Matematica generale I - Appunti

APPUNTI COMPLETI DI MATEMATICA GENERALE I

INSIEMI LIMITATI/ILLIMITATI

INTERVALLI LIMITATI

Dati a, b, ∈ ℝ con a < b

(a, b) | ]a, b[ | {x ∈ ℝ | a < x < b}

[a, b] | {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

  | {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}

a, b = estremi dell'intervallo a = estremo inferiore (o sinistro) b = estremo superiore (o destro) b-a = lunghezza dell'intervallo

INTERVALLI ILLIMITATI

a ∈ ℝ

• ILLIMITATO SUPERIORMENTE

  • [a, +∞) = {x ∈ ℝ, x ≥ a}
  •   R

    x ∈ A -> f(x) = y ∈ R

    • x = Variabile Indipendente
    • y = Variabile Dipendente
    • A = Dominio di f
    • f(x) = Immagine di x tramite f (Valore di f in x)

    f(A) = {y ∈ R / y = f(x) per x ∈ A} = Immagine di A tramite f

    x -> f(x)

    y -> x (operazione inversa)

    x ∈ A tale che y = f(x) è detto controimmagine di y tramite f

    ES:

    1. x = prezzo 1L petrolio

       f(x) = prezzo 1L benzina

       f(x) = 3x + 0,2

       Se 1L di benzina costa 2 €, qual è il prezzo corrispondente di 1L di petrolio?

       x tale che f(x) = 2 €

       3x + 0,2 = 2

       3x = 1,8 -> x = 0,6 € -> x = controimmagine di €2 tramite f

    Grafico di una funzione

    Grafico di f = {(x₀, y₀) ∈ R² / x₀ ∈ A , y₀ = f(x₀)}

    P_o(X_o, y_o) ∈ grafico di f

    Dom f = A

    cod f = {y ∈ R | y = f(x) con x ∈ dom f}

    3

    D = (-∞,0) ∪ (0,+∞) Cod f = (-∞,0) ∪ (0,+∞)

    È UNA FUNZIONE DISPARI, INIETTIVA, NON SURRIETTIVA E NON MONOTONA

    MONOTONA STRETTAMENTE DECRESCENTE TE SU (-∞,0] E SU [0,+∞) MA DIPENDE DALLE COPPIE CHE SI CONSIDERANO

    -1<x<3 MA f(-x) = 2 < f(x) =1/3 -2<x <4 MA f(-x) = f(-x)

    7 Unitate

    f è limitata superiormente se ∃M ∈ R : f(x)≤M ∀x ∈ D

    f è limitata inferiormente se ∃m ∈ R : f(x)≥m ∀x ∈ D

    f è limitata se è limitata sia superiormente sia inferiormente.

    ES 1 f(x)= x x ≤ 0 3, x > 0

    M=5

    Cod f = (-∞,0] ∪ {3}

    LA FUNZIONE È LIMITATA SUPERIORMENTE SU TUTTO L'INTERVALLO ≥ 3 NON È LIMITATA INFERIORMENTE

    2 f(x)= 1/x

    ILLIMITATA SIA INFERIORMENTE SIA SUPERIORMENTE.

    Cod f = (-∞,0) ∪ (0,+∞)

    Funzione esponenziale

    f(x) = a^x

    con a > 0

    a ≠ 1

    • D = ℝ
    • Cod f = (0, +∞)
    • Non pari
    • Non dispari
    • Sono iniettive, non suriettive limitate inferiormente (inf f = 0) ma illimitate superiormente (sup f = +∞). Per a > 1 -> monotona crescente e per 0 < a < 1 -> monotona decrescente.

    Funzione logaritmica

    f(x) = log_a(x)

    con a > 0 e a ≠ 1

    x > 0

    a = x

    Propieta

    log_a (x . y) = log_a x + log_a y

    log_a (x / y) = log_a x - log_a y

    log_a (x^r) = r log_a x

    In particolare: log_e (x) = ln (x)

    f(x) = x²

    NON INIETTIVA

    • non esiste la sua inversa
    • NON INVERTIBILE SU R
    • Lo è su ad es. [0; +∞)

    => su [0; +∞) f^-1(x) = √x

    Condizione sufficiente per l’invertibilità di una funzione f: D ∈ R —> R se f è monotona strettamente crescente o decrescente => f è invertibile su D.

