Parte 6, Analisi matematica I

Definizione di limite

lim a = a ∣ ∣ ε ε : a ε , ∀ n > γ ∀ > 0, ∃ > 0, ∃ γ − a < n ↔ nn → +∞

Una definizione analoga di limite è la seguente:
lim a = a ∣ ∣ : ∀ ε > 0, γ : a per ε ∃ c > 0 ∃ − a < c∗ε ∀ > γ n ↔ nn → +∞

Teorema di unicità del limite

• Se una successione converge ad un limite a, a è unico e si dimostra per assurdo:

Supponiamo che a abbia due limiti diversi a e b ovvero:
nlim a lim a = a = b n ne con a ≠ bn → +∞ n → +∞ a − b ∣ ∣

In tal caso se prendo > 0 per la definizione di limite ottengo:
2lim a = a ∣ ∣ 0, ∃ γ : a , ∀ n > γ ∃ ε > − a < ε n • ↔ 1 n 1n → +∞
lim a = b ∣ ∣ 0, ∃ γ : a ε , ∀ n > γ ∃ ε > − a < n • ↔ 2 n 2n → +∞ a − b ∣ ∣

Si può scegliere = > 0 e se scegliamo inoltre il più grande tra i due indici γ e γ per 2 1 2, γ , γ { } esempio γ = max 1 2

Per n > γ le due disuguaglianze scritte precedentemente valgono contemporaneamente. Si ha:
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a − b a − a a a − a a ≤ a − a a ( ) ( ) = + − b = + − b + − b = ¿ n n n n n n a − b ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a − a a ε → 2 ε = 2 a − b per γ ∣ ∣ + − b < +ε = ∀ n > n n 2

Leggendo attentamente la sequenza precedente ho dimostrato l’assurdo ovvero:
a − b a − b → assurdo ∣ ∣ ∣ ∣ <

In conclusione una successione convergente ha un solo limite.

Esempio

1, −1, 1, … . { } (−1 ) −1, n La successione a_n

Non ha limite perché i termini di n dispari tendono a -1 mentre quelli di n pari tendono a +1.

Definizione

Si dice che una successione a tende a +∞ e si scrive:
nlim a = +∞
M : a M per γ ∀ > 0, ∃ γ > ∀ n > n ↔ nn → +∞

Verifichiamo utilizzando la definizione di limite +∞ che
2lim n = +∞ n → +∞

Deve essere a > M_n Scelgo il minimo indice γ = √M Per n > γ

Definizione

Si dice che una successione a tende a -∞ e si scrive:
nlim a = −∞
M : a