Matematica Finanziaria 1

OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI

La più semplice operazione finanziaria è quella in cui ci sono 2 PARTI: A e B in cui:

1. A presta una somma al tempo 0 a B
2. B la restituire aumentata di un certo importo al tempo 1

s > 0

i > 0

s + i > 0

INTERESSE = IMPORTO RESTITUITO - IMPORTO INIZIALMENTE DATO

(importo finale - importo iniziale)

Dal punto di vista di A:

• 0 (uscita)
• s+i (entrata) Tempo 1

Dal punto di vista di B:

• s (entrata)
• (s+i) (uscita) Tempo 1

A: {0; -s; s + i} | {0,1}

B: {s; +s; (-s) } | {0,1}

W(0) = s = VALORE al tempo 0

W(1) = s+i = VALORE al tempo 1

i = W(1) - W(0) = VALORE FINALE - VALORE INIZIALE

TASSO DI INTERESSE

_{i / s} è un indicatore sintetico molteplice

Es. n° 10.000 €i = 12%

• W(0) = 40.000
• W(1) = 1.200

1.200 = 12% = 0.1210.000

Es. 50.000 €i = 6%

L = ?

I = S × i = S × rL =? S = 1.50.000 × 6% = 3.000 €

Operazioni finanziarie composite

S         S_t+1         S_t+2

• W(0) = S₀
• W(1) = S_t+1 - 1_t+1
• W(2) = S_t+1 + I_t+2

Può essere visto come la composizione di 2 operazioni (rinominare elemento).

1) Contestualmente viene stipulataun'altra operazione invertendo(S_t+1) per lavoro 2

Tasso di interesse annuale

i = ^I/_{SOMMA INIZIALE}

• i = ¹/₂ → 1 anno
• i = ¹/₂ → 2 anno

S₁W(1)W(0)  

è l'interesse di ciascun anno e la variazione di valore di ogni anno.

TASSO ANNUO SEMPLICE:

_is^-1 = i _a * ⁿ⁄₁ . . . S= [I*n(1-i)]

il tasso annuo semplice coincide con il tasso annuo per il 1° anno.

I=S i=I

W(n)_s+ni= W(n) S (1+ni-S) (raccolgliendo S)

 = I*n(1-is)

 = S*ni*S

 W(n): S (1 + ni + S)

ESEMPIO:

S=5000

i=4%

I=?

I= S = 5000 * 4% = 200

W(n)_S(1+ni-S) = 5000 (1+n: 4%)

    i₁ = 4%

I = 200   valore alla fine del 1° anno

5200

     I       I

i₂ = 200   valore alla fine del 2° anno

5400

     I       I

i₃ = 200   valore alla fine del 3° anno

5600

Diminuzione del      decremento

3,846%         -0,184%

        3,704%

        -0,132%

               13,3 punti base B.P.

1 punto base = 0,01%

La legge degli interessi semplici viene usata per calcolare gli interessi legali in un contratto.

INTERESSE COMPOSTO: gli interessi maturati sin omni precedenti continuano a fruttare.

INTERESSE SEMPLICE:

• W(1): S+I
• W(2): W(1)x(1+i_2) = (S+1+i_2) = S+i_1+i_2
• In questo caso c'è la composizione degli interessi ma si usa il tasso di interesse annuo semplice (che è diverso dal tasso di interesse annuo). Ha
• W(2): δX(1+i_2)(1+i_1)
• - S+δi₁ δi₂

NON C'È COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI SE SI USA IL TASSO ANNUO DI INTERESSE SEMPLICE.

TASSO DI INTERESSE POSTICIPATO: j(t₁, t₂) = ΔW(t) / W(t) = [W(t₂) - W(t₁)] / W(t) = Δ[W(t)] / W(t) TASSO DI INTERESSE ANTICIPATO: δ(t₁, t₂) = ΔW(t) / W(t') = [ΔW(t) - W(t')] / δ(t₁, t₂)

j(t₁, t₂) = δ(t₁, t₂) / [1 - δ(t₁, t₂)] dato che δ(t₁, t₂) = -[m(t₁, t₂)-1] / m(t₁, t₂) m(t₁, t₂) = 1 + j(t₁, t₂) = 1 / [1 - δ(t₁, t₂)]

i.e. sono reciproci δ(t₁, t₂) = j(t₁, t₂) / [1 + j(t₁, t₂)]

Il tasso di interesse ombligato è uguale a quello postulipato x le fattare discontato

Il fattore di sconto mi dice di quanto devo "abbattere" il valore finale per avere il valore iniziale: si torna indietro nel tempo. Il fattore montante, invece, opera nel verso opposto.

