Matematica per l'economia - le disequazioni

Disequazioni di 2^o grado

Siano a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 e si consideri

p(x) = ax² + bx + c .

(1)

Si ponga Δ = b² - 4ac ;

1. Δ > 0 => (1) ha due radici reali e distinte

x₁ = \(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\), x₂ = \(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) ;

si ha x₁ + x₂ = \(\frac{-b}{a}\), x₁x₂ = \(\frac{c}{a}\)

da cui

ax² + bx + c = a\(\left(x² + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right)\)=

= a\[ x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ \] =

= a (x - x₁)(x - x₂) ;

Disequazioni di 2^o grado

Siano a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 e si consideri

p(x) = ax² + bx + c               (1)

Si ponga Δ = b² - 4ac;

1. Δ > 0 => (1) ha due radici reali e distinte

x₁ =  -b - √Δ ,    x₂ =  -b + √Δ ;

                                                                              2a                                                                                              2a

si ha   x₁ + x₂ = -b  ,     x₁ • x₂ = c

                                                                                                        a

 da cui

a x² + bx + c = a (x² + bx + c)=

                                              a

    = a [ x² - (x₁ + x₂) x + x₁ x₂ ] =

    = a (x - x₁)(x - x₂);

x < x₁ => x < x₂ e quindi:

(x-x₁)(x-x₂) > 0 ;

x > x₂ => x > x₁ e quindi:

(x-x₁)(x-x₂) > 0 ;

se invece x₁ < x < x₂, si ha

(x-x₁)(x-x₂) < 0 .

Conclusione :

ax²+bx+c ha il segno di a∀x∈]−∞,x₁[ ∪ ]x₂,+∞[,ha segno opposto a quello di a∀x∈]x₁,x₂[ ;

2) Δ = 0 => (1) ha due radici reali coincidenti x₁ = x₂ = -^b/_2a =>

a x² + bx + c = a (x - x₁)² ∀ x ∈ ℝ

ove (x - x₁)² > 0 ∀ x ≠ x₁ ;

quindi a x² + bx + c ha il segno di a ∀ x ≠ x₁ ;

3) Δ < 0 => (1) non ha radici reali ; si ha

a x² + bx + c = a (x² + ^b/_a x + ^c/_a + ^b2/_4a² - ^b2/_4a² ) =

= a [ ( x + ^b/_2a )² + ^-Δ/_4a² ]

ove la quantita' in [...] è a>0

∀x∈ℝ, poiché Δ<0;

segue che ax²+bx+c non si annulla mai ed ha il segno di

a ∀x∈ℝ.

Oss.

Nelle applicazioni si puo' sempre

far in modo che sia

a>0

cambiando il segno (e quindi

il verso!!) della disequazione,

se necessario.

-1-

1. -x²-x+1 ≤ 0 ⇒ x²+x-1 ≥ 0

   Δ = 1 + 4 = 5 > 0

   x_1,2 = −1 ± √5 / 2

   X_s = −∞, ( −1 − √5 )/ 2 ] ∪ [ ( −1 + √5 ) / 2 , +∞ [ ;

2. -x²+4x-3 >0 ⇒ x²-4x+3 < 0

   Δ = 16 − 12 = 4 > 0

   x_1,2 = 4 ± 2 / 2 ⇒ 3 1

   X_s = ]1,3[ ;

3. x²+2x+1 = (x+1)² ≥ 0 ⇒ X_s = ℝ\{−1} ;

   se (x+1)² ≥ 0 allora X_s = ℝ ;

4. 25x²+10x+1 = (5x+1)² < 0 ⇒ X_s = ∅ ;

5. x²−2x+1 = (x−1)² ≯≯≯≯≯≯≯≯≯0

   X_s = {1} ;

6) (x-3)² > 0   X_s = ℝ - {3} ;

7) x² ≤ 0   X_s = {0} ;

8) 3x² - x + 5 > 0   Δ=1 - 60 < 0

  X_s = ℝ ;

