MB108 Appunti di Matematica Finanziaria

FUNZIONI A PIÙ VARIABILI REALI

1. Dato due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione da A a B la legge che ad ogni elemento di A associa uno e solo elemento di B.

NB per dare una funzione occorrono:

• 1) gli insiemi non vuoti
• 2) legge di corrispondenza unica

Simboli: f: A → B , x ∈ A → f(x) ∈ B

1. A: dominio funzione / B: codominio

Esempio possiamo distinguere i seguenti casi:

1. se A ⊂ Rⁿ e B ⊂ R → funzioni scalari (cioè funzioni di una variabile)

   • Es: f: R → R; f(x) = x² + 3x

2. se A ⊂ Rⁿ e B ⊂ R → funzioni scalari o vettore (funzioni di n variabili)

   • Es: f: R² → R; f(x₁; x₂) = x₁²+3x₂ (f di 2 variabile)

   x vettore delle variabili indipendenti x ∈ R² → f(x)

   ( -1 ; 2) → 1 + 6 = 7

3. se A ⊂ R e B ⊂ R^m → funzioni vettoriali di scalare (l'immagine è un vettore)

   • Es: f: R → R²; (x) = (x² ; 3x)
   • → f(z) = (z²; z²)

4. se A ⊂ Rⁿ e B ⊂ R^m → si parla di funzioni vettoriali di vettore

   • f: R² → R²
   • x ∈ R → (fx) ∈ R^m

   es. f: R² → R³

   f(x) =

   ( x², x₁ ; x₂ ) → x = -1 / 2 → f(x) = ( -1/4) ; (1/4)

MAURO D'AMICO Martedi 26 Settembre

TESTI:

• MATEMATICA IN AZIENDA 1
• MAT... IN AZIENDA 1
• MAT... IN AZIENDA 2
• PROBABILITY 1

PROGRAMMA DEL CORSO

• FUNZIONI A PIÙ VARIABILI/CALCOLO DIFFERENZIA... A-I VARIABILI
• PROBABILITÀ
• CALCOLO FINANZIARIO

FUNZIONI A PIÙ VARIABILI REALI

Def) Dati due insiemi non vuoti A e B, ...

• l'insieme ... non vuoto
• legge di corrispondenza UNIVOCA

Simbolicamente:

f : A -> B x ∈ A => f(x) ∈ B

A: dominio funzione / B: codominio

Compaiono principalmente i seguenti casi:

1. A ⊂ R e B ⊂ R => funzioni SCALARI (cioè funzioni di una variabile)
   • Es. f : R -> R ; f(x) = x² + 3x
2. se A ⊂ Rⁿ e B ⊂ R => funzioni scalari di vettore (funzioni di n variabili)
   • Es. f : R² -> R (x₁, x₂) x₁² + 3x₂ (p.d. di 2 variabili)

   x vettori delle variabili indipendenti x ∈ R² -> f(x)

3. se A ⊂ R e B ⊂ R^m => funzioni vettoriali di scalare (l'immagine è un vettore)
   • Es. f : R -> R² (z + 3x ...)
4. se A ⊂ R^m e B ⊂ R^m -> funzioni vettoriali di vettore
   • Es. f : R² -> R² x ∈ R¹ -> f(x) ∈ R^m
   • Es. f : R² -> R³ f(Δ₅)

   (-1/2 -1/-2)

L'insieme di tutte le immagini di una funzione con dominio A si dice:

INSIEME IMMAGINE f: A -> f(A)

Esempio 1:

f: ℝ³ -> ℝ f(x) = x₁ + x₂ - x₃

n = 3 variabili indipendenti (= dimensione spazio di partenza)

x ∈ ℝ³ , x = (x₁, x₂, x₃)

f(⃗x)

Im x = (0, -2/3)

La funzione è decrescente positiva, si calcola l'immagine

• Qual è la differenza tra dominio naturale e dominio della funzione?

Il più ampio, contenuto in ℝ = ℝ¹ (spazio di partenza) in cui si può una funzione e dove possiamo trovare le immagini si dice dominio naturale della funzione.

Esempio 2:

f: ℝ³ -> ℝ f(x) = x₂ - x₃

(^{x₁, x₂, x₃}) Denominatore non nullo

⊄

Def: X = { x ∈ ℝ³ | x ≠ 0 ; x₂ - x₃ ≠ 0 } x ∈ ℝ³

• Radiacalo e radici ad esp. pari non negativo (z > 0)

Esempio 3:

f: ℝ² -> ℝ f(x) = √x₁ √x₂

{x₁≥0

{x₂≥0

Im f(⃗-1/2)⊄NO

Argomento del logaritmo positivo ( > 0 )

f: ℝ² -> ℝ f(x) = log₈₀.₃(x₂ + x₇ + x₆)

a) Dominio ℝ² ; Codominio ℝⁿ

b) Dominio naturale { x | x₂ - x₁² + 2 > 0 ; x ∈ ℝ² }

• Determinare

Osservazione

f: R²→R f(x) c ∀x

X = {x ∈ R² x₁x₂ > 0}

X₃ = II e III quadrante (compresi gli assi)

USO LA REGOLA DEI SEGNI

Osservazione

f: R² → Rⁿ as puoi pensare come n fun._scala

f: R