavori in un dato intervallo di tempo causa una

variazione dell’energia cinetica del sistema in modo proporzionale.

∆ = 0

In casi particolari si può avere in un dato intervallo di tempo quando la macchina è in regime assoluto e si

= +

ottiene quindi: ∆ ≠ 0

I casi in cui una macchina è in regime sono particolari ma frequenti, mentre vi sono situazioni in cui si ha ad

esempio all’avviamento o allo spegnimento.

=

In generale in una macchina a regime si definisce rendimento la quantità

pag. 10 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

= +

E’ evidente che η sia sempre minore di 1 essendo

Nel caso di particolari coppie o macchine strutturalmente semplici progettate con cura il rendimento assume valori

prossimi a 1. Nei casi reali questo può assumere valori molto bassi o addirittura annullarsi o diventare negativo, caso

in cui vi è impossibilità di movimento. =

Nel caso di una macchina ideale in condizioni ideali si può scrivere se non è presente attrito, e di

0

0

=

conseguenza l’equazione dell’attrito può assumere la forma: , ovvero si può definire come il rapporto tra

lavoro erogato in condizioni ideali su quello erogato in condizioni reali.

Considerando che ora il lavoro è lo scalare tra la risultante delle forze e lo spostamento, essendo quest’ultimo uguale

0

=

sia in condizioni reali che in ideali, si può scrivere il rendimento come indicando con la forza motrice

0

necessaria in condizioni ideali senza attrito.

1 − =

Si definisce perdita di rendimento la quantità:

RENDIMENTO DI MACCHINE DISPOSTE IN SERIE O IN PARALLELO

- Macchine disposte in serie:

il rendimento totale è il prodotto dei singoli rendimenti

delle singole macchine, ovvero

= ∗ ∗ … ∗

1 2

- Macchine disposte in parallelo:

il rendimento totale è la media ponderata dei rendimenti dei

singoli componenti, essendo presi come pesi i Lavori Motore:

∑

=

MOTO RETROGRADO

Può accadere nei meccanismi che ad un certo punto vi sia una perdita di forza P

motrice con conseguente possibilità di arresto della macchina o addirittura inversione

di questa. Prendendo ad esempio i due meccanismi, una carrucola e un piano inclinato.

In entrambi i casi se si riduce la forza P la forza resistente Q dovuta al peso ha a meglio.

Nel caso della carrucola che è un meccanismo a moto diretto e generalmente ha

rendimento elevato si ha che al prevalere di Q su P inizi a funzionare in modo opposto

usando come forza motrice Q e resistente P. Nel caso del piano inclinato che è invece

un meccanismo a basso rendimento si ha che al prevalere di Q si arresti solamente il

moto. Quando in un meccanismo si ha l’inversione del moto si dice che questo ammette moto retrogrado.

Ciò può essere verificato calcolando il rendimento in regime di moto retrogrado verificando se quest’ultimo sia

possibile. ′

′ ′ =

Si indica con il rendimento in regime retrogrado, che equivale per definizione a: ma essendo in regime

′

=

retrogrado la forza motrice pari alla resistenza nel moto normale, e quindi , si ottiene quindi:

′

′

′ ′

′

= 1 − =

e la perdita di rendimento vale .

pag. 11 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

Ora per trovare un legame tra i due rendimenti si rapportano le due perdite di rendimento ottenendo quindi

1 − ′ 1

′ ′

= =

1−

′

Indicando con K la quantità si ottiene quindi:

(1 + ) −

′

=

′

Grazie al parametro k quindi è possibile trovare in funzione di e verificare quindi se sia possibile o meno il moto

′

< 0 <

retrogrado. Ovvero si può notare che se , questo accade grossomodo per valori di inferiori a 0,5,

(1+)

ovvero nel caso di macchine a basso rendimento.

FORZE DI CONTATTO, ATTRITO

Se due membri a contatto non sono in moto relativo tra di essi la forza di attrito potrà

assumere qualunque valore purché inferiore al prodotto tra la pressione normale alla

superfice di contatto e il coefficiente di attrito statico (o di primo distacco). Se i due

componenti hanno moto relativo allora la forza di attrito sarà pari alla componente

.

normale della pressione moltiplicata per il coefficiente di attrito dinamico

Se nel contatto tra i due corpi vi è strisciamento la retta di azione della forza che i due

() = .

corpi si trasmettono forma con la normale un angolo

Nel caso di contatto senza strisciamento, e quindi attrito statico, la forza che i due

componenti si trasmettono forma con la normale un angolo non superiore all’angolo di

)

tan( =

aderenza definito dalla relazione:

L’effetto principale che l’attrito ha nel funzionamento delle macchine è una perdita di energia.

LAVORO DI ATTRITO:

Per trovare a quanto equivale questa perdita di energia si studi il lavoro della forza di attrito tra due corpi A e B

= −

aventi tra essi velocità relativa

Le componenti normali alla tangente comune nel punto di contatto sono uguali e contrarie e dunque si annullano,

invece le componenti F e F compiranno in un intervallo un lavoro:

AB BA ( )

∗ + ∗ = =