Meccanica Applicata alle Macchine

MECCANICA APPLICATA

Una MACCHINA è un sistema meccanico il cui scopo è la trasformazione di energia. Si ha energia di un certo tipo

entrante e energia uscente.

TIPOLOGIE DI MACCHINE: →

1. Energia meccanica in energia di altro tipo Macchina generatrice

→

2. Energia di altro tipo in energia meccanica Macchia Motrice

→

3. Energia meccanica in energia meccanica Macchina trasformatrice

SISTEMA REALE→MODELLO FISICO→MODELLO MATEMATICO SOLUZIONE:

-Analitica

-Numerica

-Grafica

COMPOSIZIONE DELLE MACCHINE:

Gli organi che compongono la macchina sono detti MEMBRI e sono

composti da più pezzi che dal punto di vista funzionale si comportano come

un unico pezzo.

Si distinguono in: 1. MEMBRO BINARIO (se accoppiato con 2 altri membri)

2. MEMBRO TERNARIO (se connesso con tre altri membri)

Quando due membri di un meccanismo vengono a contatto lo fanno in due porzioni, talvolta molto ampie e talvolta

limitatissime. Queste due porzioni vengono definite ELEMENTI CINEMATICI e l’insieme di due elementi cinematici

forma una COPPIA CINEMATICA. Un membro deve possedere la possibilità di movimento rispetto ai membri

adiacenti e quindi una coppia cinematica deve concedere almeno un grado di libertà. Per vincolare un corpo basta

metterlo a contatto con un appoggio opportunamente disposto e costruito in maniera tale da agire su una superficie

ridottissima (tipo un punteruolo). Per impedire qualsiasi tipo di movimento nello spazio a un corpo rigido bisogna

applicargli 6 vincoli opportunamente disposti.

I vincoli puntiformi vengono utilizzati prevalentemente in officina lavorando con componenti grezzi di forma

irregolare. Molto più spesso invece si utilizzano vincoli con una superficie sufficientemente ampia in modo da poter

avere la pressione sulle zone del componente in valori tollerabili.

pag. 1 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

(coppia prismatica) (coppia elicoidale)

COPPIE CINEMATICHE AD UN GRADO DI LIBERTA’:

La differenza tra queste è il tipo di grado di libertà che mantengono

1. ROTOIDALE (C1): Mantiene solo il grado di libertà di ROTAZIONE

2. PRISMATICA (C1): Mantiene solo il grado di libertà della TRASLAZIONE

3. ELICOIDALE (C1): I gradi di libertà sembrano due ma effettivamente è solo quello di ROTAZIONE poiché

quello di movimento è dipendente dalla rotazione

Le prime due sono coppie piane poiché dei punti appartenenti alla coppia hanno moti descritti da un piano, la terza

invece è una coppia spaziale perché i punti appartenenti ad essa hanno moti descritti nello spazio

COPPIE CINEMATICHE A DUE GRADI DI LIBERTA’:

1. CILINDRICA (C2): Mantiene i gradi di libertà della rotazione e della traslazione

2. PIANO SU PIANO (C2): Mantiene i gradi di libertà di traslazione rispetto 2 direzioni e rotazione

COPPIE CINEMATICHE A TRE GRADI DI LIBERTA’:

1. SFERICA (C3): Ruota rispetto alle 3 direzioni spaziali

Le varie coppie cinematiche si distinguono in:

1. COPPIA ELEMENTARE: RIGIDA E COMBACIANTE (superfice di contatto non nulla)

2. COPPIA SUPERIORE: COMBACIANTE NON RIGIDA (connesse per esempio da una catena)

RIGIDA NON COMBACIANTE (area di contatto descritta da un punto o segmento di retta, ovvero

aera nulla)

Le coppie superiori al contrario di quelle elementari non definiscono il moto relativo dei due membri a contatto in

modo completo e quindi bisogna considerare il meccanismo nelle quali sono inserite.

Oltre alla distinzione tra coppie elementari e coppie superiori vi è la classificazione delle coppie in:

COPPIE PIANE, SFEERICHE, GENERALI.

Si definisce PIANA una coppia in cui pensando fisso un elemento cinematico, l’altro si muove in modo tale che ogni

punto preso su di esso descriva una traiettoria parallela a un piano.

Si definisce SFERICA quando, preso fisso un elemento cinematico, l’altro si muovi in modo che ogni punto preso in

esame descriva traiettorie contenute in sfere concentriche.

