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Matematica e Statistica per l'economia - le funzioni polinomiali Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica e Statistica per l'economia per l'esame della professoressa Tondini sulle funzioni polinomiali. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: il campo di esistenza, le intersezioni con gli assi, i limiti agli estremi del campo di esistenza.

Esame di Matematica e Statistica per l'economia docente Prof. D. Tondini

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ESTRATTO DOCUMENTO

7

<

Ne segue che la derivata prima è positiva per , cioè:

x 2

7

=

x 2 − − − − − − − − − −

+ + + + + + + + + +

Crescenza Decrescenza

M

7

=

Per , valore in cui la derivata prima si annulla, la funzione presenta un Massimo M.

x 2 7

=

Per determinare l’ordinata corrispondente al valore dell’ascissa , è sufficiente sostituire tale

x 2

− 2

valore nella funzione di partenza y = x + 7x + 5. Pertanto si ha:

− + +

2

   

7 7 49 49 49 98 20 69

= − + + = − + + = =

   

y 7 5 5

   

2 2 4 2 4 4

 

7 69

=  

M ,

Dunque è il punto di Massimo.

 

2 4

Osservazioni.

1. Ogni funzione polinomiale è definita su tutto l’asse reale.

2. Le funzioni polinomiali, che non siano delle rette (cioè funzioni di primo grado), non hanno

asintoti di nessun tipo.

I G .

L RAFICO

Unendo tutte le informazioni ottenute, si avrà il seguente grafico della funzione:

y  

7 69

 

M = ,

 

2 4

− 7 + 69

7 69 x

2

2 −

3

y = x x

C E .

AMPO DI SISTENZA

Anche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione polinomiale, per cui risulta:

{x∈R: − ∞ ∞}

C.E. = < x < +

I A .

NTERSEZIONI CON GLI SSI

Per determinare l’intersezione della funzione con gli assi cartesiani è più conveniente scrivere la

funzione nel seguente modo: 3 2

y = x – x = x(x – 1) = x(x – 1)(x + 1)

Ne segue allora:

=

 =

x 0 x 0

⇒ ⇒

  A = (0, 0) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y

=

= −

3 

 y 0

y x x

= = =

 

y 0 y 0 y 0

⇒ ⇒ ⇒

 

( )( ) ( )( ) = = = −

= − + − + =

   x 0, x 1, x 1

0 x x 1 x 1 x x 1 x 1 0 1 2 3

⇒ B =(0, 0) = A ; C = (1, 0) e D = (−1, 0) sono le intersezioni della funzione con l’asse x

S F .

EGNO DELLA UNZIONE

Risulta: >

 >

x 0 x 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 2  

y > 0 x – x > 0 x(x – 1) > 0 < − > +

− >

2 

 x 1, x 1

x 1 0

Ne segue: − 0

1 1

− − − − − − − − − + + + + + + + + +

− − − − −

+ + + + + + + + + +

− −

− − − − − + + + + + + +

+ +

y < 0 y > 0 y < 0 y > 0

− ∞.

cioè la funzione è positiva per 1 < x < 0 e 1 < x < +

L E C E .

IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZA

Si ha: ( ) ( ) ( )

= − = = +∞ = +∞

3

3 3

y x x x

lim lim lim

→+∞ →+∞ →+∞

x x x

( ) ( ) ( )

= − = = −∞ = −∞

3

3 3

y x x x

lim lim lim

→−∞ →−∞ →−∞

x x x

→ ∞, → ∞ → − ∞, → − ∞.

Quindi, per x + la y + e, per x la y

S S D P .

TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMA

Risulta:

− −

3 2

D(x x) = 3x 1

da cui segue: 1 1

< − ≅ − > + ≅ +

− ⇒

2 x 0,57, x 0,57

3x 1 > 0 3 3

cioè: 1

1

− 3

3 − − − − − − −

+ + + + + + + + + + + +

Decrescenza

Crescenza Crescenza

M m

Occorre ora determinare le ordinate relative ai massimi e minimi ottenuti:

3

    − +

1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3

1 = − − − = − + =− + = = = ≅

=− ⇒    

y 0,38

x     9

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3

3

    −

1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3

1 = + − + = − = − = =− =− ≅ −

=+ ⇒    

y 0,38

x     9

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3

Dunque:

 

1 2 3

= −

 

M ,

  è il punto di Massimo.

 

9

3

 

1 2 3

= −

 

M ,

  è il punto di minimo.

 

9

3 y

I G .

L RAFICO  

1 2

 

M = ,

 

3 3 3 x

0  

1 2

 

m = ,

 

3 3 3

3

y = 7(x x)

C E .

AMPO DI SISTENZA

Si osservi che la funzione data è simile alla precedente, anche se moltiplicata per il fattore 7. Quindi

si ha: {x∈R: − ∞ ∞}

C.E. = < x < +

I A .

