Max e min globali di una funzione continua
Trovare i massimi e minimi globali
Es 1: Trovare i max e min globali di una funzione continua definita in [2,4] chiuso e limitato. Secondo il teorema di Weierstrass, esistono M, m globali.
Ricerca dei punti di max o min globali: [2,4] chiuso e limitato
- Cerco i punti stazionari (interni) dove f è derivabile e calcolo i valori assunti da f in tali punti (T. di Fermat).
- Cerco i punti interni di non derivabilità e calcolo i valori di f in tali punti.
- Calcolo i valori di f in a e b.
Confronto i valori di f in 1, 2 e 3. Il max è il valore maggiore, il min è il valore minore.
Esempio 1
f(x) = |x| in [-1,2]
min = 0
max = 2
Calcoli:
- f(-1,2) implica f ≠ 0
- Punti di non derivabilità: x=0
- a=-1; b=2
f(0) = |0| = 0 → min globale
f(-1) = |-1| = 1
f(2) = |2| = 2 → max globale
Esempio 2
f(x) = |log(x+2)| in (-1,+∞) è sup limitato
Esercizio 1
Es 1: Trovare i max e min globali di una funzione continua definita in [3,4], chiuso e limitato (Teorema di Weierstrass - esistono M, m globali).
- Cerco i punti stazionari (interni) dove f è derivabile e calcolo i valori assunti da f in tali punti (T. di Fermat).
- Cerco i punti interni di non derivabilità e calcolo i valori di f in tali punti.
- Calcolo i valori di f in a e b.
Confronto i valori di f in 1, 2 e 3. Il max è il valore maggiore, il min è il valore minore.
Esempio
f(x) = |x| in [-1,2]
min = 0
max = 2
- f(-1,2) ⇒ f ≠ 0
Derivata:
- f'(x) = {-1 se x ∈ (1,0)}
- {+1 se x ∈ (0,2)}
Punti stazionari
- Punti di non derivabilità x=0
- a=-1, b=2
|f(0)| = |0|=0 → min globale
|f(-1)| = |-1|=1
|f(2)| = |2|=2 → max globale
Esercizio esame
f(x) = x2 + x - 1 in [-1, 1]
d(0) = -1 min globale
d(-1) = -1
d(1) = 1 max globale
f(x) = 2x + 1
f'(x) = 0
x = -1/2 ∈ (-1, 1) per massimo/minimo → f(-1/2) = -5/4
x = -1/2 min globale
x = 1 max globale
min = -5/4
max = 1
Teorema di Rolle
f: [a,b] → ℝ
a,b ∈ ℝ
- f ∈ C([a,b])
- f derivabile in (a,b)
- f(a) = f(b)
⇒ ∃c ∈ (a,b): f'(c) = 0
orizzontale al grafico delle funzioni
Se qualche ipotesi non è soddisfatta...
- no; discussione a, b
- sì → f continua in (a,b)
- sì d(a) ≠ d(b)
f(x) è comunque f/o nei pt (a,b)
Teorema di Lagrange (valore medio o dell'incremento finito)
- f ∈ C([a,b])
- a,b ∈ R
- f sia derivabile in (a,b)
⇒ ∃ c ∈ (a,b) f(b) - f(a)/b - a = f'(c) coefficiente angolare retta tg retta secante
f(K) costante [a,b]
f(x) = k ⇒ f'(x) = ?
∫ cost ≤ ⇒ f'(x) = 0
f'(x) = ϑ(x) ⇒ f(x) = g(x)
Conclusione
f ∈ C([a,b])
f derivabile
f'(x) = 0 ∀x ∈ (a,b)
⇒ f(x) è costante in (a,b)
- f(x) = g(x) ⇒ ∃ k ∈ ℝ f(x) = g(x) + k ∀ x ∈ [a,b]
- f(x) = g(x) ε assumono b brevio valore f(p) = g(p), p ∈ [a,b] f(λ) = g(λ) ∀ x ∈ [a,b]
Definizione
F: [a,b] → ℝ derivabile
F'(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]
F è una primitiva di f
Oss.ne: Omissis dal definizione precedente il fatto che 2 primitive di f in [a,b] differiscono per una costante.
Teorema (c.s per la derivabilità)
- f definita e continua in I(p)
- f derivabile in ogni pr x ∈ I(p), x ≠ p
- f finito lim lim x → p f(x)
⇒
- f è derivabile in p
- f'(x) = lim x → p f(x)
Oss. ne se lim x → p f(x) finito non esclude l'esistenza della derivata in p.
Differenziabilità
f: A → Rp ∈ Ap ∈ Df A γ - f(p) = mt(x-p) γ = f(p) + mt(x-p) f = funzione - retta - errore
λ s ia il più piccolo possibile differenza delle immagini f(x) - [f(p) + m(x-p)] = errore f(x) = f(p) + m(x-p) + errore
limx→p, x→p errore = 0 errore = o(x-p) per x→p f: A → R f è differenziabile in p te esiste un numero reale m = m(p) tale che f(x) - [f(p) + m (x-p) + θ(x-p)] ↔ differenziale piano della funzione
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
