Lezione di matematica - venerdì 1 ottobre
Proprietà dei numeri reali
Applicando Pitagora: d2 = 12 + 12
d2 = 1 + 1 = 2 (leggere pag 6) dove √2 = m/n rapporto di numeri razionali → è assurdo! √2 è irrazionale!
Proprietà numeri reali. Proprietà di completezza di R (vd ultima parte pag 29).
Numeri razionali e irrazionali
Ad ogni numero posso associare un punto sulla retta? Sì.
Per ogni punto posso trovare corrispondente un numero degli insiemi? Sì.
Applicando Pitagora, d2 = x2 + x2
d2 = 1 + 1 = 2.
Secondo Pitagora bisognava introdurre un nuovo simbolo. √2 ∉ Q dove √2 = m/n rapporto di numeri razionali ⇒ è assurdo! → √2 è irrazionale!
Insiemi numerici
L'insieme dei numeri reali è irrazionale, il che significa che non esprime oltre la virgola.
Proprietà di densità dell'insieme dei numeri Q (razionali) in R = per ogni coppia a, b appartenenti a R, a < b, esiste un numero razionale compreso tra a e b (sia a < q < b).
∀ a, b ∈ R, a < b, ∃ q ∈ Q / a < q < b.
- Tra 2 numeri 1 e 2 trovo sempre dei numeri 1,01 / 1,001.
- I numeri razionali possono essere approssimati quanto si vuole con i numeri razionali.
Definizioni di insiemi
- A = {a, b, c, d...}{proprietà}
Insieme finito (che termina). Insieme infinito (che prosegue all'infinito).
Non sono infiniti perché hanno la proprietà del confine, ma le caratteristiche sono ∅.
ES: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 1, 7, 9}
Def: A è un sottoinsieme di B (perché contiene parte degli elementi di A ⊆ B) (se ogni elem. di A ∈ B).
Inclusione ⊆ A ⊆ B, A = B → A ⊆ B e B ⊆ A.
ϕ (insieme vuoto) = { }
A e B sono disgiunti quando non hanno elementi in comune. A ∩ B = ∅
Insieme complementare Ac.
Esempi di insiemi
U = { studenti iscritti alla facoltà Economia Univ. Torino }
A = { stud. iscritti alla facoltà econ. o T iscritti cons. comm. internaz. }
A ⊆ U
Ac → sono tutti gli iscritti all'Univ. To tranne quelli del comm. internaz.
Insieme differenza A \ B ≠ B \ A (A meno B): tutti gli elementi di A che non ∈ a B.
ES A { 1, 3, 4 }, B { 3, 5 }
A \ B = { 1, 4 }
Esercizio
- 300 famiglie
- 140 hanno un automobile
- 70 " solo cellulare
- 110 " auto + cell
- 30 solo auto
- 90 né auto né cell!
Proprietà degli insiemi
- Proprietà commutativa: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
- Proprietà associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
- Proprietà dissociativa: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
- A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.
Leggi di De Morgan
- (A ∪ B)C = AC ∩ BC
- (A ∩ B)C = AC ∪ BC
Insieme delle parti
Insieme delle parti P(A):
insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di A.
es: A = {1, 2, 3}
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Prodotto cartesiano
A = {1, 2, 3}, B = {x, y}
A × B = {copie ordinate in cui il 1° elem. di una coppia ∈ A, il 2° elem ∈ B}
A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
Radici e potenze
0 → ∃ ! c ∈ ℜ, c ≥ 0 / |cn = a| n ∈ ℕ
c = a1/n (inversa) (radice n-ma aritmetica di a)
∎ τ2 = 1, τ ∈ ℜ, t = 1 ∨ t = -1
Radici algebriche
Risultanze di equazioni algebriche: soluzione
RADICI ALGEBRICHE = sono le soluzioni di un'equazione algebrica.
Il legame tra radici algebriche e aritmiche? Le soluzioni
RADICI ALGEBRICHE = ± RADICE ARITMETICHE
√x = x1/2 se x > 0
ⁿ√am = (an)1/k = am/k a > 0 se l'esponente è reale
√-3 = non esiste.
Radici con esponenti dispari: x ³√-2 = -³√2
x 36 3-2 = 34
(32)7 = 3-14
∎
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
Appunto