Matematica - Intervalli e continuità

Intervalli e continuità

Intervallo numerico

Un intervallo numerico di estremi a e b è l'insieme di numeri compresi tra a e b.

• Chiuso: se gli estremi sono inclusi (può essere chiuso solo da una parte).
• Aperto: se gli estremi sono esclusi (può essere aperto solo da una parte).

Il valore assoluto |b-a| è detta ampiezza dell'intervallo.

Intorno di un numero

Dati due numeri reali di centro x₀ e raggio r, si chiama intorno il sottoinsieme di centro x₀ e di raggio r tali che:

I = {x ∈ R, |x - x₀| < r}

Perciò: x₀ - r < x < x₀ + r

Intorno dell'infinito

È detto intorno dell'infinito di raggio M (con M > 0) l'insieme:

I = {x ∈ R, |x| > M}

Perciò: x < -M oppure x > M

Continuità

Una funzione y = f(x) è continua in un punto a ∈ R se vi è definita e il suo limite, per x tendente ad a, coincide con il valore della funzione in a.

lim f(x) = f(a) quando x → a

Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni suo punto.

Discontinuità

Ci possono essere 3 casi di discontinuità:

1. La funzione non è definita in a;
2. La funzione è definita ma lim f(x) ≠ lim f(x) per x → a- e x → a+;
3. La funzione è definita in a, esiste il limite ma lim f(x) ≠ f(a) per x → a.

Negli ultimi due punti, possiamo definire una funzione per casi ad esempio:

y = f(x) se x ≥ a

y = g(x) se x < a