Parte 6, Analisi matematica I

Teorema della permanenza del segno

1. lim a =a

n

Sia una successione a tale che con a > 0

n →∞

n a per γ

>0 ∀n>

Esiste un minimo indice γ tale che n

lim a =a ∣ ∣

ε γ : a , γ

∀ >0,∃ −a <ε ∀n>

n

Infatti ↔ cioè che:

n

n →+∞

a ε e ancora →a−ε a a+ε

∣ ∣ ∣ ∣

−ε < −a < < <

n n

ɛ

a - a a +ɛ a

ε 0

= >

Essendo per ipotesi a > 0 si può scegliere 2

a

ε =

Sostituendo nella doppia disuguaglianza ottengo:

2

a a

a− a

< <a+

n

2 2 a a

a cioè a

< >

Dalla disuguaglianza di sinistra ottengo che è un numero positivo quindi

n n

2 2

a per n> γ

>0

n

Da questo teorema discendono 2 corollari

• 1° Corollario

lim a e a ≥ 0 per qualunque n anche il limite a≥ 0

=a

n n

Se il n →+∞

Non è esattamente il teorema inverso di quello della permanenza del segno.

• 2° Corollario lim a e lim b

=a =b

n n

Siano a e b due successioni convergenti, cioè sia n →+∞ n →+∞

n n

Se a > b per ogni n allora a ≤ b

n n

Teorema dei carabinieri

2. Se a e b sono due successioni che tendono allo stesso limite, ovvero

n n

lim a e lim b

=l =l

n n

n →+∞ n →+∞ a ≤ c ≤ b

Sia c una terza successione tale che per ogni n allora anche il

n n n

n

lim c =l

n

n →+∞ lim a =l ε γ :l−ε ε per γ

∀ >0,∃ <a <l+ ∀n>

n

Infatti ↔ 1 n 1

n →+∞

lim b =l ε γ :l−ε ε per γ

∀ >0,∃ <b <l + ∀n>

n ↔ 2 n 2

n →+∞ γ : max γ , γ

{ }

Se γ è il più grande dei due indici γ e γ ovvero allora per n > γ le

1 2

1 2

disuguaglianze precedenti valgono contemporaneamente e dunque considerando

a ≤ c ≤ b l−ε< a ≤ c ≤ b per γ

<l+ε ∀n>

Allora

n n n n n n