La tasso di interesse ombliato mi indica le valore se pagagi interos omblipatamente Le tasso di intereste postipato, mo indica le valore se pago gli interedese postipatamente

δ(t₁, t₂) = ΔW(t) / W(t) indica il tasso di interesse berecintipilatio rispetto al valore iniziale

6) INTENSITÀ DI INTERESSE (POSTICIPATO)

j(t, t₁) = δ(t, t₁) / G

Si misura in termo a numero puro oppure in %/anno tempo

LEGGE ESPONENZIALE (i > 0)

Il Fattore di Sconto nella legge esponenziale assume la forma.

S(t, T) = W(t) / W(T) = δ(t, Τ) ^T-t = (1 + i) ^-(T-t) dato che i T-i (esponente negativo), W(t) = δ(1+t-t)

ESEMPIO i = 8% T - t = 1 anno

S(0, 1) = (1 + 8%) ^-1 , 0,925381

δ = log(1 + i) → e ^δ = 1 + i [e ^δ(T-t) = (1 + i) ^(T-t) = f(T, t)]

Dal l'esempio δ = log (1 + 8%) = 0,04879 = 4,879 ‰/anno = le indico con ‰/anno perché è l’unità di un tasso di interesse

e ^-0,04879 = 0,952381

[x > log(1 + i) → e SEMPRE VERO in quanto considereremo la SERIE DI TAYLOR con X = O]

log(1 ⁱ x) = f(0) + f¹(0) (x - O)¹ + f¹¹(0) (x - O)² + f¹¹¹(0) (x - O)³ + f^1V(0) (x - O)⁴

f^{(x) TAYLOR CON X = O}

• f(x) = log (1 + x)
• f¹(x) = 1 / 1 + x
• f¹¹(x) = -1 / (1 + x)²
• f¹¹¹(x) = 2 / (1 + x)³
• f^1V(x) = -6 / 1 + x⁴
• f⁽⁰⁾ = 1
• f¹¹(0) = -1
• f¹¹¹(0) = 2
• f^1V(0) = -6

δ(0.128 g) = _-0.046^g3 - 0.23492 %/gmm , che è l'intensità di interm.

Se si basa onnuni. Non posso calcolare l'intensità istantanea dei intensese su quei dati però, non posso fare le lurie, inquesto voi conosce e initeria di interere per iuterualli più piccoli di o . 482 la fluisione vioire e in questo caso, definito solo su questi 2 punti.

CORSO SECCO E PREZZO TEL QUEL

t; oggi (almeno del periodo secco)

LT: 1_cedola

TCE

Via a scadenza della prossima cedola

t_k - t_N

Detatti maturati dalla cedola in corso

t - t_k

È diverso valutare il titolo al tempo t.

PREZZO TEL QUEL = CORSO SECCO + RATEO

CORSO SECCO: è il prezzo calcolato troncando la frazione che la cedola successiva sia stata più corta (per questo motivo devo aggiungere il rateo).

RATEO: è la parte di cedola maturata dal venditore nel periodo t_N-1 - t_N.

RATEO = I * (t_N - t_N-1) / (t_k - t_N1)

è definito in questo modo dalle convenzioni di mercato. Il corso secco "vive e, de fatto dalle parti e anti aumentando.

RATEO = CEDOLA * GIORNI PERIODO CEDOLA

CORSO SECCO = pubblicato/contrattato

PREZZO TEL QUEL = ciò che viene effettivamente pagato

ESEMPIO:

BTP 1 t.n.a 4%

C=100€

Prossimo cedola 1/2/2015

datro: 10/10/2014 t