Se una coppia non è né sferica né piana allora si dirà GENERALE. In una coppia generale i punti sull’elemento

cinematico in movimento descrivono, nel caso più generale, moti istantanei elicoidali, e infatti la coppia generale più

semplice è quella elicoidale.

pag. 2 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

I meccanismi piani sono formati interamente da coppie piane, e in questi quindi la forma di ogni singolo componente

è interamente definita dalla sua proiezione su di un piano. Allo stesso modo sono definiti i contatti tra due elementi

cinematici, che nel caso di coppie combacianti si avrà che le due proiezioni dei profili combaceranno in un tratto,

invece nel caso di coppie non combacianti le due linee verranno a contatto al massimo in un unico punto tangente a

entrambe. A tali linee si da il nome di profili coniugati.

Si possono avere moti relativi tra i due profili:

1. V =0, Moto relativo di puro rotolamento;

M

2. V ≠0, se il vettore velocità giace sulla tangente t si ha moto di strisciamento

M

3. V ≠0, se il vettore velocità ha componente non nulla lungo la normale alla tangente t

M

si può avere un distacco o compenetrazione, più in generale verranno a contatto

attraverso un urto.

Si parla di meccanismo quando in un sistema meccanico si considera un membro come fisso e lo si definisce TELAIO,

quando non è possibile considerare a priori un membro come fisso allora si parla di CATENA CINEMATICA. Una catena

cinematica diviene un meccanismo non appena un suo membro viene fissato e usato come telaio. Da una catena

cinematica si possono ottenere tanti meccanismi quanti sono i membri che la compongono, ma non tutti saranno

strutturalmente diversi. Contiene solo coppie cinematiche

Si dividono in : elementari (rigide combacianti).

1. Sistemi articolati Possono essere:

2. Altri… 1. A CATENA CHIUSA

2. A CATENA APERTA

La coppia biella manovella del motore è un

sistema articolato, mentre la coppia

pignone corona della bici, collegato

tramite catena, e quindi non rigida, non è

un sistema articolato

Meccanismo a catena aperta con 3 attuatori

pag. 3 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

GRADI DI LIBERTA’

Definiti come: numero di attuatori/motori del sistema.

Un qualsiasi corpo rigido ha in generale 6 gradi di libertà che corrispondono alle 3 coordinate di un generico punto e

i tre angoli di Eulero corrispondenti. Nel piano vi sono 3 GDL che sono : 2 traslazioni e 1 rotazione.

Considerando un sistema composto da n membri, si suppone che uno sia il telaio, quindi senza gradi di libertà, si avrà

quindi: GDL= 6(n-1)

Se ora nel sistema si aggiungono coppie cinetiche rigide si dovranno considerare i numeri di GDL che esse

sopprimono, ad esempio una C1 sopprime 5 GDL, una C2 4 e così via. Si avrà quindi:

GDL= 6(n-1) – 5C – 4C – 3C …etc… [formula di Grubler]

1 2 3

Stessa cosa nel piano, ma invece che partire da 6 gradi di libertà si parte da 3.

Questo meccanismo piano ha 4 membri, uno dei quali fissato, ha 4 coppie C1 e 0

coppie C2, applicando la formula si ottiene:

GDL: 3(4-1) – 2*C1 – 1*C2 = 3(4-1) – 2*4 – 1*0 = 1

Nei meccanismi ad un grado di libertà si hanno di solito un membro movente sul quale viene esercitata dall’esterno

una azione motrice (input), e un membro cedente che trasmette l’azione motrice dall’interno del meccanismo

all’esterno (output). Gli attuatori possono essere costruiti in maniere differenti e possono essere lineari o rotativi.

Questo tipo di meccanismi viene utilizzato frequentemente quando vogliono essere sfruttati più contributi derivanti

da entrate indipendenti o si vuole ripartire l’effetto di quella entrante su più uscite.

Nonostante i meccanismi ad un grado di libertà siano molto comuni, esistono anche meccanismi con più gradi di

libertà ad esempio il braccio meccanico di una escavatrice (2 GDL).

In questo caso si può notare in maniera evidente che il numero di gradi di libertà

coincide con il numero di attuatori/motori montati che rendono possibile il moto.

