Matematica per la fisica - analisi complessa

Teorema sulle funzioni olomorfe e flat

Il teorema afferma che se una funzione è olomorfa su un dominio D e flat su un insieme aperto contenuto in D, allora è olomorfa su tutto D.

Un'osservazione importante è che le condizioni che dicono se una funzione è olomorfa o flat sono già soddisfatte dalle derivate seconde. Se una funzione ammette derivate seconde olomorfe, allora è flat. Da qui si può dedurre che se una funzione è olomorfa e flat, allora ammette derivate seconde olomorfe.

Un esempio di violazione di questa condizione è dato dalla funzione armonica di Laplace. Se una funzione soddisfa l'equazione di Laplace, ad esempio la funzione costante, allora non è olomorfa.

Un altro esempio è dato dai polinomi complessi. Tutti i polinomi sono olomorfi, ma non sono flat. Prendendo in considerazione la funzione z^2, si può verificare che non è flat.

Infine, è possibile definire funzioni trigonometriche che possono essere olomorfe in determinati domini. Ad esempio, la funzione coseno può essere olomorfa nel dominio complesso.

1. Si possono definire anche funzioni iperboliche.
2. Il tetto della funzione seno iperbolico può essere rappresentato come una proiezione all'infinito sulla superficie sferica.
3. I punti complessi possono essere rappresentati su un piano.
4. Se consideriamo la sfera come una compattificazione del piano, ogni punto univoco avrà un punto corrispondente all'infinito.
5. Questo punto all'infinito è chiamato punto di singolarità.
6. Possiamo identificare il comportamento di una funzione olomorfa studiando il suo comportamento intorno a questa singolarità.
7. Una funzione è olomorfa se e solo se è priva di singolarità.

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