9) -7x² + 5x -1 ≥ 0 ⇒ 7x² - 5x + 1 < 0

  Δ = 25 - 28 < 0   X_s = ∅ ;

10) 3x² + 5 ≥ 0   X_s = ℝ ;

11) x² - 3 ≥ 0 ⇐⇒ x² ≥ 3 ^✗ ⇒ x ≥ ±3

  X_s = ]-∞, -3] ∪ [3, +∞[ ;

12) x (x+1) ≤ 0 (le radici sono 0 e -1)

  X_s = [-1, 0] ;

-1-

Diseq. razionali intere di grado > 2

Sono del tipo p(x) ≥ 0, ove p(x) è un polinomio di grado > 2.

Si analizzano i seguenti casi:

1. p(x) è scomposto (o è scomponibile) nel prodotto di polinomi di 1^o e 2^o grado;
2. p(x)=ax⁴+bx²+c, a, b, c ε ℝ, a≠0 (diseq. biquadratiche).

Esempi

1. (3x-1)(3x²-9)(x²+1) ≥ 0; (5^o grado)

3x-1 ≥ 0 <=> x ≥ 1/3;

3x²-9 ≥ 0 <=> x ≤ -√3 oppure x ≥ √3;

x²+1 > 0   ∀ x ε ℝ;

2)

(x+4)(x-1)(x-3)²(x-8)< 0

(5^o grado)

x+4 > 0 <=> x > -4;

x-1 > 0 <=> x > 1;

(x-3)² > 0       ∀ x ≠ 3;

(x-8) > 0 <=> x > 8;

-3-

X₃=]−∞,−4[∪]4,3[∪]3,8[.

Def. p₁(x) e p₂(x) polinomi;

p₁(x) divisibile per p₂(x) ⇔

∃q(x) polinomio t.c.

p₁(x) = p₂(x) · q(x) ∀x∈ℝ.

Teorema (Ruffini-Horner)

C.N.S. affinché p(x) sia divisibile per x-a (a∈ℝ) è che risulti:

p(a) = 0 (1)

(i.e., a è una radice di p(x)).

Oss. Se p(x) ha grado m≥2 e se vale (1), esiste q(x) polinomio di grado m−1 t.c.

p(x)=(x−a)·q(x) ∀x∈ℝ.

Oss. Sia

p(x) = a₀ x^m + a₁ x^m-1 + ... + a_m

con

a_i ∈ ℤ ∀i = 0, 1, ..., m .

Si prova che se ∃ α ∈ ℚ t.c. p(α) = 0,

allora

α⁻ = ^h⁄_k ove

• h è divisore di a_m (t.moto)
• k è divisore di a₀ (coeff. di x^m)

Esempio: 5x³ - 3x² - 7x - 2 > 0 (3⁰ grado)

a₃ = -2 con divisori: h   ±1,   ±2

a₀ = 5 con divisori: k   ±1,   ±5

le eventuali radici α ∈ ℚ sono tra

±1,   ±¹⁄₅,   ±2,   ±²⁄₅

Si trova p(-²⁄₅) = 0 => p(x) è divisibile per (x + ²⁄₅) ;

- 5 -

5x³-3x²-7x-2

- 5x³+3x²

-5x²-7x-2

- 5x²-2x

-5x-2

- 5x-2

-5x-3

Quindi: p(x) = (x + ³/₅) (5x²-5x-5) > 0 ;

x + ³/₅ > 0 <=> x > - ³/₅ ;

5x² -5x -5 > 0 <=> x < -^{1 - √5}/₂ oppure

x > ^{1 + √5}/₂ ;

^{1 - √5}/₂ -²/₅ ^{1 + √5}/₂

X__p = ] - ^{1 - √5}/₂ , -²/₅ [ ∪ ] ^{1 + √5}/₂ , + ∞ [ .

Disequazioni razionali fratte

Si risolvono come quelle intere, ma imponendo che il denom. sia ≠ 0.

Es.

