Matematica generale

La Funzione

Dati i insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X a Y una assegnata corrispondenza che a ogni x ∈ X associa al più un solo y ∈ Y.

• Corrispondenza univoca

Funzione iniettiva: ogni elemento dell'insieme delle immagini proviene da un unico elemento di A.

• Se f(x) è crescente → sarà iniettiva
• Se f(x) è iniettiva → è possibile calcolare la funzione inversa f^-1

Nel caso di funz. reali, se una funz. iniettiva se una generica retta y=k interseca il grafico della funzione 1 sola volta.

• Funzione composta: h = g[f]

Diversi insiemi numerici

• N ∗, Z → discreti
• Q → denso e discontinuo
• R → è presente ogni allineamento decimale

• Funz. concave = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sotto del grafico
• Funz. convesse = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sopra del grafico
• Funz. pari → f(x) = f(-x)
• Funz. dispari → f(x) = -f(-x)

1. Funz. lineari: y = mx + q; Il m1 = m2
2. Funz. parabola: y = ax² + bx + c; V (...)
3. Funz. iperbole: f(x) = ; C( , )

• iperbole equilatera: f(x) = ; C(0,0)
• Funz. Esponenziale:

Definite per

• Funz. Trigonometriche:
• seno: Dispari, periodo
• coseno: Pari, periodo
• tg: Dispari, periodo
• Funz. Logaritmica: ;

Definite per

Altri casi...

• funz. valore assoluto numero reale x:
• funz. valore assoluto di una funzione:
• funz. dove nella variabile indipendente compare un valore assoluto

• traslazione verticale:
• traslazione orizzontale:
• prodotto tra costante e funzione data:
• se :

Valore di k_ε che dipende da ε, tale che ∀x > K_ε vale che:

K - ε < f(x) < K + ε

Quando di da lim f(x) = l   y = l è Asintoto Orizzontale

In sintesi:

• lim_x→x₀ f(x) = l → l - ε < f(x) < l + ε
• lim_x→x₀ f(x) = +∞ → f(x) > M
• lim_x→x₀ f(x) = -∞ → f(x) < -M
• lim_x→∞ f(x) = +∞ → f(x) > M
• lim_x→∞ f(x) = -∞ → f(x) < -M
• lim_x→∞ f(x) = l → l - ε < f(x) < l + ε

Y = l Asint. Orizzontale

Limite Destro e Limite Sinistro

Limite Destro: Sia g: A ⊆ R → R con x₀ punto di accumulazione per A, diciamo che f ammette l come lim destro quando, ∀ε > 0, esiste un numero r > 0 tale che ∀x ∈ (x₀, x₀ + r) si abbond: |f(x) - k| < ε

Limite Sinistro: Sia f: A ⊆ R → R con x₀ punto di accumulazione per A, diciamo che f ammette l come lim sinistro quando, ∀ε > 0, esiste un numero r > 0 tale che ∀x ∈ (x₀ - r, x₀) si abbond: |f(x) - k| < ε

Limite per Difetto o per Eccesso

Diciamo che f ammette limite per eccesso (o per difetto) al tendere di x a +∞: lim_x→+∞ f(x) = k⁺ (o lim_x→+∞ f(x) = k^-) quando per ∀ε > 0, ∃ un numero H tale che ∀x > H si abbonda: k - ε < f(x) < k + ε (o k - ε < f(x) ≤ k).

3) Asintoto Obliquo

DEFINIZIONE: Data la funzione \( y=f(x) \) se si verifica che:

\[\lim_{x\to \infty} [f(x)-(mx+q)] = 0\],allora si dice che la retta di equazione \( y=mx+q \) è un asintoto obliquo per il grafico della funzione.

In particolare:

• Se \( x \to +\infty \) e soddisfa la condizione → Asintoto obliquo destro
• Se \( x \to -\infty \) → Asintoto obliquo sinistro

TIPOLOGIE DI ASINTOTI:

1. La \( f(x) \) ha un asint. obliquo solo per \( x \to +\infty \)
2. \(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \) per \( x \to -\infty \)
3. \(\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \) per \( x \to +\infty \) e per \( x \to -\infty \)

RICERCA DI ASINTOTI: Teorema

Se \( f(x) \) una funzione definita in I e sia valida che ie \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), allora se:

1. \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = m (\neq 0) \)
2. \(\lim_{x \to \infty} [f(x)-mx] = q\)

Se valgono queste 2 condizioni, allora \( y=mx+q \) è un asintoto obliquo per il grafico di \( f(x) \).

Asintoti obliqui e funzioni razionali fratte

Sia \( r(x) \) una funz. razionale fratta \[ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)} \], tale che A(x) sia un polinomio di grado n e B(x) un polinomio di grado m < 1, allora ie grafico della funzione ammette un asintoto obliquo.

Derivata

per rapp. con precisione la pendenza del grafico di una funzione si utilizza la nozione di derivata.

RAPPORTO incrementale:

Data una funzione reale di variabile reale f(x):

f: D ⊂ R → R, con x₀ ∈ D e x₀ + Δx ∈ D, definiamo

l'incremento della funzione f(x) quando x passa

da x a x₀ + Δx.

• Δf = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

DEF. di RAPPORTO INCREMENTALE:

il rapp. incrementale della funzione

Δf = f(x₀ + Δx) - f(x₀) e l'incremento della variabile indipendente x, quando

passa da x a x₀ + Δx, è chiamato rapporto incrementale:

• Δf/h = (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/h

DEF. di Derivata:

Data una funzione reale f: D ⊂ R → R con x₀ ∈ D,

f(x) è derivabile nel punto di ascissa x₀ se esiste ed è finito il limite

del rapporto incrementale:

• f'(x₀) = lim (h→0) (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/(Δx)

Nel caso in cui il rapporto incrementale ammette limite infinito, allora diremo

che f presenta una derivata infinita.

DERIVABILITÀ E CONTINUITÀ

TEOREMA:

Siano f/A ⊂ R → R e x₀ ∈ A un punto del suo insieme di

definizione. Se in tale punto f è derivabile, allora è anche

continua.

• La derivabilità emerge come proprietà più selettiva della continuità
• ci sono funzioni continue che non sono derivabili

Teorema di Lagrange

Se f(x) è continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto x₀ ∈ (a,b) tale che f'(x₀) = ^f(b)-f(a)/_b-a.

Significato geometrico del teorema di Lagrange

• Il rapporto, ^f(b)-f(a)/_b-a, rappresenta, da un punto di vista geometrico, il coefficiente angolare della retta individuata dai punti A e B.
• Inizia ad esistere al primo momento della uguaglianza definita dal teorema di Lagrange.
• f'(x₀) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente ad f in un punto x₀ interno all'intervallo (a,b), la retta quindi è parallela alla retta tangente nel punto x₀ al diagramma di f(x).

Esempio: f(x) = ^x2+/_x, x ≠ 0, x ∈ I\[a,2]

• f(x) è continua per x ≠ 0 ∈ I\[a,2] ed continua
• f(x) è derivabile in x
• soddisfatte le Hp

f(x) = ^{-2x-x2−(x+)}/_x² = ^2x2−/_x² = ^x2−/_x²f(a) = ⁺¹/ = 2 → f(b) = ⁴⁺/₂ = ⁵/₂f'(x₀) = ⁵/₂−2 = ⁵⁻²/₂₋ → /₂ = ^x2−/_x2x² = 2x²−2 → x² = −2 → x² = ±2 → x = ±√2