Analisi Matematica III

Analisi III - Esame - Indice

Esame 1

• Def. (1.1) Funzione differenziabile in C
• Def. (1.2) Derivabilità in senso complesso
• Def. (1.3) Funzione olomorfa
• Def. (1.4) Derivata direzionale
• Teorema (1.5) eq. di Cauchy-Riemann + es.
• Def. (1.6) Serie di potenze
• Prop. (1.7) Convergenza di una serie di potenze
• Def. (1.8) Doppio di convergenza + es.

Esame 2

• Prop. (2.1) Criterio della radice in C
• Def. (2.2) Funzione analitica
• Def. (2.3) Funzione intera
• Teorema (2.4) cond. di C-R ⟹ f ∈ H
• Teorema (2.5) Unicità dell'estensione olomorfa
• Def. (2.6) Funzione polidroma
• Def. (2.7) Curva in C
• Def. (2.8) Curva regolare in C
• Def. (2.9) Integrale curvilineo di 1ª specie in C
• Teorema (2.10) Integrale nullo di Cauchy

Esame 3

Prop. (3.1) Integrore mulo b-c

Teorema (3.2) c.s. t.c. ∫_c^b f dz = ∫_x^y f dz

Formula (3.3) di Cauchy

Prop. (3.4) conv. unif. ⇒ ∫ f_n ➝ ∫ f

Prop. (3.5) conv. unif. ⇒ f ∈ ℋ

Teorema (3.6) di Weierstrass + ess.

Formula (3.7) f⁽ⁿ⁾(z_c) con (3,3)

Def. (3.8) funzione primitiva F

Teorema (3.10) Integrale curvilineo con primitive

Prop. (3.11) f deriv. a.s. G ⟹ G' ⊂ U them (3.9)

Esame 4

Def. (4.1) Serie di Laurent + lim

Def. (4.2) sing.ta-polo ed essenziale (con m)

Def. (4.3) ordine di un polo

Def. (4.4) Residuo di f in z_o: sing.to

Teorema (4.5) app. equivalenti sulle sing.to

Teorema (4.6) sing.ta essenziali per f^-1 = 1/f

Teorema (4.7) cns delle sing.to (lim)

Def. (4.8) Res(f,∞) + oss. dim.

Teorema (4.9) Singolarità e residui

Prop. (9,9) funzioni che ammettono la serie di Fourier in forma esponenziale

Esame 10

Def. (10,1) Appl. lineare continua e lim.

Teorema (10,2) lim. 4-s ^G0

Def. (10,3) Spazio duale

Def. (10,4) funzionale _{(se p∈(1,+oo))}

Teorema (10,5) Il duale di L^p e L^q

Teorema (10,6) di rappresentazione di Ritz (*)

Def. (10,7) norma di un funzionale

Teorema (10,8) Spazio duale di Banach

Def. (10,9) Supporto di una funzione continua

Def. (10,10) Spazio L^p_loc(A)

Def. (10,11) Spazio D(A)

Def. (10,12) Convergenza in D(A)

Def. (10,13) Distribuzione

Teorema (10,14) Distribuzioni in D'(A) (C.S.)

Def. (10,15) Funzione test

Def. (10,16) Delta di Dirac δ_x (*)

Analisi III - Esame

Esame 1

Def (1.1) Sia f: A ⊆ C → C, A aperto, diciamo che f è c-diff. le in z ∈ A sef(z+h) = f(z) + h f'(z) + θ(|h|) , h → 0

Def (1.2) Una funzione f: A ⊆ C → C, con A aperto, si dice derivabile in senso complesso in un punto z ∈ A selim_{h → 0} ^{f(z+h) - f(z)}/_h = f'(z) ∈ C

Def (1.3) Se f: A ⊆ C → C è derivabile in senso complesso ∀ z ∈ A allora f si dice olomorfa e f ∈ (A).

Def (1.4) Sia f: A ⊆ C → C, A aperto, si definisce derivata direzionale di f lungo la direzione Ψ ∈ C la p. te;

Ψ f'(z) := lim_{t → 0} ^{f(z+tΨ) - f(z)}/_t

Def. (2.6) Una funzione si dice polidroma se può assumere più di un valore in corrispondenza della stessa z.

