Matematica generale

LA FUNZIONE

→ Dati 2 insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X a Y una assegnata corrispondenza che a ogni x € X associa al più un unico y € Y

→ Corrispondenza univoca

→ Funzione iniettiva: ogni elemento dell'immagine proviene da un unico elemento di A.

→ Se f(x) è crescente ➔ sarà iniettiva

→ Se f(x) è iniettiva ➔ è possibile calcolare la funzione inversa f^-1

→ f^-1 ≠ ¹/_f(x)

Nel caso di funz. reali, sia una funz. iniettiva se una generica retta y=k interseca il grafico della funzione 1 sola volta.

→ Funzione composta: h = g f

→ DIVERSI INSIEMI NUMERICI

• N e Z ➔ DISCRETI (tra 2 numeri non c'è un altro di mezzo)
• Q ➔ denso e discontinuo (tra 2 numeri non tutti € all'insieme Q ad es: √2, π)
• R ➔ è presente ogni allineamento decimale

→ FUNZ. CONCAVA = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sotto del grafico

→ FUNZ. CONVESSA = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sopra del grafico

→ FUNZ. PARI ➔ f(x) = f(-x) ➔ FUNZ. DISPARI ➔ f(x) = -f(-x)

LA FUNZIONE: Dati 2 insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X a Y una assegnata corrispondenza che a ogni x ∈ X associa al più un unico y ∈ Y.

→ Corrispondenza non univoca univoca.

→ Funzione iniettiva: ogni elemento dell'insieme delle immagini proviene da un unico elemento di A.

Se f(x) è crescente → sarà iniettiva

Se f(x) è iniettiva → è possibile calcolare la funzione inversa f ^-1

→ f ^-1 ≠ ¹/_f(x)

Nel caso di funz. reali, se ho una funz. iniettiva se una generica retta y=k interseca il grafico della funzione 1 sola volta.

Funzione composta: h = g[f]

→ DIVERSI INSIEMI NUMERICI

• N è Z → Discreti (tra 2 numeri non c'è via di mezzo)
• Q → Denso e discontinuo (tra 2 numeri non tutti ε all'interno di ad Es. √2, π)
• R → è presente ogni allineamento decimale

→ FUNZ. CONCAVA = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sotto del grafico.

→ FUNZ. CONVESSA = la corda congiungente 2 punti del grafico sta al di sopra del grafico.

→ FUNZ. PARI → f(x) = f(-x) → FUNZ. DISPARI → f(x) = -f(-x)

1) funz. lineari

y=mx+q; // m=m₁ - m₂ - m₁ = ^- m₂

2) funz. parabola

y=ax²+bx+c; V (^-b/_2a; ^-Δ/_4a)

a>0 -> verso l'alto, a≤0 certe vo basto

3) funz. iperbole

f(x) = ^ax+b/_cx+d; C (^-d/_c; ^a/_c)

iperboli equilaterie: f(x) = ^b/_x (a=0, d=0, c=1)

-> C (0,0)

4) funz. esponenziale

Definita per ∀ x ∈ℚ

f(x) = a^x

5) funz. trigonometriche

seno : Dispari, periodo 2π

coseno: Pari, periodo 2π

entrambi limitato da 1 a -1.

tg: Dispari, periodo π

funzione illimitata

6) funz. logaritmica

log_a x = y -> a^y = x

2 casi: a>1 -> crescente + concava

0<a<1 -> decrescente + convessa

-> Definita per ∀ x>0

• le grafico consiste con le 2 asint. nel 1^o e 2^o quadrante
• -x per x>0

ALTRI CASI....

• funz. valore assoluto numero reale x: f(x) = |x| = < 0 per x>0;
• funz. valore assoluto di una funzione: |f(x)| ->
  • f(x) per f(x) ≥0
  • -f(x) per f(x) < 0
• funz. dove nella variabile indipendente compare un valore assoluto
• f(|x|) -> f(x) = (x)⁄|x|
• traslazione verticale: g(x) = f(x) + k
• traslazione orizz.: g(x) = f(x +k) des se k ＞ 0 vero sinis, devo k <0 vero destra
• produttio tra continue e funzione data: g(x) = c・f(x)
• *se f≠-1 -> aumento sua grafico notaluto rispetto ali'asse x

Le Strutture

1. Struttura Algebrica: è quella che ammette ogni volta che eseguiamo dei calcoli (somma e prodotto).
2. Struttura d'Ordine: utilizzata per stabilire quali valori sono minori e maggiori; serve per confrontare e ordinare.

Sia compatibilità tra tipi di strutture se valgano 2 principi:

1. 1° principio → x <y (⇔) x + z < y + z comp. tra strut. d'ordine e somma.
2. 2° principio → x <y (⇔) x · z < y · z comp. tra strut. d'ordine e moltiplicazione.

3° Struttura Met