Es 1:
Trovare i max e min globali di una funzione continua definita in [2,4] chiuso e limitato.
[Teorema di Weierstrass = ∃ M, m globali]
Ricerca dei punti di max o min globali: [2,4] chiuso e limitato
- Cerco i punti stazionari (interni) dove f è derivabile e calcolo i valori assunti da f in tali punti (T. di Fermat)
- Cerco i punti interni di non derivabilità e calcolo i valori di f in tali punti
- Calcolo i valori di f in a e b
→ Confronto i valori di f in 1, 2 e 3
- max valore maggiore ↑
- min valore minore ↓
Esempio:
f(x) = |x| in [-1,2]
min = 0
max = 2
f(-1,2) f x≠0
f(x) x=1
f' (x)
- 2. Pti di non derivabilità: x=0
- 3. a=-1; b=2
- f(0) = |0| = 0 → min globale
- f(-1) = |-1| = 1
- f(2) = |2| = 2 → max globale
Es 1
f(x) = |log(x+2)| in (-1,+∞)
sup limitato
Es 1: Trovare i max e min globali di una funzione continua definita in [3,4], chiuso e limitato
- (Teorema di Weierstrass - ∃ M m globali)
- Ricerca dei punti di max e min globali in [3,4], chiuso e limitato
- Cerco i punti stazionari (interni) dove f è derivabile e calcolo i valori assunti da f in tali punti (T. di Fermat)
- Cerco i punti interni di non derivabilità e calcolo i valori di f in tali punti
- Calcolo i valori di f in a e b
- Confronto i valori di f in 1, 2 e 3
max ↑ valore maggioremin ↓ minore
Es:
f(x) = |x| in [-1,2]
min = 0max = 2
- f(-1,2) ⇒ f ≠ 0
- {-1 (1,0)}
- {+1 (0,2)}
- {f'(x)/≠0}
- Pti di non derivabilità x=0
- a=-1 b=2
- |f(0)| = |0|=0 → min globale
- |f(-1)| = |-1|=1
- |f(2)| = |2|=2 → max globale
Es 1
f(x) = | log(x+1) | in (-1,+∞)
sup limitato
Es. esame:
f(x) = x2 + x - 1 [-1, 1]
d(0) = -1 min glob
d(-1) = -1
d(1) = 1 max glob
f(x) = 2x + 1
f'(x) = 0 x = -1/2 ∈ (-1, 1)
per massimo/minimo -> f(-1/2) = -5/4
x = -1/2 min globale
x = 1 max globale
min = -5/4
max = 1
Teorema di Rolle (non si studia oggi)
f: [a,b] → ℝ
a,b ∈ ℝ
- f ∈ C([a,b])
- f derivabile in (a,b)
- f(a) = f(b)
⇒ ∃c ∈ (a,b): f'(c) = 0
orizzontale al grafico delle funzioni
Se qualche ipotesi non è soddisfatta...
- no ; disc a, b
- sì → f continua in (a,b)
- sì d(a) ≠ d(b)
la f(x) è cmq f/o nei pt (a,b)
Teorema di Lagrange
(valore medio o dell'incremento finito)
- f ∈ C ([a,b]) ab ∈ R
- f sia derivabile in (a,b)
⇒ ∃ c ∈ (a,b)
f(b) - f(a)/b - a = f'(c)
coeff angolare retta tg retta secante
- f(K) costante [a,b]
- f(x) = k ⇒ f'(x) = ?
- ∫ cost ≤⇒ f'(x) = 0
- f'(x) = ġ(x) ⇒ f(x) = g(x)
Conclusione
- f ∈ C ([a,b])
- f derivabile
- f'(x) = 0 ∀x ∈ (a,b)
⇒ f(x) è costante in (a,b)
1. f(x) = g(x) → ∃ k ∈ ℝ
f(x) = g(x) + k ∀ x ∈ [a,b]
2. f(x) = g(x)
ε assumono b bregio valore
f(p) = g(p) , p ∈ [a,b]
f(λ) = g(λ)
∀ x ∈ [a,b]
Definizione
F: [a,b] → ℝ derivabile
F'(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]
F è una primitiva di f
Oss.ne Omissis dal definizione precedente il fatto che 2 primitive di f in [a,b] differiscono x una costante.
Teorema (c.s per la derivabilità)
1. f definita e continua in I(p)
2. f derivabile in ogni pr x ∈ I(p) , x ≠ p
3. f finito lim
lim x → p f(x)
→ 1. f è derivabile in p
2. f'(x) = lim
x → p f(x)
Oss. ne se
lim x → p f(x) finito non esclude l'esistenza della derivata in p.
Differenziabilità
f: A → R
p ∈ A
p ∈ Df A
γ - f(p) = mt(x-p)
γ = f(p) + mt(x-p)
f = funzione - retta - errore
λ sia il più piccolo possibile
differenza delle immagini
f(x) - [f(p) + m(x-p)] = errore
f(x) = f(p) + m(x-p) + errore
limx→p, x→p errore = 0
errore = o(x-p) per x→p
f: A → R
f è differenziabile in p
te esiste un numero reale m = m(p) tale che
f(x) - [f(p) + m (x-p) + θ(x-p)]
↳ differenziale piano della funzione
Teorema
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