    f₁(x) = x / (x + 4)

    f₂(x) = e^2x + 4

    1. Determinare f(x) = f₂(f₁(x))
    2. f invertibile su I = ( -4 ; +∞)?

    1) (f₂ o f₁)(x) = f₂ (x / x + 1) = e^{2x / x + 1} + 4

    2) D = D -4 + 4 = > D = ( - ∞ ; -4 ) ∪ ( -4 ; + ∞) x ≠ -4

    Strettamente monotona su (- ∞ ; -4 ) e su ( -4 ; +∞ ) => INVERTIBILE SUGLI INTERVALLI

    GRAFICI DEDUCIBILI DA GRAFICI NOTI data f, di cui è noto il grafico

    1) Per simmetria

    * g(x) = -f(x) —> Il grafico di g si ottiene da quello di f per simmetria rispetto all’asse delle x.

    ES

    GRAFICO DI

    f(x) = {        ^{- √(-x)} con x ≤ -1         e^-x -1 con x > -1 }

    Determinare per quale suddivisione del dominio la funzione assume valori minori o uguali a (-3).

    GRAFICO

    -√-x

    e^-x -1

    |e^-(x) -1| = e^-x -1

    ES

    B = A ∪ [2, 4] ∪ {10}

    {10} -> punto isolato X_o ≠ 10

    X_o = 0

    X_o = 1/2

    X_o = 2/3

    -> tutti i punti di A sono punti isolati

    • PUNTO INTERNO A B

    X_o ∈ B e ∃U(X_o): U(X_o) ⊆ B

    ES

    B = (2,4]

    2,4 NON è un punto interno a B

    Tutti i punti dell'intervallo (2,4) sono punti interni a B

    Definizione: Un insieme B ⊆ R è detto INSIEME APERTO se tutti i suoi punti sono interni.

    • Un insieme B è detto INSIEME CHIUSO se B^c = R - B

    B^c complementare di B

    è un insieme aperto

    ES

    1) B = (2,4)

    Tutti i punti sono interni a B -> B è un insieme aperto.

    2) B = [2,4]

    2,4 non sono punti interni

    -> B non è un insieme aperto

    B^c = (-∞, 2) ∪ (4, +∞)

    Tutti i punti di B^c sono punti interni di B^c -> B^c un insieme aperto -> B è un insieme chiuso

    3) B = [2,4] non è né aperto né chiuso.

    I LIMITI

    _ES f(x) = log x

    andamento della funzione vicino a 0 diventa sempre più piccola. (tende a -∞) Più aumenta x -∞

    f(x) = 1/x

    Scopo: Per studiare le funzioni vicino a certi punti andremo a considerare i limiti.

    DEFINIZIONE

    f:D⊆R → R sia x₀ ∈ R un punto di accumulazione per `e` in `D`. Diciamo che lim_x→x0 f(x) = l ∈ R ⇔ se e solo se ∀U(l) ∃U(x₀) : f(x) ∈ U (l) ∀x ∈ U(x₀) ⋂ `D`. x ≠ x₀.

    Definizione

    f: D ⊆ R → R

    • Una retta orizzontale y = y₀ ∈ R e' asintoto orizzontale di f per x → +∞ (o a -∞) se lim_(x→+∞) f(x) = y₀ ∈ R
    • Una retta verticale x = x₀ ∈ R e' asintoto verticale di f se lim_{(x → x0^-)} f(x) = +∞ (-∞) oppure lim_{(x → x0⁺)} f(x) = +∞ (-∞) o entrambi.

    ES 1 f(x) = (1/2) ^x

    y = 0 → asintoto orizzontale per x → +∞

    (lim_{(x → +∞)}(1/2)^x = 0)

    ES 1

    f(x) = -1, x≤0 log₂(x+2), x>0

    lim_x→0^- f(x) = -1 lim_x→0⁺ f(x) = 1 x₀ = 0 è un punto di discontinuità di I specie per f.

    PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI 2^a SPECIE

    Almeno uno tra lim_x→σ^- f(x) e lim_x→σ⁺ f(x) σ ∈ ℝ, σ ≠ ±∞ (σ≠ -∞).

    ES 4

    f(x) = e^x, x≤1 1/(1-x), x>1

    lim_x→1^- f(x) = e lim_x→1⁺ f(x) = +∞ => x₀ = 1 è un punto di discontinuità per f.

    ES 2

    f(x) = 3, x≤0 sen (-1/x), x>0

    lim_x→0^- f(x) = 3 lim_x→0⁺ sen (-1/x) = lim_y→+∞ sen(y) => x₀ è un punto di discontinuità di 2^a specie per f.