Matematica III

RAPPORTO INCREMENTALE

Δ_f = f(x₁) - f(x₀)

Δ_x = x₁ - x₀

_Δf / _Δx = f(x₁) - f(x₀) / x₁ - x₀ = ms

COEFFICIENTE ANGOLARE della RETTA SECANTE (≡ inclinazione)

interseca il grafico in (x₀, f(x₀)) e (x₁, f(x₁))

si può riscrivere come rapporto incrementale

_Δp / _Δx = f(x₀ + Δ_x) - f(x₀) / Δ_x

Significato fisico del RAPPORTO INCREMENTALE = VELOCITÀ MEDIA

y = f(x)

s = f(t)

DERIVATA

LIMITE FINITO per Δ_x → 0 del RAPP. INCREMENTALE in x₀

f(x₀ + Δ_x)

f(x₀)

Δ_p

x₀, x₀ + Δ_x

se x₁ → 0

allora x₀ + Δ_x → x₀

se Δ_x → 0

il punto Q si avvicina sempre più al punto P e

AL LIMITE viene a COINCIDERE col PUNTO P,

perciò la retta è secante in due punti coincidenti ed è perciò TANGENTE

f'(x₀) = lim Δ_f / Δ_x

Δ_x → 0

lim

Δ_x → 0

= mt

COEFF. ANGOLARE della RETTA TANGENTE (inclinazione)

nel punto (x₀, f(x₀))

La RETTA TANGENTE ha EQUAZIONE

y = y₀ + m(x - x₀)

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Significato fisico della DERIVATA = VELOCITÀ ISTANTANEA

lim Δ_s

Δ_t→0 Δ_t

RETTA TANGENTE AL GRAFICO

f(x) = x²

• ? eq. tangente in x₀ = 1

f(x₀) = f(1) = 1

f'(x₀) = f'(1) = 2

y = y₀ + m_t (x - x₀)

y - f(1) + f'(1) (x - 1)

y = 1 + 2 (x - 1)

2x - 1

• ? eq. tangente in x₀ = 0

f(x₀) = f(0) = 0

f'(0) = 0

y = 0 (asse delle x)

f(x) = 3 x² - x

• ? eq. tangente in x₀ = 0

f(0) = 0

f'(0) = 0

y = 0

• ? eq. tangente in x₀ = 1

f(1) = 3 - 1 = 2

f'(1) = 6 - 1 = 5

y = 2 + 5(x - 1)

y = 2 + 5x - 5 = 5x - 3

f(x) = x³

• ? eq. tangente in x₀ = 2

f(2) = 8

f'(2) = 12

y = 8 + 12 (x - 2)

y = 8 + 12x - 24 = 12x - 16

f(x) = x²

• ? eq. tangente in x₀ = 0

y = 0 + 2x

x=0 → y=0

• ? eq. tangente in x₀ = 3

f'(x₀) = f(3)

x=3

x=3

9

f'(x₀) = f'(3) = 2x|_x=3

2 · 3 = 6

y = 9 + 6 (x - 3) = 6x - 9

DERIVATE FONDAMENTALI

g(x) = [f(x)]ⁿ

g'(x) = n [f(x)]^n-1 f'(x)

g(x) = e^f(x)

g'(x) = e^f(x) f'(x)

g(x) = cos [f(x)]

g'(x) = -sin [f(x)] f'(x)

g(x) = sin [f(x)]

g'(x) = cos [f(x)] f'(x)

g(x) = ln [f(x)]

g'(x) = ¹/_f(x) f'(x)

g(x) = ¹/_f(x)

g'(x) = -^f'(x)/_(f(x))²

g(x) = √1-g²

g'(x) = -¹/_√1-g² g'

g(x) = ¹/_√1+g²

g'(x) = -^g'/_1+g²

• Derivata di somme/prodotti/rapporti

  es: ^d/_dx (x²+x³) = 2x + 4x³

  es: ^d/_dx (xsinx) = 1\cdot sinx + x\cosx = sinx+x\cosx

  es: ^d/_dx (x²lnx) = 2x\lnx + x²\f'(x) ln 2 - x² (2+x ln 2)

  es: ^d/_dx (x^-2 e^x) = e^-x\e^x1 - x\cdot e^-x

• Derivata di f composite

  es: f(z) = sinz -> z = 1+ x²

  g(z) = sinz -> z² -> cosz= cos (1+x²)

  g(x)=2x

  es: g(x)=

  es: g(x) = (1+x)⁴ f'(x) = 8(1+x)³ 1

  es: g(x) = (1+e^2x)⁵ f'(x)=0.5.2.e^2x(1+e^2x)⁴

  es: g(x)= e^(xmx2) f'(x) = 6x\cosx\cdot\sin(mx²) ^e

  es: g(x) = e^(xmx2)3 f'(x)=3(onx^{2 2})

es. f(x) = ln(x² - 2x)

