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MATEMATICA
leione Venerdi 1 ottobre → vd 1 cap libro. "Marica x l'economia".
NO: calcolo combinatorio. B: p. 24-28.
- → Applicando Pitagora:
- d2 = 12 + 12
- d2 decado e Pitagorica bisogna
- introdurre un nuovo simbolo.
√2 ∉ Q
(leggere pag 6)
dove √2 = m/n rapporto di numeri razionali → è assurdo!
√2 è IRRAZIONALE!
Insieme n° reale:
Proprietà numeri reali:
- Proprietà di completezza
Proprietà di densità dell'insieme dei numeri Q (razionali) in R = per ogni coppia a, b appartenenti a R, con a < b, esiste un numero razionale (tale che) compreso tra a e b (tra a e b).
∀ a, b ∈ R con a < b {∃ q ∈ Q / a < q < b}
- (Tra 2 numeri 1 & 2 trovo sempre dei numeri 1.3,1.9,1.』)
- I numeri razionali possono essere approssimanti quanto si vuole con i numeri razionali.
- A = {a, b, c, d...}
- {proprietà}
INSIEMI
- FINITO (che termina)
- INFINITO (che prosegue all'infinito)
- Non sono unit voglia è hanno la parola del confino, ma le caratteristiche sono
A
B
C
- Es: A = {1, 2, 3, 4}
- B = {1, 2, 3, 1, 7, 9}
Def: A è un sottoinsieme di B (perché contiene pure degli elementi di B) L se ogni elem. di A ∈ B
inclusione (C) A ⊂ B
A = B => A ⊂ B e B ≠ A
Φ (insieme vuoto) = { }
ES
A = Rα = R
β = R
A x B = R x R = R2 = {(x,y) : x ∈ R, y ∈ R}
1 (1,3)
y
0
x
R
=> piano cartesiano ortogonale (perché le rette sono perpendicolari)
„ „ „ „ „ monometrico (se scelgo la stessa unità di misura)
|√2| = |x|
x ∈ R
Medicofico aritmetico
x ≥ 0
- x x < 0
ES : √(-5)2 = |-5| = -(-5) = 5
√(7)2 = |7| = 7
|x - 1| = {
- x - 1 per x - 1 ≥ 0 x ≥ 1
- x + 1 per x - 1 < 0 x < 1
il positivo perché x < 1
√x2 non è = ±x perché è una radice aritmetica e non algebrica
perché non siamo in un'equazione.
TEOREMA RELATIVO ALLA RADICE QUADRATA
per ogni numero reale a : a ≥ 0
∃ esiste un unico numero reale c, c > 0 tale che
c2 = a
possiamo c = √a a1/2
b(radice quadra aritmetica di a)
∀x∈R
-∞<α+±∞
±∞<±∞
- [α, +∞) = {x∈R : x ≥ a}
- (α, +∞) = {x∈R: x>α}
- (-∞, α) = {x∈R : x<α}
- (-∞, α] = {x∈R : x≤α}
Iα (-∞) = (-∞, a]
Es: TUTTI I CAVALLI SONO BIANCHI
Come posso negarlo?
Non è vero che tutti i cavalli sono bianchi perché esiste almeno un cavallo che non è bianco!
- tutti ∀ → esiste ∃
- bianco → non bianco
Se A e B sono chiusi → A∩B chiuso (aperto)
Se A e B sono aperti → A∪B chiuso (aperto)
A∩B chiuso (aperto)
Punti di accumulazione
p è un punto di accumulazione di A se in ogni intorno di p esistono pti dell'insieme A diversi dal pt p
⇔ ∀ I(p) ∃ pt ∈A , x ∈I(p) , x ≠p
(non è richiesto che il pt p appartenga ad A)
∈ ( -1,5 ]
Tutti i pti tra -1 e 5 sono pti di accumulazione, compreso 5 e -1.
∀ I(p) ∃ x ∈ A , x ∈ I(p) , x ≠p
D = [-1,5]
derivato di A → pti di accum
Es:
( -3 , 1 ] ∪ { 4 }
Pti interni?
