Matematica Finanziaria - Appunti

1. INTRODUZIONE.

1.1: IL RISCHIO FINANZIARIO.

Il rischio finanziario è presente in tutte le operazioni finanziarie in condizioni di incertezza. Si dice fattore di rischio ogni elemento che possa contribuire ad una riduzione di valore o profitto.

Un investimento totalmente privo di rischio non esiste, perché investire significa rinunciare ad un capitale per un certo periodo di tempo in cambio di una controprestazione futura, e il futuro è incerto.

Esistono diverse tipologie di rischio:

• Rischio di mercato: rischio di variazione del valore per fattori attinenti a movimenti generali del mercato di riferimento, ad esempio variazioni dell’indice di borsa per le azioni e dei tassi d’interesse per le obbligazioni.
• Rischio di credito: si riferisce alla prospettiva che la controparte non sia più in grado di adempiere, in tutto o in parte, agli obblighi riguardanti i pagamenti dovuti
• Rischio di illiquidità: dovuto alla possibilità che cambi lo spread tra prezzo di acquisto e di vendita di un strumento finanziario.
• Rischio di volatilità: determinato dalla volatilità di mercato
• Rischio di cambio: determinato dalle fluttuazioni del tasso di cambio e riguarda gli strumenti finanziari denominati in valuta estera;
• Rischio di settore: si riferisce a strumenti finanziari che condividono caratteristiche comuni con quelli presentano simili performances. Si suppone che siano influenzati dagli stessi fattori macroeconomici, e per questo si parla di settore.
• Rischio specifico o non sistematico: il rischio rimanente dopo che si sono considerati i rischi sistematici. È specifico dello strumento finanziario considerato e può essere ridotto tramite diversificazione (che vedremo più nel dettaglio a breve).
• Rischio di forma: rischio proprio del mercato delle obbligazioni a reddito fisso, determinato da cambiamenti nella forma della struttura a termine dei tassi d’interesse, ossia da spostamenti non paralleli della curva dei tassi d’interesse delle obbligazioni “sicure”.

I mercati finanziari trasferiscono il rischio. Il meccanismo che trasferisce il rischio assegna ad ogni tipo di rischio un prezzo di mercato, chiamato premio al rischio. Il premio al rischio è determinato dall’uguaglianza tra domanda e offerta in equilibrio.

A questo punto forniamo una breve descrizione dei modelli finanziari in voga prima e in concomitanza del 1973 (data in cui è entrata in gioco la Option Pricing Theory, molto usata oggi).

• Teoria del portafoglio (Markowitz, 1952 1959): Il principio base che governa la teoria di Markowitz è che al fine di costruire un portafoglio efficiente occorre individuare delle combinazioni di titoli tale da minimizzare il rischio (deviazione standard) a parità di rendimento atteso, il concetto chiave è la correlazione esistente tra gli andamenti dei singoli titoli. Per far ciò è necessaria un’adeguata conoscenza del legame tra i diversi titoli. In generale, se il portafoglio è perfettamente correlato, la teoria è massima espressione della riduzione del rischio che ponendo una attenzione particolare alla diversificazione.

Gli assunti fondamentali della teoria di portafoglio secondo Markowitz sono i seguenti:

• Gli investitori intendono massimizzare la ricchezza finale e sono avversi al rischio.
• Il periodo di investimento è unico.
• I costi di transazione e le imposte sono nulli, le attività sono perfettamente divisibili.
• Il valore atteso e la deviazione standard sono gli unici parametri che guidano la scelta.
• Il mercato è perfettamente concorrenziale.

Capital Asset Pricing Model, CAPM (Sharpe 1964, Lintner 1965, Mossin 1966): In breve, il CAPM stabilisce una relazione tra il rendimento di un titolo e la sua rischiosità, misurata tramite un unico fattore di rischio, detto beta. Il beta misura quanto il valore del titolo si muova in sintonia col mercato. Matematicamente, il beta è proporzionale alla covarianza tra rendimento del titolo e andamento del mercato. Gli assunti fondamentali del CAPM sono le seguenti:

• Ipotesi di aspettative omogenee.
• Esistenza di un impiego non rischioso.
• Assenza di frizioni, tasse, restrizioni alle vendite allo scoperto, ecc.

➢ E(R_j) = R_o + β_j[E(R_m) – R_o] (Con: E(R_j) = Rendim. Atteso del titolo, o portafoglio, j ; R_o = rendimento del titolo non rischioso ; E(R_m) = rendimento atteso del portafoglio di tutti i titoli pesati in base alla rispettiva capitalizzazione (portafoglio di mercato) ; β_j = fattore Beta = ^cov(R_i,R_m)/_σ² ; σ² = Var(R_M)).