1. DOMINIO

x² - 2x > 0 → x(x - 2) > 0

{x ∈ ℝ | x < 0} ∪ {2, +∞}

2. Intersezioni

asse x:

y = ln(x² - 2x)

ln(x² - 2x) = 0

x² - 2x - 1 = 0

x₁ = 1 - √2

x₂ = 1 + √2

A(1 - √2; 0)

B(1 + √2; 0)

asse y:

y = 0

y = ln(x² - 2x)

3. SEGNO

ln x < 0 ≠ 0 < x < 1

ln x > 0 ≠ x > 1

f(x) > 0 → x ≠ 0 ≠ x² − 2x ≠ 1

x < 1 − √2 ≠ x > 1 + √2

4. ASINTOTI

VERTICALI:

lim_x⟶0 f(x) = -∞

lim_x⟶2^- f(x) = -∞

x = 0

x = 2

ORIZZONTALI:

lim_x⟶+∞ f(x) = +∞

5. DERIVATA

1. f' (x) = 2(x-2) 1 x¹

   0(x-2)

   f' (x) = 2(x-2)

2. f'' (x) = 2(x-1) / x(x-2)

   x = 2

   x = 0

3. f(iv) (x) = 2(⇑_1*2x) - (2x - 2)(2x - 2) / (x² - 2x)²

f'' (0) = ?

(4) ASINTOTI

• ORIZZONTALE: lim_x→±∞ e^-x2/2 = 0 → y = 0 (asse x)
• VERTICALE: 7

(5) DERIVATA

1. f'(x) = - x e^-x2/2 / √2π

2. f'(0) = 0 PTO. STAZIONARIO

3. f''(x) = e^-x2/2 (x² - 1) / √2π

Inoltre risulta f'(x) > 0 se x < 0 → CRESCE

f'(x) < 0 se x > 0 → DECREsce

In x = ±1 → f''(x) = 0 → PTI. di FLESSO

Data una f(x) ANALITICA, ho a disposizione

• f(0)
• f'(0)
• f''(0)
• f^(K)
• K = 1, 2, 3…

Cioè una DERIVATA di ORDINE K, derivata calcolando la derivata della derivata di ordine K-1

f^(K)(x)

Posso approssimare la funzione con un POLINOMIO di GRADO N usando le derivate fino alla n-esima.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + 1/2 f''(x₀)(x-x₀)² + … + ∑_k=0 f^(k)(x₀) / k! (x-x₀)^k

La rappresentazione di una data funzione ANALITICA in termini di SERIE di POTENZE CENTRATE in x₀

Se x₀=0 → SERIE di TAYLOR

e^x f(x) = e^x

f'(x) = e^x

f''(x) = e^x

f⁽ⁿ⁾(x) = _e^x

f'(x₀) = f^'(0) = 1

f''(x₀) = f^''(0) = 1

f⁽ⁿ⁾(x₀) = f⁽ⁿ⁾(0) = 1

Differenziale

f(x+h)

f(x)

da x a x+h, c'è una variazione delle ordinate di

Δp = f(x+h) - f(x) = QR

supponemo che f(x) sia derivabile

y_t = f_t(x)

P con angolare della retta tangente in P

S = punto intersezione tra t tangente

QR = Δf

Differenziale

df(x)

α = angolo che la retta tangente forma con l'asse x

PS

SR/PR = tgα

df(x) = h * f'(x)

y = x

bisezione I/II

dy = k * 1

dx = h

Variazione infinitesima

f'(x) = df/dx

Teo. Fondamentale del calcolo integrale

F(x) derivabile su [a, b]

F(b) - F(a) = ∫_a^b F'(x) dx = ∫_a^b dF(x)