Matematica per l'economia - le disequazioni

Disequazioni di 2^o grado

Siano a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 e si consideri

p(x) = ax² + bx + c        (1)

Si ponga Δ = b² - 4ac;

1. Δ > 0   =>   (1) ha due radici reali e distinte

x₁ = ^{-b - √Δ}/_2a ,    x₂ = ^{-b + √Δ}/_2a ;

si ha   x₁ + x₂ = ^-b/_a ,   x₁x₂ = ^c/_a

da cui

ax² + bx + c = ax² + ^b/_a x + ^c/_a =

        = a[left-parenthesis x² - (x₁ + x₂) x + x₁x₂ right-bracket] =

        = a(x - x₁)(x - x₂) ;

x << x₁ => x < x₂ e quindi:

(x - x₁)(x - x₂) > 0;

x >> x₂ => x > x₁ e quindi:

(x - x₁)(x - x₂) > 0;

se invece x₁ << x << x₂, si ha:

(x - x₁)(x - x₂) < 0.

Conclusione:

ax² + bx + c ha il segno di a

∀x ∈ ] -∞, x₁[ ∪ ]x₂, +∞ [

ha segno opposto a quello di a

∀x ∈ ]x₁, x₂[ ;

-2-

6)   (x - 3)² > 0     X₆ = ℝ - {3} ;

7)   x² < 0     X₇ = ∅ ;

8)   3x² - x + 5 > 0     Δ = 1 - 60 < 0

          X₈ = ℝ ;

9)   -7x² + 5x - 1 ≥ 0     =>   7x² - 5x + 1 ≤ 0

Δ = 25 - 28 < 0           X₉ = ∅ ;

10)   3x² + 5 ≥ 0         X₁₀ = ℝ ;

11)   x² - 3 ≥ 0   <=>   x² ≥ 3   ✗ =>   x ≥ ±3

"pìna"                 N.B. !!

        X₁₁= ]-∞, -3] ∪ [3, +∞[ ;

12)   x (x + 1) ≤ 0     (le radici sono 0 e -1)

        ↓         

"spùnia"                  

        X₁₂ = [-1, 0] ;

-5

\(5x^3 - 3x^2 - 7x - 2\)

\(5x^3 + 2x\)

-5x^2 - 7x - 2

-5x^2 - 2x

-5x - 2

-5x - 2

-5x - 2

-5x - 3

\(x + \frac{2}{5}\)

\(5x^2 - 5x - 5\)

(\(\alpha = -\frac{2}{5}\))

\(9(x)\)

Quindi: \(p(x) = (x + \frac{2}{5})(5x^2-5x-5) > 0\) ;

\(x + \frac{2}{5} > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{2}{5}\) ;

\(5x^2 - 5x - 5 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) oppure

\(x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) ;

\(x_n\): \(] \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, -\frac{2}{5} [ \cup ] \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, + \infty [\)

-10-

Oss. N.B.

diseq. fratte

diseq. di grado > 2

sistemi di

diseq.

regola dei segni

tratti pieni comuni

(non regola dei segni)

Oss.   -x²-1 ≤ x-3 ≤ x²+5 è un

sistema.   Verificare che

X_s=]-∞,-2] ∪ [1,+∞[.

Diseq. biquadratiche

1) 4x⁴-17x²+4>0 ;   posto   x²=y,

si ha   4y²-17y+4>0   ove Δ=1⁵,

y_1,2=↗^→4_←1/4

Deve   essere   y<1/4   oppure   y>4,

cioè x²<1/4   oppure   x²>4.

b)

x² - 2|x| - 3 > 0 <=> 2 |x| < x² - 3 <=>

• x² - 3 > 0
• x⁴ - 10x² + 3 > 0

X_s = ] -∞, -3[ ∪ ]3, +∞[

c)

x² - 2|x| - 3 > 0 <=> 2 |x| < x²-3 <=>

• x² - 3 > 0
• 3 - x² < 2x < x² - 3

X_s = ...

d)

Si ponga |x| = y;

x² = 1x² = |x · x| = |x| · |x| = 1x| · 1x| = y²;

sostituendo si ha

y² - 2y - 3 > 0 <=> y < -1 oppure y > 3;

7)

1 - x₀ < √x + 1; poiché 1 - x₀ < 0, la diseq. è vera se x + 1 > 0, quindi:

X₀ = [-1, +∞[ ;

8)

√x - 2 < √x -1 ; si ha il sistema

• x - 2 > 0
• x - 1 > 0
• x - 2 < x - 1

e si trova X₀ = [2, +∞[ .

9)

|2x - √x² + 1| < 1

⇔

-1 < 2x - √x² + 1 < 1 (sistema).

Si ha.

-1 < 2x - √x² + 1 ⇔ √x² + 1 < 2x + 1

• 2x + 1 > 0
• √x² + 1 > 0
• x + 1 ≤ (2x + 1)²

X₁ = [0, +∞[ ;