MB108 Appunti di Matematica Finanziaria

MAURO D'AMICO - Martedí H 12:30

mauro.damico@unibocconi.it

Testi:

1. MATEMATICA IN AZIENDA 1
2. MAT. IN AZIENDA 2
3. MAT. IN AZIENDA
4. PROBABILITY

PROGRAMMA DEL CORSO

• FUNZIONI DI PIU VARIABILI / CALCOLO DIFFERENZ. A+ VARIABILI
• PROBABILITA
• CALCOLO INTEGRALE

FUNZIONI A PIU VARIABILI REALI

1. Def) Dati due insiemi non vuoti A e B di dice funzione da A a B la legge che ad ogni elemento di A associa uno solo elemento di B.
   • per dare una funzione servono:
     • 2 insiemi non vuoti
     • legg di corrispondenza univoca

NB

Similogia: f: A → B - x ∊ A => f(x) ∊ B

f(x) e' l'immagine di x secondo f.

A: Dominio Funzione / B: Codominio

Possono distinguere i seguenti casi:

1. A ⊂ R e B ⊂ R => Funzioni SCALARI (cioe: funzione di una variabile)

   • Es. f: R → R; f(x) = x²+3x

2. Se A ⊂ R² e B ⊂ R => Funzioni scalari di vettore (funzioni di 2 variabili)

   • Es f: R² → R f(x₁, x₂) = x₁² + 3x₂ (p. di 2 variabile)

     V∊ vettor della variabile indipendenti x ∊ R² → (1₂ )

   • f (-1, 2) = (-1)² + 6 =?

3. Se A ⊂ R e B ⊂ R^m => Funzioni vettoriali di scalare (L’immagine è un vettore)

   • Es. f: R → R² f (x)= {3X}/{-X} {(-2)/(-2)}

4. Se A ⊂ R^m e B ⊂ Rⁿ si parla di funzione Vettoriale dei vettore

   • Es. f: R⁴ → R^m x ∊ R² → (f(x)) ∊ Rⁿ

     Es. f: R² → R³ f(x) = ( x₁-x₂ x + x₂ x² + x₂)

     (x (1) / (2) = (1-2 x 2 + (1)

L'insieme di tutte le immagini di una funzione con dominio A si dice:

INSIEME IMMAGINE DI f

E.S.

Il primo auxito, insiemi X ∈ R^n (spazio di partenza) in cui c’é go una punione, e dove neuvo possiamo trovare in immagine si dice dominino naturale delle punione.

E.S.

f:R^3 →R f(X) = x₁ + X₂ X₃ 7 DENOMINATORE NON NULLO

f( -1 1-3 ) NO f( -1 -1-2 ) NO

Def

Racchiudo I radici ol al esp. peer non regale (x >0)

E.S.

f :R² → R f(x) = √x₁ × √x₂

f( x-x₁ ) /{ -1 2 } NO >0 (3) Argomento del Logarithmo positivo ( >0 ) f0; X ∗ R:< R^12)

Proprietà della norma

(1) ∀x ∈ ℝⁿ: ‖x‖ ≥ 0 (proprietà di non negatività)

x = 0 ⇔ x è il vettore nullo: x coincide con l'origine

(2) ∀c ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝⁿ: ‖c× x‖ = |c|×‖x‖

(3) ∀x, y ∈ ℝⁿ: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (disequazione triangolare)

Alcune applicazioni interessanti valgono solo se uno dei vettori è nullo oppure se il vettore è uguale a zero

(4) Si dice distanza euclidea tra due vettori x, y ∈ ℝⁿ e si indica con

d(x, y) e si definisce come la norma della differenza dei due vettori

d(x, y) = ‖x - y‖ = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (xₙ - yₙ)²)

Infatti, per i due vettori x = (-1, 3, 7), y = (-2, 4, 5):

1. ‖x‖ = √(-1)² + 3² + 7² = √59
2. ‖y‖ = √(-2)² + 4² + 5² = √45
3. √(x₁)² = √(-1)² + 3² + (-2 + 5)² =√62

Dunque, se x = (-1, 3) e y = (-2, 5), d(x, y) = √9 + √4 =√182

Proprietà della distanza

(1) La distanza è sempre ≥ 0 per qualsiasi x, y ∈ ℝ (proprietà di non negatività).

d(x, y) = 0, quando e solo quando x = y

(2) ∀x, y ∈ ℝⁿ, d(x, y) = d(y, x) (proprietà di simmetria)

(3) ∀x, y, z ∈ ℝⁿ: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (disequazione triangolare)

Se cerco di derivare un punto preso X_o restituisco il numero alla variabile.

NB su una funzione di piú variabili non si calcola la derivata ma le derivate Def il ( o dico gradiente di una funzione{ X _Rⁿ--->R Indicato V f. Il vettore V_{xo da raccoglie le derivate parziali prime di F.}

V*f =[f_x1 f_x2 f_xn]

• Esempio f: R² f: R--->R f(x) = x1² + x2 x₁ + e x ^x2 _{+ x3 +...+x2^{n Xo E Rd}}
• f: R( x)
• f_x1 = e x ^x2
• f_x2 = x1 x₂
• f_{3o1 =x^x2}
• f_xo
__ V*f (x) =[ x1 x2 ^{e x2 x2 x₁} + x₁ x1 ^x2]
• x -_o
• (100)
Vf(x0) = [ -3 - 2 - 1] Gradiante valutato in x0

Funzioni vettoriali di vettori :

f ( x E Rⁿ---> R^m : f₁ f₂

• le m funzioni possono pensare come Rⁿ--->R/le sue scalari di vetore.
• f₁f(x)---> Rⁿ--->R
• f₂f(x)---> Rⁿ--->R
• V₁(i)------->

• le m parziali Vf(x) (m =1,2)
• e possono accolgliere in una matrice dx dip. m,n) che si dice matrice jacobiana(Simolo)
• J f(xi)= (Vf
• Vf),V_2n1)
• la matrice che ha x righe:i gradienti delle m funzioni che la compongono.
1. m = numero di funzioni scalari ( dimensione primo del vettore)
2. n = numero variabili indipendenti (dimensione spazio di partenza)

Esempio

• R² → R
• (x)_𝜵(x) x₂
• 8x₁ x₂ - 3x₂²
• (x) 6x₁x₂
• (x)² (f)²x / 2 - (18x₂)²
• d(x)₁ 6x₂
• d(x)₂- (f)² =(18x₁) x₂
• osservazione x scolus

• H(xx)₁₁(x) = H(xx)₂₁
• H(xx)₂₁(x) = det
• (H(xx) ^{(X) =(36x8) H₁ 36x}

Calcolare i determinanti

di sono determinati

OSERVAZIONE:

x_X liberi(space)

• (x,v)
• (XT,x)
• (X)¹ (x)
• (principalmente) x
• (OS² misore prime ali dal nord oves

Dello studio delle variabili possiamo distinguere me:

ESTREMI LIBERI

• (diminuire
• (bassiamo legare) (incl

ESTREMI VINCOLATI

• (le variabili sono legate da parametri)