( 3,1 )
Pti esterni?
( -∞,-3 ) ∪ ( 1,4 ) ∪ ( 4 , +∞ )
Pti di frontiera? [ -3 , 1 , 4 ] Pti di accumulo ? [ -3 , 1 ]
Come faccio a individuare il dominio di una funzione? (pag 46)
Y = A/X
R \ {0}
(x, 1/x)
Iperbole Equilatera
Il dominio naturale: È il più ampio sottoinsieme di R nel quale sono definite le operazioni indicate da f(x).
(pag 38)
SUCCESSIONE
È una funzione definita in N
f | N → R
n → f(n) = an
- EBI
- CALCOLO IRPEF
- REDDITO PER SCAGLIONI
- ALIQUOTA
- Fino a 15.000
- 23
- oltre a 15.000 e fino 28.000
- 29
- 28.000 fino a 55.000
- 31
- oltre 55.000 fino 75.000
- 37
- oltre 75.000
- 43
- IMPOSTA DOVUTA
- 23% su intero importo
- 3.450€ + 29% parte eccedente 15.000
- 6.510 + 31% parte eccedente 28.000
- 17.330 + 37% parte eccedente 55.000
- 25.420 + 43% parte eccedente 75.000
f(x) = x3
Simmetria rispetto l'origine del sistema di riferimento.
Basterà studiare x>0
f(-x) = (-x)3 = -x = -f(x)
f(x) = f(-x)
∀x ∈ A ⊂ ℜ
dominio della funzione sottoinsieme di ℜ
En:
- y(x)
- |f(x)|
- |y(x)| = |f(x)| & y(x) ≥ 0
- -|f(x)| & y(x) < 0
y = ƒ(x)
A
R
A
f(A)
∀ y ∈ ƒ(A)
g = funzione inversa
g · ƒ⁻¹
≠
1/(dƒ)
[d(ƒ)]⁻¹
Grafico: (x, y) ∈ Gƒ ⇔ (y, x) ∈ Gƒ⁻¹
Il grafico dƒ e dƒ⁻¹
è assi simmetrico rispetto y = x
tes.
se lo metto sopra faccio il giro di 90°
x1 < x2
∫ f(x1) ≤ ∫ f(x2)
Esempio 1:
Funzioni limitate
(x ≠ 0)
(-∞,0) ∪ (0,∞)
Per vedere se un insieme è limitato o meno bisogna scrivere l'insieme delle immagini
Esempio 2:
x2
(0,+∞)
È inferiormente limitato ma non superiormente.
Esempio 3:
(0,4]
È inferiormente limitata ma non superiormente.
1/4 è anche un punto di minimo.
Estremo globale massimo
∀x ∈ A → ƒ(x) ≤ ƒ(p)
x ≠ p
Massimo locale
p punto massimo locale x
∃ I(p) ∀x ∈ I(p) → ƒ(x) ≤ ƒ(p)
ƒ(x) ≤ ƒ(p) x ≠ p
Minimo locale
∃ I(p) ∀x ∈ I(p) → ƒ(x) ≥ ƒ(p)
ƒ(x) ≥ ƒ(p) x ≠ p
Es:
max globale
min globale
max locale
min locale
Teorema:
d : A → ℝ, p: punti di accumulazione di A
∃ limx→p f(x) ∈ ℝ ↔ limx→p⁻ f(x) = limx→p⁺ f(x) = L
Corollario:
limx→p⁻ f(x) = L₁ ≠ limx→p⁺ f(x) = L₂
⇒ f(x) non ha limite per x → p
Definizione di infinito per x→p:
∃ una funzione f(x)
limx→p f(x) = +∞ ( -∞ )
f(x) → +∞per x→p
Infinitesimo: x→p
∃ una funzione f(x)
limx→p f(x) = 0
f(x) → 0x→p
Esempi:
- f(x) = (x - 3)²
- È un infinitesimo per x → 3
- limx→3 f(x) = 0
- f(x) → 0x → 3
- È un infinito per x → +∞per x → -∞
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