Appunti completi di matematica generale I
Insiemi limitati e illimitati
Intervalli limitati
Dati a, b ∈ ℝ con a < b
- Aperto (a, b) | a, b | {x ∈ ℝ | a < x < b}
- Chiuso [a, b] {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
- Aperto a destra [a, b) {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
- Aperto a sinistra (a, b] {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
a, b = estremi dell'intervallo
a = estremo inferiore (o sinistro)
b = estremo superiore (o destro)
b - a = lunghezza dell'intervallo
Intervalli illimitati
a ∈ ℝ
- Illimitato superiormente [a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
- (a, +∞) = {x ∈ ℝ | x > a} → L'estremo superiore è +∞
- Illimitato inferiormente (-∞, a] = {x ∈ ℝ | x ≤ a}
- (-∞, a) = {x ∈ ℝ | x < a} → L'estremo inferiore è -∞
- Illimitato sia superiormente che inferiormente (-∞, +∞) = ℝ → I due estremi sono ∞
Insiemi limitati
Dato un insieme \( E \neq \emptyset \)
Definizione
Si dice che l'insieme \( E \) è limitato superiormente se \(\exists M \in \mathbb{R} : x \leq M \ \ \forall x \in E \)
In tal caso, \( M \) è detto maggiorante di \( E \).
Se \( E \) non è limitato superiormente, viene detto illimitato superiormente.
Definizione
Si dice che l'insieme \( E \) è limitato inferiormente se \(\exists m \in \mathbb{R} : x \geq m \ \ \forall x \in E \)
In tal caso, \( m \) è detto minorante di \( E \).
Se \( E \) non è limitato inferiormente, viene detto illimitato inferiormente.
\( E \) è detto limitato se è limitato superiormente e inferiormente \(\exists k>0: \ |x| \leq k \ \ \forall x \in E \)
- Es. \( [0,4] = E \)
Insieme minoranti (-\(\infty\),0]
Possibile maggiorante insieme dei maggioranti [4,+\(\infty\))
È un intervallo limitato superiormente e inferiormente.
- Es. \(E = (0,1) \cup (3,+ \infty)\)
Non è un intervallo ma un'unione di intervalli
Non vi sono maggioranti → \( E \) è illimitato superiormente
Minoranti (-\(\infty\),0] → \( E \) è limitato inferiormente
- Es. \(E = (-\infty,2) \cup \{4\}\)
\( E \) è illimitato inferiormente ma limitato superiormente → insieme dei maggioranti \([4,+\infty)\)
④ E = {x ∈ ℝ | x2 - 3x + 2 ≥ 0} = (-∞,1] ∪ [2,+∞)
xm,1 = 3 ∓ √9-8 → x = 1 x = 2
\{ 1 ⇒ x ≤ 1 x ≥ 2 \}
E è illimitato superiormente e inferiormente.
Non vi sono né maggioranti né minoranti.
Definizione
Sia E un insieme limitato superiormente, si definisce estremo superiore di E (sup E) il più piccolo dei maggioranti di E.
Se E è illimitato superiore sup E = +∞
Definizione
Se E è limitato inferiormente, si definisce estremo inferiore di E (inf E) il più grande tra i minoranti di E.
Se E è illimitato inferiormente, si definisce inf E = -∞
Osservazioni
- 1) ∃ ! sup E, inf E (univocamente definiti)
- 2) sup E, inf E ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞}
- 3) sup E, inf E possono appartenere all'insieme E oppure no.
Definizione
Se sup E ∈ E allora è detto massimo di E (max E).
Definizione
Se inf E ∈ E allora è detto minimo di E (min E).
- ES E = { x ∈ ℝ , x ＞ 0 e x ≤ √2 } = [ 0 , √2 ]
E è limitato.
Minoranti: (-∞, 0] Maggioranti: [√2, +∞)
√2 = sup E = max E
0 = inf E = min E
- ② E = { x ∈ ℝ | x / x2 + 2 ≥ 0 } = (-∞, 2) ∪ [ 1, +∞ )
x ＞ 1
x ＞ 2
E è illimitato
inf E = 0
sup E = +∞
- 3) E1 = {x ∈ ℝ | x-4 < x < 2}
- E2 = {x ∈ ℝ | √x-1 > x}
- E1
x-4 > 0 ⇒ x > 4
x-1 < 4
x ≤ 5
4 < x ≤ 5
E1 limitato
sup E1 = 5 ∈ E1 ⇒ 5 = max E1
inf E1 = 1 ∉ E1 ⇒ 1 = min E1
- E2
√x-1 > x
{x > 1 x ≤ 0} ⇒ ∅
x > 1
{x > 0 x - 2 < x} ⇒ ∅
x² - x + 1 ≤ 0
x1,2 = ± √(∆ < 0) ∄ x ∈ ℝ
E2 = ∅
Funzioni
Data due insiemi A, B ≠ ∅
Idea grafica
- f(x) = 2x + 0,10
dove x = prezzo 1L di petrolio
0,10 = tasse al litro
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