Se sostituiamo nell’equazione sopra la quantità: λ = ^{[E(R_m)–R_o]}/_σ che rappresenta il prezzo di mercato del rischio, notiamo che è sufficiente conoscere il Beta di un portafoglio rispetto al portafoglio di mercato.

Arbitrage Pricing Theory, APT (Ross 1976): Il principio che governa questa teoria è che Il rendimento di un titolo dipende da un certo numero di fattori di rischio (a cui il titolo è sensibile). C’è correlazione tra due titoli quando questi sono influenzati dagli stessi fattori. Il rendimento di un titolo è determinato dalla somma della quantità di ogni fattore moltiplicata per il rispettivo premio al rischio:

➔ R = R_e + R_u (R = Rendimento ; R_e = Rendimento atteso ; R_u = Rendimento inatteso)

Con: R_u = R_u(f₁)+ R_u(f₂)+...+ R_u(f_n) + ε (f_i = i-esimo fattore di rischio, R_u(f_i) = quantità dell’i-esimo fattore di rischio moltiplicata per il relativo premio al rischio; ε = rischio non sistematico, specifico del titolo).

La gestione del rischio ha 3 obiettivi fondamentali:

• Selezionare i fattori di rischio a cui esporsi e quelli contro cui immunizzarsi.
• Valutare i rischi dei diversi titoli finanziari.
• Costruire e mantenere portafogli con determinate caratteristiche di rischio e rendimento.

La possibilità di esercitare le opzioni anche prima della loro scadenza è propria delle cosiddette opzioni americane, mentre le opzioni europee possono essere esercitate solo a scadenza. Come nel caso delle assicurazioni, il prezzo delle opzioni è detto premio.

Se: S = Prezzo del sottostante ; X = Strike price, allora distinguiamo:

• Opzione in the money: comporta per il possessore un flusso di cassa positivo se esercitata immediatamente. Perciò una call è in the money se S < X, mentre una put lo è se S > X.
• Opzione at the money: comporta per il possessore un flusso di cassa nullo, ovvero S = X.
• Opzione out of the money: comporta per il possessore un flusso di cassa negativo. Perciò una call è out of the money se S > X, mentre una put lo è se S < X.

Il valore intrinseco di un’opzione è definito come il massimo tra zero e il valore che l’opzione avrebbe se fosse esercitata immediatamente: per una call è pari a max(S – X, 0) ; per una put è max(X – S, 0).

L’aspetto più interessante delle opzioni è sicuramente la possibilità di combinarle in molti modi per ottenere profili di rischio e payoff desiderati.

2.4: SWAP.

Gli swap sono accordi tra due parti per scambiarsi flussi di cassa futuri. Il tipo più comune è lo swap di tasso d’interesse (Interest Rate Swap, IRS): nella sua forma più tipica è un contratto bilaterale in base al quale i contraenti si scambiano, con riferimento ad un capitale nominale, un flusso d’interesse ad un tasso fisso con un flusso d’interesse a tasso variabile, per un certo periodo di tempo. In genere come tasso variabile si usa il LIBOR. Al momento della stipula il valore di mercato è contenuto è nullo. Successivamente, l’IRS può assumere un valore positivo o negativo. Un IRS può essere usato per trasformare un prestito a tasso variabile in un prestito a tasso fisso, e viceversa.

Analogamente all’IRS, lo swap di valuta (currency swap, CS) è un contratto che prevede uno scambio di flussi d’interesse (a tasso fisso o variabile) per un periodo determinato.

Sulla base di quanto detto finora, è possibile affermare che gli swap producono lo stesso effetto di un’assunzione di una posizione lunga su un titolo e una corta su di un altro.

Esistono inoltre anche opzioni sugli swap, chiamate Swaption.

2.5: WARRANT E CONVERTIBILI.

I warrant e i covered warrant costituiscono una particolare tipologia di opzioni e hanno come caratteristica principale quella di essere emessi da una società o istituzione finanziaria sotto forma di titoli negoziabili, quotati presso una o più Borse internazionali.

I warrant sono strumenti finanziari che conferiscono la facoltà di scrivere o di acquistare o vendere, entro la data di scadenza, un certo quantitativo di strumenti finanziari. Sono emessi da società per azioni, solitamente per garantirsi a termine il costo di un aumento di capitale.

I covered warrant sono strumenti finanziari che conferiscono la facoltà di acquistare e/o vendere, entro la data di scadenza, un certo quantitativo di strumenti finanziari. Sono emessi da banche su strumenti terzi per fini speculativi.