Matematica tutte le formule

MATEMATICA

Potenze

aⁿ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a_{n volte}

a⁰ = 1

a¹ = a

a^-n = ¹⁄_aⁿ

a^m ⋅ aⁿ = a^m+n

(a^m)ⁿ = a^{m ⋅ n}

Radicali

ⁿ√_{a b} = ^{√a ⋅ √b}

ⁿ√_a ⋅ ⁿ√_b = ⁿ√_{a ⋅ b}

Prodotti notevoli

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)(a + b) = a² - b²

Scomposizioni

x² - y² = (x - y)(x + y)

x² + 2xy + y² = (x + y)²

Disequazioni

I° grado

ax + b > 0 ⇒

• x > -^b/_a se a > 0
• x < -^b/_a se a < 0

ax + b < 0 ⇒

• x < -^b/_a se a > 0
• x > -^b/_a se a < 0

II° grado

a > 0

a < 0

Disequazioni il cui primo membro è prodotto di polinomi e disequazioni fratte

A(x)⋅B(x) > 0 e ^N(x)/_D(x) > 0

La soluzione è costituita dagli intervalli nei quali A(x) e B(x) oppure N(x) e D(x) sono concordi.

A(x)⋅B(x) < 0 e ^N(x)/_D(x) < 0

La soluzione è costituita dagli intervalli in cui A(x) e B(x) oppure N(x) e D(x) sono discordi.

Disequazioni irrazionali

Indice pari

√²ⁿf(x) < g(x) ⇒

• f(x) ≥ 0
• g(x) > 0
• f(x) > [g(x)]²ⁿ

√²ⁿf(x) > g(x)

Unione delle soluzioni dei sistemi:

• f(x) ≥ 0 , g(x) ≥ 0
• g(x) < 0 , f(x) ≥ [g(x)]²ⁿ

Indice dispari

√²ⁿ⁺¹f(x) < g(x) ⇒ f(x) < [g(x)]²ⁿ⁺¹

√²ⁿ⁺¹f(x) > g(x) ⇒ f(x) > [g(x)]²ⁿ⁺¹

Sistemi di disequazioni

A₁(x) < B₁(x)

A₂(x) > B₂(x)

A_n(x) < B_n(x)

La soluzione del sistema è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni che costituiscono il sistema.

TRIGONOMETRIA

Definizione delle funzioni circolari

P(x_p ; y_p)

T(1 ; y_T)

T'(x_T ; 1)

senα = ^y_p/_OA (senα = y_P se OA = 1)

cosα = ^x_p/_OA (cosα = x_P se OA = 1)

tgα = ^y_T/_OA (tgα = y_T se OA = 1)

cotgα = ^x_T/_OA (cotgα = x_T se OA = 1)

Relazioni fondamentali della goniometria

sen²α + cos²α = 1

tgα = ^senα/_cosα

α ≠ ^π/₂ + kπ

Geometria Analitica

• Relazione tra le coordinate cartesiane e le coordinate polari di un punto
  • x = r cosθ
  • y = r senθ
  • r = √(x² + y²)
  • θ = arctg y/x
• Formule di rototraslazione
  • x = x′cosα − y′senα + x₀
  • y = x′senα + y′cosα + y₀
  • x′ = (x − x₀) cosα + (y − y₀) senα
  • y′ = −(x − x₀) senα + (y − y₀) cosα
• Coordinate del punto P(x; y) che divide il segmento di estremi A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂) in due parti proporzionali a due numeri assegnati m e n.
  • x = (nx₁ + mx₂) / (n + m)
  • y = (ny₁ + my₂) / (n + m)
• Coordinate del punto medio M (x_m; y_m) del segmento di estremi A e B
  • x_m = (x₁ + x₂) / 2
  • y_m = (y₁ + y₂) / 2
• Distanza tra due punti A e B:
  • AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Retta

• Equazione implicita:
  • ax + by + c = 0
• Equazione esplicita:
  • y = mx + q
• Equazione segmentaria:
  • x/p + y/q = 1
• Retta passante per due punti A(x₁; y₁), B(x₂; y₂)
  • m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
• Equazioni di rette particolari
  • Asse delle ascisse y = 0
  • Asse delle ordinate x = 0
  • Parallele all’asse x y = k
  • Parallele all’asse y x = h (h e k costanti)
  • Bisettrice del I^o e III^o quadrante y = x
  • Bisettrice del II^o e IV^o quadrante y = −x
• Angolo α tra due rette di equazioni
  • y = mx + q e y = m′x + q′
  • tgα = |(m − m′)/(1 + mm′)|
• Condizione di parallelismo: m = m
• Condizione di perpendicolarità: m·m′ = −1
• Fascio di rette con centro C(x₀; y₀)
  • y − y₀ = m(x − x₀)
• Fascio di rette parallele ad una retta assegnata (fascio improprio)
  • y = mx + k
• Distanza d del punto P (x₀; y₀) della retta di equazione ax + by + c = 0
  • d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Parabola

• Parabola con asse parallelo all’asse y
  • y = ax² + bx + c
  • vertice V (−b/2a ; −Δ / 4a)
  • fuoco F (b/2a ; 1 − Δ/4a)
  • direttrice y = −1 + Δ/4a
  • asse x = −b/2a
  • se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto
  • se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso
• Parabola con asse parallelo all’asse x
  • x = ay² + by + c
  • vertice V (−Δ/4a ; −b/2a)
  • fuoco F (1 − Δ/4a ; b/2a)
  • direttrice x = −1 + Δ/4a
  • asse y = −b/2a
  • se a > 0 la parabola volge la concavità verso destra
  • se a < 0 la parabola volge la concavità verso sinistra