NTERSEZIONI CON GLI SSI

=

 =

x 0 x 0

⇒ ⇒

 

( ) A = (0, 0) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y

= − =

3 

 y 7 x x y 0

= = =

 

y 0 y 0 y 0

⇒ ⇒ ⇒

 

( )( ) ( )( ) = = = −

= − + − + =

   x 0, x 1, x 1

0 7 x x 1 x 1 7 x x 1 x 1 0 1 2 3

⇒ B =(0, 0) = A ; C = (1, 0) e D = (−1, 0) sono le intersezioni della funzione con l’asse x

S F .

EGNO DELLA UNZIONE

Risulta: >

 >

x 0 x 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 2  

y > 0 7(x – x) > 0 7x(x – 1) > 0 < − > +

− >

2 

 x 1, x 1

x 1 0

Ne segue: − 0

1 1

− − − − − − − − − + + + + + + + + +

− − − − −

+ + + + + + + + + +

− −

− − − − − + + + + + + +

−−

+ +

y < 0 y > 0 y < 0 y > 0

− ∞.

cioè la funzione è positiva per 1 < x < 0 e 1 < x < +

L E C E .

IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZA

Si ha: ( ) ( ) ( )

 

= − = = +∞ = +∞

3

3 3

y 7 x x 7 x 7

lim lim lim

 

→+∞ →+∞ →+∞

x x x

( ) ( ) ( )

 

= − = = −∞ = −∞

3

3 3

y 7 x x 7 x 7

lim lim lim

 

→−∞ →−∞ →−∞

x x x

→ ∞, → ∞ → − ∞, → − ∞.

Quindi, per x + la y + e, per x la y

S S D P .

TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMA

Risulta: − −

3 3 2

D[7(x x)] = D(7x 7x) = 21x – 7

da cui segue: 1 1

< − ≅ − > + ≅ +

− ⇒ ⇒

2 2 x 0,57, x 0,57

21x 7 > 0 3x – 1 > 0 3 3

1

1

− 3

3 − − − − − − −

+ + + + + + + + + + + +

Decrescenza

Crescenza Crescenza

1 M m

=− ⇒

x 3  

3

    − +

1 1 7 7 7 7 7 21 14 14 3

⇒ = − − − = − + =− + = = = ≅

 

   

y 7 2,69

   

  9

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

  3

1

=+ ⇒

x 3  

3

    −

1 1 7 7 7 7 1 21 20 20 3

⇒ = + − + = − = − = =− =− ≅ −

 

   

y 7 3,84

   

  9

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

  3

Dunque:

 

1 14 3

= −

 

M ,

  è il punto di Massimo.

 

9

3

 

1 14 3

= −

 

m ,

  è il punto di minimo.

 

9

3

I G .

L RAFICO y

 

1 14

 

M = ,

 

3 3 3 Il grafico ottenuto è uguale

al precedente ma traslato di

x 7, fattore moltiplicativo

della funzione di partenza

 

1 14

 

m = ,

 

3 3 3

− −

3 2

y = x x 12x

C E .

AMPO DI SISTENZA

Anche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione polinomiale, per cui risulta:

{x∈R: − ∞ ∞}

C.E. = < x < +

I A .

NTERSEZIONI CON GLI SSI

È conveniente scrivere la funzione raccogliendo la x:

3 2 2

y = x – x – 12x = x(x – x – 12)

Ne segue allora:

=

 =

x 0 x 0

⇒ ⇒

  A = (0, 0) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y

=

= − −

3 2 

 y 0

y x x 12 x

= =

  =

y 0 y 0 y 0

⇒ ⇒ ⇒

 

( ) ( )

= − − − − = = − − =

2 2 2

 

0 x x x 12 x x x 12 0 x 0, x x 12 0

1

= =

 

y 0 y 0

 

⇒ ⇒ ⇒

 

± + ± ± ± + ± ±

1 1 48 1 49 1 7 1 1 48 1 49 1 7

= = = = = = = =

 

x 0, x x 0, x

 

1 2,3 1 2,3

2 2 2 2 2 2

=

 y 0

⇒ ⇒

 B =(0, 0) = A ; C = (− 3, 0) e D = (4, 0)

= = − =

 x 0, x 3, x 4

1 2 3 sono le intersezioni della funzione con l’asse x

S F .

EGNO DELLA UNZIONE

Risulta: >

 >

x 0 x 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 2 2  

y > 0 x – x – 12x > 0 x(x – x – 12) > 0 < − > +

− − >

2 

 x 3, x 4

x x 12 0

− 4

3 0

− − − − − − − − − + + + + + + + + +

− − − − −

+ + + + + + + + + +

− −

− − − − − + + + + + + +

+ +

y < 0 y > 0 y < 0 y > 0

− ∞.

cioè la funzione è positiva per 3 < x < 0 e 4 < x < +


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AUTORE

pocha93

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in economia e finanza
SSD:
Università: Teramo - Unite
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pocha93 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica e Statistica per l'economia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Teramo - Unite o del prof Tondini Daniela.

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