Matematica - le equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado

Un'equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioè c'è un termine con x^2. A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in:

Introduzione

Si supponga di dover trovare quel numero il cui quadrato sommato al suo doppio sia uguale a 63. Indicato con x il numero cercato, il problema ci conduce a trovare la radice dell'equazione x^2 + 2x = 63. Poiché l'incognita compare con esponente massimo uguale a 2, si tratta di risolvere un'equazione di secondo grado. Applicando le proprietà delle equazioni è sempre possibile ricondurre un'equazione di secondo grado nella cosiddetta forma normale Ax^2 + Bx + C = 0.

Casi particolari

Poiché il termine di secondo grado deve essere presente A non può annullarsi, quindi possono presentarsi i seguenti casi: B = 0 e...C=0 equazione monomia C=0 equazione spuria B=0 equazione pura Equazione monomia L'equazione ha la forma Ax^2=0 Pertanto x^2=0/A cioè x=0, di conseguenza un'equazione monomia ha una radice nulla Equazione spuria L'equazione ha la forma Ax^2+Bx=0 Posto x in evidenza si ottiene x(Ax+B)=0 essendo un prodotto uguale a zero allora, per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è zero, cioè si ha x=0 o Ax+B=0. Si è ricondotta l'equazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo grado, di cui una ha soluzione nulla. L'altra soluzione è x=-B/A. In questo caso abbiamo un'equazione con due soluzioni sicuramente distinte Equazione pura L'equazione ha la forma Ax^2+C=0 L'equazione si può scrivere nella forma Ax^2=-C Pertanto x^2=-C/A. Il primo membro è positivo poiché è un quadrato, allora deve esserlo anche il secondo membro. Se A e C sono concordi il secondo membro è negativo in quanto la radice quadrata di un numero negativo non è definita.frazione è preceduta dal segno meno, di conseguenza non si hanno radici reali essendo il primo membro positivo. Se invece A e C sono discordi si hanno due radici reali opposte che si ottengono. Se C=0 si può porre in evidenza si ottiene x(Ax+B)=0 essendo un prodotto uguale a zero allora, per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è zero, cioè si ha x=0 o Ax+B=0. Si è ricondotta l'equazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo, di cui una ha soluzione nulla. L'altra soluzione è x=-B/A. In questo abbiamo una equazione con due soluzioni sicuramente distinte. Torna su -------------------------------------- ...Equazione completa Se B e C sono diversi da zero l'equazione si dice completa, per risolverla occorre applicare la seguente formula risolutiva che si può riassumere nella forma: Il radicando b^2 - 4ac della radice quadrata si chiama discriminante dell'equazione. Poiché ilradicando di una radice quadrata è un numero reale se non è negativo, ne consegue che l'equazione ha radici reali se il discriminante è positivo o nullo, diversamente le radici sono immaginarie. Torna su -------------------------------------- Relazioni tra coefficienti e radici dell'equazione Se le radici sono reali e ne facciamo la somma x1+x2 dalla formula risolutiva otteniamo s=x1+x2=-b/a, cioè b=-a(x1+x2). Invece il prodotto vale p=x1·x2=c/a, cioè c=a(x1·x2). Queste relazioni permettono in particolari casi di ricavare le soluzioni di un'equazione di secondo grado senza applicare la formula risolutiva. Infatti basta cercare quei numeri le cui somme ed il prodotti corrispondano ai numeri ottenuti mediante le relazioni. Occorre notare che tali numeri sono facilmente ricavabili quando le soluzioni sono numeri interi. Torna su -------------------------------------- Scomposizione di un'equazione di secondo grado Se un'equazione

di secondo grado ax2+bx+c=0 ammette per soluzioni x1 ed x2, allora sostituendo in b e c le precedenti relazioni l'equazione diventa ax2-a(x1+x2)x+ax1·x2=0 ossia ax2-ax1x-ax2x+ax1·x2=0 ponendo a in evidenza diventa a(x2-x1x-x2x+x1·x2)=0 applicando la scomposizione a fattore parziale diventa a[x(x-x1)-x2(x-x1)]=0 ossia a(x-x1)(x-x2)=0 Se il discriminante dell'equazione è negativo allora il trinomio non si può scomporre.

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Regola di Cartesio

Si considerino i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado avente radici reali, si dice che si ha una permanenza se due coefficienti consecutivi sono concordi, si ha una variazione se sono discordi.

La regola di Cartesio permette di ricavare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado. Essa afferma: In un'equazione di secondo grado avente radici reali il numero di soluzioni negative è uguale al numero di permanenze, mentre il...

Il numero di soluzioni positive è uguale al numero di variazioni.