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per avere 1000 devo investire 909,09
A: 1000/1,083
A= d/1+t -d ... 0,04/1,04
3,08
A consist.
1) Dimostrazione 2 DERIVATE
f(x) = limh→0 f(x+h) - f(x)/h
limh→0 ax+h - ax/h =
limh→0 ax ah - 1/h
ah - 1 ↔ a - 1 . tx
limh→0 ah - 1 / h ↔ limk→0 1/loga (k+1) ↔
a = limh→0 1/k ↔ ak + t
limh→0 loga (k+1) ↔ logae ↔ r
2) f(x)ex ↔ f'(x)
8)
f(x) = ag(x) a > 0
f'(x) = g'(x) ag(x) log a
f(x) = eg(x)
f'(x) = g'(x) eg(x)
Esercizio
f(x) = x2
f'(x) = 2 x x2
f(x) = eg(x)
f'(x) = g'(x) eg(x)
f(x) = ex2 log x - 1
f'(x) = - (3 x2 - 1 / x ) ew log x - 1
f(x) = exp {x2 + x log x} ex2 + x log x
f(x) = ( 2 / 3 x3 + x log x + 1 log xp ) ex2 + x log x
f(x) = { e / 2(3 - x2) x ≤ 1
α ∈ R
{ + α x > 1
Applicare (la def.) di continuità ... se lim dx e lim sx coincidono
lim x → 1 e / 2 ( 3 - x2 ) = e
lim x > 1- e1/x + α = e + α
(quando α > 0 la f(x) è continua !
f(x) = { ex-α x ≤ 1
log x + 1 + β x > 1
α, β ∈ R
lim x → 1- ex- + x = 1 + α
lim x → 1+ log x + t + β ≥ 1 + β
x1 + α / t + β
[ x = β ]
DERIVATE DIFFICILI
f(x) = 1/ex
f'(x) = - 1/2 · e-2x = e-x
f(x) = 2/3x (1 + log(3x)) - log(3x)
(4 + log(3x))x
f(x) = e√logx
f(x) = (xex)x
f'(x) = ex(log(xe)e)
ESERCIZI: ECONOMIA FINANZIARIA
- I: 0 1 2
- r = 10%
- FC: -100 100 100
Valore attuale netto? VAN?
VAN = @i(10%) = 100/1,1 + 100/(1,1)2
= 1 / 1,1n
Ossia
Dato che f(x) e g(x) sono assolutamente infinite si applica
limx->x0 |f(x)| = limx->x0 |g(x)| = +∞
Corollario della LHR
Fiano date f(x) e g(x) definite su (a1, +∞) sono dette (assolutamente) infinite e derivabili con g'(x) ≠ 0 su (a1, +∞)
allora
limx->+∞ f(x)/g(x) = limx->+∞ f'(x)/g'(x)
se e solo se
limx->+∞ f'(x)/g'(x) = L <>
Ossia
Analogo condizionato si ha in (-∞, b) con x -> -∞
Annotazioni
- Dal fatto che non esista (finito o infinito) il limite del quoziente
delle derivate non si può dedurre che non esista il limite del
quoziente delle funzioni.
- Le 2 regole e i rispettavi corollari si possono applicare ripetutamente
nel calcolo di uno stesso limite.
Altre forme indeterminate
non solo ∞/∞ o
0
ma esistono anche 0 ⋅ ∞, ∞^0, ∞ - ∞, 0^0, 1∞
Tuttavia ciascuna di quei casi è riconducibile ad una delle forme
principali e quindi conseguendovisi la regola di del l'Hospital
Corollario 1
limx->x0 f(x)·g(x) = limx->x0 f(x)( 1/g(x))
ES:
f(x) = x2 + x - 2; x ∈ X [-2, 2]
- dom f = ℝ ⇒ X ⊂ dom f
- f continua, X compatto ⇒ Weierstrass ok!
-
Pr critici:
- frontiera X1 = -2, X2 = 2
- stazionari f'(x) = 2x + 1
- f'(x0) = 0 ⇒ x0 = -1⁄2 ∈ X
- non derivabile
-
f(x0), f(-1⁄2) = 1⁄4 - 1 - 2 = -9⁄4
- f(x1), f(-2) = 4 - 2 - 2 = 0
- f(x2), f(2) = 4 + 2 - 2 = 4
- f(x0) < f(x1) < f(x2)
X0 è min ass: x0 = -1⁄2
X2 è max ass: x2 = 2
x è pr di max relativo? Non abbiamo asintoto f(-∞)
- f(x) = xex; x ∈ (0, 2] = X
- dom f = ℝ ⊃ X
- f ∈ C(X) ⇒ Weierstrass ok!
- ∂X - {x1 = 0, x2 = 2}
Teorema: Se in x0 è dom f c'è un flesso e f''(x0) esiste → allora f''(x0) = 0 {non è necessario ma sufficiente}
Es: f(x) = x4 + x3 (x4 + x3) f''(x) = 12x2
f''(x) = 12x = 0 → x = 0
Studiare segno della derivata 2a per il pr di flessi.
Es: f(x) = x3 - 3x2 + x + 5
f'(x) = 3x2 - 4x + 1
f''(x) = 6x - 4 ≥ 0 → x ≥ 2/3
Se f''(x) = 6x - 4 = 0 → x = 2/3
- ∀ x ≥ 2/3 f''(x) ≥ 0 f'(x) crescente f(x) convessa
- ∀ x < 2/3 f''(x) < 0 f'(x) decrescente f(x) concava
j(x) = j(x0) + j'(x0)(x-x0) + 1/2j''(x0)(x-x0)2 + o((x-x0)2)
= log(α + βx0)(λ - λ0) - β2/2(α + βx0)(λ - λ0)2 + o(( λ - λ0)2)
Rimaniamo x0 = 0 ottenendo lo sviluppo di Maclaurin
j(x) = log(x) = x - x2/2 + o(x2)
aula 2
log(1 + 2x) , 2x - x2 + o(x2) : k = 2
log(1 + x) = x + o(x) : n = 1
aula il limite diventa:
limy→0 2x - log(1 + 2x) / (log(1 + x))2 - limx→0 2x - (2x - 2x2) / x2 = 2
Suggerimenti (= Massimi e Minimi)
Condizione Sufficiente per =
Teorema: Sia x0 ∈ int dom f. s.c f(x0) = 0,
f''(x0) = 0, . . (n−1)(x0) = 0 ma
f(n)(x0) ≠ 0 allora
- Se n pari e f(n)(x0) < 0 ⇒ x0 è p.to max rel.
- Se n pari e f(n)(x0) > 0 ⇒ x0 è p.to min. relativo
- Se n dispari x0 non è né max né min
Regole: Per determinare max e min
Data f : A ⊂ R → R
n-volte derivabile in I ⊂ A:
1) Inicializamos f(x) = 0 ed individuiamo con x* una loro soluzione, f(x*) = 0
2) Calcoliamo le derivate successive e valutiamole in x* finchè non netroviamo una che non si annulla:
f(k)(x*) ≠ 0 ; k ≤ n
- Se k pari, f(k)(x*) < 0 ⇒ x* max relativo
- Se k pari, f(k)(x*) > 0 ⇒ x* min relativo
- Se k dispari, f(k)(x*) non vale perché non è né max né min ma flesso!
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