N.B. Per le funzioni polidrome si considerano le superfici di Riemann

N.B. Per definire una funzione polidroma in senso ordinario devo rendere il suo dominio semplicemente connesso.

Def. (2.7) Si definisce curva moltiplicazione continua γ: [a,b] → C

N.B. Volgono le stesse proprietà che si hanno in R² ad eccezione di:

Def. (2.8) Una curva γ: [a,b] ⊂ R → C si dice regolare se γ ∈ C¹ e il vettore tg non c'è in C\{ }

Def. (2.9) Sia f: Δ ⊂ C → D ⊂ C, γ: [a,b] → A

Una curva regolare a tratti, si definisce integrale curvilineo di 1^o specie in C

∫ _γ f(z) dz = ∫ _a^b f (γ(t)) γ'(t) dt

È sostegno della curva

=> f(z) = ₁⁄_2πi ∮ γ f(w) ∑_n=0 (z-z₀)ⁿ ⁄ (w-z₀)ⁿ⁺¹ dw = 1 conv. unif.

= -₁⁄_2πi ∑_n=0 (z-z₀)ⁿ [ ∮ γ f(w) ⁄ (w-z₀)ⁿ⁺¹ dw ] =>

Con a_n := ₁⁄_2πi ∮ γ f(w) ⁄ (w-z₀)ⁿ⁺¹ dw independe da z questo integrale converge f continua lungo una linea chiusa

=> f(z) = ∑_n=0 a_n (z-z₀)ⁿ

-> (*) vero perché se prendo una circonferenza centrata in z₀, con w sul bordo e z nel cerchio interno, la serie converge.

N.B., quindi se una funzione è olomorfa posso scriverla localmente come serie di potenze, cioè: la serie di potenze converge in un cerchio di raggio positivo R > |z₀-w|

N.B., dal momento che una serie di potenze è una funzione C^∞ segue automaticamente

f ∈ (A) => f ∈ C^∞(A) in ogni punto di A, f è localmente analitica

N.B., dire analitica equivale a dire olomorfa in ℂ

Teorema (4.5)

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. f ha in z₀ un polo di ordine m
2. f(z) (z - z₀)^m ha una singolarità eliminabile
3. |f(z)| ~ |z - z₀|^-m ad essere asintotico z → z₀
4. g(z) = 1/f(z) ha uno zero di ord. m

Teorema (4.6)

Sia f una funzione con una singolarità essenziale in z₀, allora z₀ è singolare anche per g(z) = f(z)^-1 e z₀ può essere p.to di accumulazione di singol.tà

Teorema (4.7)

Supp. z₀ sia p.to singolare isolato per f = ⇒

1. z₀ è removibile ⟺ lim_z→z0 f(z) è finito
2. z₀ è un polo ⟺ lim_z→z0 f(z) = ∞

i.e. |f(z)| → ∞ z→z₀

3. z₀ è sing.to essenziale ⟺ f lim_z→z0 f(z)

Def. (5.6) uno sp. metrico, così come uno sp. vett. normato, si dice completo se ogni succ. di Cauchy è convergente.

Def. (5.7) Sia (X, ||.||) uno sp. vett. normato, una succ. (x_n) ∈ X è convergente a x ∈ X se ||x_n - x|| → 0 per n → ∞. Una succ. (x_n) ∈ X è di Cauchy se ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ : ||x_n - x_m|| ≤ ε ∀ n,m ≥ N

Def. (5.8) Sia X sp. vett. complesso, definisco prodotto scalare ⟨x, y⟩ : X × X → ℂ 1) ⟨x, x⟩ ≥ 0      N.B. ⟨x, x⟩ ∈ ℝ ⟨x, x⟩ = 0 → x = 0

2) anti-simmetrico : ⟨x,y⟩ = ̄⟨y,x⟩, x,y ∈ X

3) lineare risp. al 1° comp. ⟨αx + βy, z⟩ = α⟨x,z⟩ + β⟨y,z⟩, x,y∈X, α, β ∈ ℂ

2+3) sesquilineare : ∀ x,y,z ∈ X, α, β ∈ ℂ ⟨αx + βy, z⟩ = ᾱ⟨x,y⟩ + β̄⟨x,z⟩

Definisco inoltre la norma di un vettore x∈X ||x|| = √⟨x, x⟩; soddisfa (5.4)