(x+1)(3-x)

────────── ≤ 0

(2x-5)(x²+2x+2)

x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 ;

3-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 ;

2x-5 > 0 ⇔ x > 5/2 ;

x²+2x+2 > 0 ∀ x ∈ ℝ { Δ < 0 }

X_e = [-1, 5/2[ ∪ [3, +∞[ .

Sistema di disequazioni:

insieme di 2 o più disequazioni (vincoli).

Risolvere un sistema = determinare l'insieme

X_s = X₁ ∩ X₂ ∩ ... ∩ X_m (m ≥ 2)

ove ∀ i = 1, ..., m

X_i = insieme delle soluzioni della i-esima disequazione.

Oss. Se

∃ i ∈ {1, ..., m} t.c. X_i = ∅,

è ovvio che X_s = ∅,

cioè il sistema non ha soluzioni.

-8.

8.

1. ^3x2-4x+1 ≥ 0

   ^x+1 < 1_4x-1

   x⁴+x ≥ 0

3x²-4x+1 ≥ 0

Δ = 16-12=4

x_1,2 = ^{4 ± 2} = ¹ → ¹..................⁶     _3  4/3

X₁ = ]-∞, 1/3 ] ∪ [1, +∞ ] ;

^x+1 < 1 <=> ^x+1-1 < 0_{4x-1     4x-1}

^x+1-4x+1 < 0..............................................................._4x-1

^2-3x < 0_4x-1

-9-

z - 3x > 0 <=> x < 2/3

4x - 1 > 0 <=> x > 1/4

X₂ = ] -∞, 1/4 [ ∪ ] 2/3, +∞ [

x⁴ + x ≿ 0 <=> x(x³ +1) ≿ 0 <=>

x(x+1)(x²-x+1) ≿ 0 <=> x(x+1) ≿ 0

X₃ = ] -∞, -1 ] ∪ [ 0, +∞ [

X = X₁ ∩ X₂ ∩ X₃ = ] -∞, -1 ] ∪ [ 0, 1/4 [ ∪ [ 1, +∞ [

Oss. _{-10 -}

diseq. fratte

diseq. di grado ^>2

regola dei segni

sistemi di diseg.

tratti pieni comuni: (non regola dei segni)

Oss. _{-x²-1 ≤ x-3 ≤ x²+5} è un sistema. Verificare che _{X3=]-∞,-2] ∪ [1, +∞[}.

Diseq. biquadratiche

1. 4x⁴-17x²+4 > 0 ; posto x²=y, si ha 4y²-17y + 4 > 0 ove _{Δ = 15²},

Deve essere y < 1/4 oppure y > 4, cioè x² < 1/4 oppure x² > 4.

-11-

x² < 1/4 im ]-1/2, 1/2 [,

x² > 4, im ]-∞,-2 [ ∪ ] 2,+∞ [ ;

quindi

X_S = ]-∞,-2 [ ∪ ]-1/2, 1/2 [ ∪ ] 2,+∞ [.

2) x⁴-5x² + 4 ≤ 0 ; si ha

y² - 5y + 4 ≤ 0, Δ = 3², y_1/2 = 1 p 4.

Deve essere 1 ≤ y ≤ 4 ovvero

1 ≤ x² ≤ 4 (sistema). Verificare

che X₂ = ]-2,-1 ] ∪ ]1,2 ].

N.B. !!

x² (x - 1) ≥ 0

x² ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ

x - 1 > 0 x > 1

X₃ = [1,+∞ [ ∪ { 0 } .

-12-

Diseq. con il valore assoluto

X⊂ℝ, f:X→ℝ, l>0; si ha

|f(x)|l ⇔ f(x)l.

1. |x+3|>2 ⇔ x+32 ⇔ x1;

   X₁=]-∞,-5[ ∪ ]1,+∞[.

2. |x²+x-4| 0 ⇔ x > -2

   1 - |x| > 0 ⇔ |x| < 1 ⇔ -1 < x < 1

   (regola dei segni)

   X₅ = ] -∞, -2 ] ∪ ] -1, 1 ].