Matematica per l'azienda (3° parte)

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Appunti di Matematica per l'azienda, terza parte, basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa Uberti dell’università degli Studi di Torino - Unito, …

Esame Matematica per l'azienda

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Uberti Mariacristina

Università Università degli studi di Torino

A.A. 2015-2016

98 pagine

Appunto

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Estratto del documento

s₉₀₉ s₁₀₀₀

per avere 1000 devo investire 909,09

s=1000 d=2%

t=3 A?

A= ^s/_1+it i=^d/_1+d=^0,04/_1,04=0,0384

A= ¹⁰⁰⁰/_1,0384³=1,0924

1) Dimostrazione

DERIVATE

a>0

f(x)=lim_h→0^f(x+h)-f(x)/_h

lim_h→0^{a^x+h-a^x}/_h=lim_h→0^{a^xa^h-a^x}/_h

→lim_h→0^{a^x(a^h-1)}/_h=a^xlim_h→0^{a^h-1}/_h

a^h=k+1⇔a^h-1=k

h→0⇒k→0

a^hlim_h→0^{a^h-1}/_h=a^xlim_k→0^k/_{log_a(k+1)}

=a^xlim_k→0¹/_klog_a(k+1)

=a^x^log_a(k+1)/_k

=a^x^{log_a(k+1)^1/k}

ma k→1/n

quando k→0⇔h→∞

=a^x^{lim_n→∞(1+1/n)ⁿ}=a^h/^{log_a e}

a^x⋅1/log_a e=a^x^{log_a e}/log_a e

=a^xlog_a

a^xln a

2) f(x)e^x

→f(x)ln

909 S 1.000

per avere 1.000 devo investire 909,09

S = 1.000 d = ?/ t = 3 A?

A = 5

4 + 0,04

d = d =

1 + dt 1 + dt 0,04 3,08

1,04 1,024

A = 1.000 1.000

4 + 0,0808 * 3 1,024

1) Dimostrazione

Derivate

a > 0

f(x) = lim _h⁰ (f(x + h) - f(x))

lim _h⁰ a^x+h - a^x = lim _h⁰ a^x(a^h - 1) = a^x lim _h⁰ a^h - 1

a^z = k + 1 ↔ a^-1 = k

h → 0 ↔ k → 0

a^x lim _h⁰ a^h-1 = a^x lim _k⁰ 1/_k log_a (k + 1)

a^x a^x ma k = 1/n

lim _k⁰ log_a (k + 1) lim _k⁰ log_a(k+1)^1/k quando k l ∞

a^x

log_a lim m →∝ (1 + 1/n)

aⁿ aⁿ

a^x 1/log_ae=z = a^x log_aq

= a ^xx log q

2) f(x)e^x → F(x)+

Esercizio:

f(x) = e^x²

f '(x) = 2x e^x²
f(x) = e^g(x)

f '(x) = g'(x) e^g(x)
f(x) = e^x³·logx·t

f '(x) = (3x² - 1/x) e^x²·logx-t
f(x) = exp{ √x² + x·log x }

f '(x) = 2/3 x³ + log x + x

x ∈ ℝ

(Es. da esame)

x quali valori di x la fun è continua?

Applicare (la def.) di continuità ... Se lim dx e lim sx coincidono.

lim x → 1 - e/2 (3-x²) = e

quindi α → la fun è continua!

quando α → la fun è continua!

f(x) = { e^{x^-1 - α} x ≤ 1

log x^{1 + β} x > 1

α, β ∈ ℝ

x + α = x + β

^x+α/_x+β

x=β

f(x) = { αx + β x ≤ 1

αx + 1 x > 1

α, β ∈ ℝ

lim x → 1⁻ αx + β = α + β

lim x → 1⁺ x² + 1 = αx + 1

αβ = x + 1 → β = 1

f(x) = { αx + 5 x < 0

x² + 5 x ≥ 0

α ∈ ℝ

lim x → 0⁻ αx + 5 = 5

lim x → 0⁺ x² + 5 = 5

∀x ∈ ℝ

f(x) = { eˣ⁻¹ + α(x - 1) x < 1

(x - 1)² - 3(x - 1) x ≥ 1

lim x → 1⁻ eˣ⁻¹ + α(x - 1) = 1

lim x → 1⁺ (x - 1)² - 3(x - 1) = 0

∄ α ∈ ℝ

f(x) = { (x + α)² - 1 x < 0

log(1 + x) x ≥ 0

α ∈ ℝ

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