Matematica III

Rapporto incrementale

Δy = f(x₁) - f(x₀)

Δx = x₁ - x₀ → Δf/Δx = [f(x₁) - f(x₀)] / [x₁ - x₀]

Coefficiente angolare della retta secante (inclinazione) che interseca il grafico in (x₀, f(x₀)) e (x₁, f(x₁)) si può scrivere come rapporto incrementale → Δf/Δx = [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Significato fisico del rapporto incrementale

Velocità media: Δy/Δx = [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx = [s(t₀ + Δt) - s(t₀)] / Δt = Δs/Δt

y = f(x) s = f(t) eq. oraria: Posizione (m) in funzione del tempo (t)

Derivata

Derivata = Limite finito per Δx → 0 del rapporto incrementale in x₀

x₀, x₀ + Δx → x₀; il punto Q si avvicina sempre più al punto P e al limite viene a coincidere col punto P, perciò la retta – secante in due punti coincidenti ed è perciò tangente

lim Δf/Δx = lim [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Δx → 0

Coefficiente angolare della retta tangente (inclinazione) nel punto (x₀, f(x₀))

La retta tangente ha equazione: { y = y₀ + m(x - x₀) y = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀)

Significato fisico della derivata

Velocità istantanea (lim Δs/Δt → 0 Δt)

Δy = f(x₁) - f(x₀)

Δx = x₁ - x₀

x₁ = x₀ + Δx

Δy / Δx = [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Velocità media: Δy / Δx = [s(t₀ + Δt) - s(t₀)] / Δt = Δs / Δt

y = f(x) s = f(t) eq. oraria: Posizione (m) in funzione del Tempo (t)

Derivata = Limite finito per Δx → 0 del rapporto incrementale in X₀ lim (Δf / Δx) = lim [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

La retta tangente ha equazione: {y = y₀ + m(x - x₀)} y = f'(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Significato fisico della derivata: Velocità istantanea (lim Δs / Δt → 0)

Retta tangente al grafico

f(x) = x²

eq. tangente in x₀ = 1

f(x₀) = f(1) = 1² = 1

f'(x₀) = f'(1) = 2

y = y₀ + m_t (x - x₀)

y = f(1) + f'(1) (x - 1)

y = 1 + 2 (x - 1) = 2x - 1

eq. tangente in x₀ = 0

f(x₀) = f(0) = f'(0) = 0

y = 0 (asse dell x)

f(x) = 3x² - x

eq. tangente in x₀ = 0

f(0) = 0

f'(0) = 0

y = 0

eq. tangente in x₀ = 1

f(1) = 3 - 1 = 2

f'(1) = 6 - 1 = 5

y = 2 + 5 (x - 1)

y = 2 + 5x - 5 = 5x - 3

f(x) = x³

eq. tangente in x₀ = 2

f(2) = 8

f'(2) = 12

y = 8 + 12 (x - 2)

y = 8 + 12x - 24 = 12x - 16

f(x) = x²

eq. tangente in x₀ = 0

y = 0 + 2x |_{x = 0}

y = 0

eq. tangente in x₀ = 3

f(x₀) = f(3) = x² |_{x = 3} = 9

f'(x₀) = f'(3) = 2x |_{x = 3} = 2 * 3 = 6

y = 9 + 6 (x - 3) = 6x - 91

f(x) = 5x⁴ + 3x^3/2

f'(x)₀ = 20x³ + 9/2 x^1/2

f(x) = √x x^1/2

f'(x)₀ = 1/2x^-1/2 = 1/2√x

Legge di derivazione fondamentale

La funzione f(x) = ax^β con a, β ∈ R ha derivata

es: f(x) = b (f costante) (derivata nulla) f'(x) = 0

f(x) = ax + b (f lineare) (f' costante) f'(x) = a

f(x) = ax² + bx + c (f quadratica)

es: f(x) = x → f'(x) = 1⋅x^1-1 = 1⋅x⁰ = 1

Derivate fondamentali

• d/dx e^x = e^x
• d/dx a^x = a^x ln a con a ∈ R
• d/dx senx = cosx
• d/dx cosx = -senx
• d/dx tanx = 1/cos²x
• d/dx lnx = 1/x
• d/dx log_ax = log_ea / x
• d/dx sen^-1x = 1/√(1-x²)
• d/dx cos^-1x = -1/√(1-x²)
• d/dx tan^-1x = 1/(1+x²)

Regole di derivazione

Se \( f(x) \) e \( g(x) \) sono derivabili, e \( c \in \mathbb{R} \)

1. Moltiplicazione per una costante: \[ [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x) \]
2. Somma: \[ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) \]