Questo è formato da 9 membri e 11 coppie C1, e si può ritenere dunque un

meccanismo piano. Applicando l’equazione di Grubler si ottiene:

GDL=3*(9-1)-2*11= 2

Ciò significa che il meccanismo sarà dotato di due ingressi input, ovvero motori.

pag. 4 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

APPLICAZIONI PRATICHE

Essendo le coppie 5 6 e 7

con assi di rotazione tra

di essi ortogonali

possono essere sostituite

con una coppia sferica

così da avere in totale 3

gradi di libertà quanti

sono effettivamente gli

attuatori.

RICHIAMI DI CINEMATICA DEL PUNTO E DEI CORPI RIGIDI

CINEMATICA DEL PUNTO

Posizione di un punto:

In forma cartesiana è espressa da un vettore posizionale nella forma

( ) ( ) ( )̂ ( )̂

= − = +

Velocità di un punto:

E’ la derivata rispetto al tempo dell’equazione del vettore posizionale ed è espressa come:

( )

( ) ( )̂ ( )̂

= = ̇ + ̇ = ̂ + ̂

Accelerazione di un punto:

E’ la derivata temporale della velocità e si indica con

( )

( ) ( )̂ ( )̂

= = ̈ + ̈

pag. 5 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI

Teorema di allineamento dei centri di istantanea rotazione, o teorema di Kennedy-Arnold

In questo sistema formato da 3 membri di cui uno fisso, con 2

coppie cinematiche C1, le due coppie coincidono con i centri di

istantanea rotazione di ognuno dei membri mobili, il Teorema di

Kennedy-Arnold afferma che il centro relativo di rotazione tra i

membri mobili appartiene alla retta congiungente i centri assoluti di

rotazione dei membri mobili

Per definizione il centro di istantanea rotazione si trova su

una retta ortogonale alla direzione istantanea della

velocità tangenziale. Considerando per assurdo un punto P

esterno alla retta costruita, si nota che per essere P centro

dei moti di entrambi i membri mobili, le rette che

congiungono i due centri con P devono essere parallele, e

questo si ottiene solo quando P appartiene alla retta

trovata

Posizione, velocità e accelerazione dei punti di un corpo rigido

La posizione di un punto relativamente ad un altro punto in un corpo con

vincolo di rigidità è indicata con un vettore posizionale con punto di

applicazione nel primo punto, ovvero:

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

= +

Velocità relativa in un corpo rigido che ruota con velocità

angolare costante

Derivando la formula della posizione si ottiene:

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

( )

= +

⃗ ∧ − (teorema di rivals)

Accelerazione relativa con velocità angolare costante

derivando l’equazione della velocità si ottiene:

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

2

( ) ( )

= = + ̇ ∧ − − −

L’accelerazione di B in particolare ha 2 componenti, una normale e una tangenziale, la cui risultante forma con il

̅̅̅̅

vettore posizionale un angolo definito dalla relazione: ̇

= − 2

ANALISI CINEMATICA DEI MECCANISMI

Un meccanismo è noto una volta creato un modello e definiti con precisione i membri e le coppie utilizzate. Si

analizzeranno prevalentemente sistemi piani e articolati.

QUADRILATERO:

E’ un meccanismo ovviamente piano, con coppie elementari, formato da un membro telaio, il membro opposto al

telaio si definisce biella, le altre due braccia invece semplicemente aste.

pag. 6 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

La manovella è il membro di solito collegato al motore in meccanismi ad un grado di libertà, mentre il bilanciere è

un membro che trasforma il moto rotatorio continuo della manovella in un moto rotatorio alterno.

Si chiami A il lato corto, B il lato lungo, C e D i lati intermedi, la regola di Grashof afferma che:

→

1. Se A+B < C+D E’ un quadrilatero di Grashof

→

2. Se A+B > C+D Non è un quadrilatero di Grashof

→

3. Se A+B = C+D Si è in un caso limite.

In un quadrilatero di Grashof se il lato corto è collegato al telaio allora il meccanismo ha due manovelle. Questo

segue dal fatto che per la regola di Grashof, se un quadrilatero è di Grashof almeno un membro effettua una

rotazione completa.

Vi sono 3 casi limite: parallelogramma, antiparallelogramma, quadrilatero isoscele.

Nel parallelogramma si hanno 2 manovelle e la biella si muove di moto traslatorio.

Un quadrilatero ha 3 membri mobili e 1 telaio, per definire la posizione univoca dei 3 membri mobili serviranno 3

variabili ‘’del moto’’, e quelle indipendenti saranno in numero pari ai gradi di libertà.

PRIMO PASSO, PROBLEMA DELLA POSIZIONE

Analisi posizionale dei membri, immagino di avere il sistema smontato e di doverlo montare, posiziono prima di tutto

il telaio, successivamente le altre aste nella posizione nota a priori. La posizione dell’ultima coppia rotoidale si trova

all’intersezione di due circonferenze, una centrata all’estremo esterno della prima asta mobile, e un’altra centrata

del secondo estremo del telaio. In poche parole la posizione delle ultime 2 aste è dipendente dalla posizione della

prima asta, più precisamente con l’angolo che forma con il telaio. Questo a dimostrare che anche se le incognite

sono 3, il numero di quelle indipendenti è ari ai gradi di libertà del sistema, e quindi in questo caso 1. Questo

problema è risolto una volta note le lunghezze delle aste e la variabile indipendente α.

N.B.: si nota che quando si fanno intersecare due circonferenze si otterranno 2 posizioni, il che significa che il nostro

sistema può essere montato in 2 configurazioni diverse. Se la somma delle lunghezze delle due aste secondarie è

pari alla congiungente tra l’estremo superiore della prima asta mobile e quello esterno del telaio, si è in un caso

singolare, dove si avranno 2 soluzioni coincidenti al problema della posizione.

SECONDO PASSO, ANALISI DELLE VELOCITA’

Si effettua dopo aver risolto il problema della posizione e aver scelto casomai una delle due configurazioni possibili.

Per risolvere il problema delle velocità serve la derivata della variabile indipendente, ovvero la posizione angolare, e

ricavare di conseguenza le altre 2 velocità angolari. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ∧

1 1 1

|

⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∗

| | = = | |

Per convenzione si ha: , la direzione di V * è ruotata di rispetto Ω in senso opposto. Si ha:

a

1

2

1

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

∗

= ,

1

̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ∗ ∗

= +

∗

pag. 7 Appunti scritti e diffusi da Vito Montano

TERZO PASSO, ANALISI DELLE VELOCITA’

Ω̇

Per quest’analisi si introduce , ovvero derivata temporale della velocità angolare, o meglio accelerazione angolare.

Ω̇ = 0

Per motivi di semplicità e praticità si considera poiché di solito i motori utilizzati hanno sempre velocità

angolare costante. ̅̅̅̅̅

12

̅̅̅

= −Ω

L’unica accelerazione rimanente è allora quella centripeta, ovvero 1

METODO ANALITICO:

PROBLEMA POSIZIONALE:

Essendo un sistema ad un gradi di libertà si ha una sola variabile indipendente α da cui si ricavano le due variabili

dipendenti β e tutte corrispondenti alle posizioni angolari dei membri del sistema.

Data la geometria del sistema conosco la lunghezza dei 4 membri. Successivamente conoscendo la variabile α devo

trovare le altre 2 in entrambi i casi di montaggio.

Considerando ogni lato del quadrilatero come un vettore, si nota subito che applicando la somma di vettori, il

risultante di quei 4 vettori è il vettore nullo. Questa è definita equazione di chiusura. Vettorialmente si ha:

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 0̅

+ + + =

1 3 3 1

+ + =

{

Analiticamente si ha: + + = 0

.

Sono 2 equazioni scalari in 2 incognite β e

PROBLEMA DELLE VELOCITA’:

Diventa un problema banale una volta risolto il problema delle posizioni poiché basterà derivare l’equazione di

chiusura rispetto al tempo, oppure le sue due proiezioni scalari in modo da avere:

̇

−̇ sin − sin − ̇ sin = 0

a) ̇

̇ cos + cos + ̇ cos = 0

b)

Da cui si otterranno le velocità dei 2 membri dipendenti. []{̇ } {}

=

Per vedere se il problema ha soluzioni si può usare il calcolo matriciale nella forma:

̇

− −

( )( ) = ( ) ̇

̇

−1

{̇ } [] {}

= ↔ det() ≠ 0

La soluzione sarà quindi

det() = 0

Nel caso in cui si ha che non ci sono soluzioni al problema delle velocità, ovvero da quella posizione il

sistema non può uscire. det() = 0 =

Calcolando il determinante si trova che , ovvero quando il sistema è nella POSIZIONE

SINGOLARE.

PROBLEMA DI ACCELERAZIONE:

Rimanend