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Matematica e Statistica per l'economia - le funzioni polinomiali Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica e Statistica per l'economia per l'esame della professoressa Tondini sulle funzioni polinomiali. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: il campo di esistenza, le intersezioni con gli assi, i limiti agli estremi del campo di esistenza.

Esame di Matematica e Statistica per l'economia docente Prof. D. Tondini

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ESTRATTO DOCUMENTO

− −

3 2

y = x x 12x

C E .

AMPO DI SISTENZA

Anche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione polinomiale, per cui risulta:

{x∈R: − ∞ ∞}

C.E. = < x < +

I A .

NTERSEZIONI CON GLI SSI

È conveniente scrivere la funzione raccogliendo la x:

3 2 2

y = x – x – 12x = x(x – x – 12)

Ne segue allora:

=

 =

x 0 x 0

⇒ ⇒

  A = (0, 0) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y

=

= − −

3 2 

 y 0

y x x 12 x

= =

  =

y 0 y 0 y 0

⇒ ⇒ ⇒

 

( ) ( )

= − − − − = = − − =

2 2 2

 

0 x x x 12 x x x 12 0 x 0, x x 12 0

1

= =

 

y 0 y 0

 

⇒ ⇒ ⇒

 

± + ± ± ± + ± ±

1 1 48 1 49 1 7 1 1 48 1 49 1 7

= = = = = = = =

 

x 0, x x 0, x

 

1 2,3 1 2,3

2 2 2 2 2 2

=

 y 0

⇒ ⇒

 B =(0, 0) = A ; C = (− 3, 0) e D = (4, 0)

= = − =

 x 0, x 3, x 4

1 2 3 sono le intersezioni della funzione con l’asse x

S F .

EGNO DELLA UNZIONE

Risulta: >

 >

x 0 x 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 2 2  

y > 0 x – x – 12x > 0 x(x – x – 12) > 0 < − > +

− − >

2 

 x 3, x 4

x x 12 0

− 4

3 0

− − − − − − − − − + + + + + + + + +

− − − − −

+ + + + + + + + + +

− −

− − − − − + + + + + + +

+ +

y < 0 y > 0 y < 0 y > 0

− ∞.

cioè la funzione è positiva per 3 < x < 0 e 4 < x < +

L E C E .

IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZA

( ) ( )

= − − = =+∞

3 2 3

y x x 12 x x

lim lim lim

→+∞ →+∞ →+∞

x x x

( ) ( )

= − − = = − ∞

3 2 3

y x x 12 x x

lim lim lim

→−∞ →−∞ →−∞

x x x

S S D P .

TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMA

Risulta:

− −

3 2 2

D(x x – 12x) = 3x 2x – 12

da cui segue: − +

1 37 1 37

< ≅ − > ≅

− ⇒

2 x 1,69, x 2,36

3x 2x – 12 > 0 3 3

essendo: ± + ±

1 1 36 1 37

− ⇔ = =

2

3x 2x – 12 = 0 x

1,2 3 3 +

− 1 37

1 37 3

3 − − − − − − −

+ + + + + + + + + + + +

Decrescenza

Crescenza Crescenza

M m

1 37 ⇒

=

x 3 ( ) ( )

3 2

− −

3 2

     

− − − 1 37 1 37 ( )

1 37 1 37 1 37

⇒ = − − = − − − =

     

y 12 4 1 37

     

     

3 3 3 27 9

( )( ) ( )

 

( ) ( ) ( ) 2

− − − − −

3 2

− − − − − 1 37 1 37 3 1 37 108

 

1 37 3 1 37 108 1 37  

= = =

27 27

( )( ) ( )( )

− + − − + − − − − − +

1 37 1 37 2 37 3 3 37 108 1 37 37 73 37 73 37 73 37

= = = =

27 27 27

74 37 110

= ≅ 12,59

27

+

1 37 ⇒

=

x 3 ( ) ( )

3 2

+ +

3 2

     

+ + + 1 37 1 37 ( )

1 37 1 37 1 37

⇒ = − − = − − + =

     

y 12 4 1 37

     

     

3 3 3 27 9

( )( ) ( )

 

( ) ( ) ( ) 2

+ + − + −

3 2

+ − + − + 1 37 1 37 3 1 37 108

 

1 37 3 1 37 108 1 37  

= = =

27 27

( )( ) ( )( )

+ + + − − − + − − − − − −

1 37 1 37 2 37 3 3 37 108 1 37 37 73 37 73 37 73 37

= = = =

27 27 27

− −

74 37 110

= ≅ − 20,74

27

Dunque:

 

1 74 37 110

= −

 

M ,

  è il punto di Massimo.

 

27

3

 

− −

1 74 37 110

=  

m ,

  è il punto di minimo.

 

27

3

I G .

L RAFICO y

M x

− 3 0 4

m −

3 2

y = x + x + 2x 4

C E .

AMPO DI SISTENZA

Anche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione polinomiale, per cui risulta:

{x∈R: − ∞ ∞}

C.E. = < x < +

I A .

NTERSEZIONI CON GLI SSI

Poiché si è in presenza di un polinomio di terzo grado, occorre, in primo luogo, vedere se è

possibile scomporlo nel prodotto di due polinomi, uno di primo grado ed uno di secondo grado,

± ± ±

attraverso la Regola di Ruffini. I divisori del termine noto, 4, sono esattamente 1, 2, 4. Ma

allora si ha: ⇒

3 2 3 2

P(x) = x + x + 2x – 4 P(x = 1) = 1 + 1 + 2(1) – 4 = 1 + 1 + 2 – 4 = 0

cioè per x = 1 il polinomio si annulla. Quindi si ottiene il seguente prospetto:

1 1 2 4

1 1 2 4

1 2 4 0

Pertanto il polinomio P(x) si può scrivere anche nel seguente modo:

3 2 2

P(x) = x + x + 2x – 4 = (x – 1)(x + 2x + 4)

Quindi risulta:

3 2 2

y = x + x + 2x – 4 = (x – 1)(x + 2x + 4)

È ora possibile determinare le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani:

=

 =

x 0 x 0

⇒ ⇒ −

  A = (0, 4)

= −

= + + −

3 2 

 y 4

y x x 2 x 4 è il punto di intersezione della funzione con l’asse y

=



= =

 

y 0

y 0 y 0

⇒ ⇒ ⇒

 

 ( )

( )

− + + =

= + + − = + + =

2

3 2 2

 

 x 1 x 2 x 4 0

0 x x 2 x 4 x 1, x 2 x 4 0

1

=

 y 0 =

 y 0

⇒ ⇒ ⇒

 − ± − − ± − B =(1, 0)

1 1 4 1 3 =

= = =  x 1

 x 1, x 1

 1 2,3 è l’intersezione della funzione con l’asse x

1 2

S F .

EGNO DELLA UNZIONE

Risulta: − >

 >

x 1 0 x 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 2 2  

y > 0 x + x + 2x – 4 > 0 (x – 1)(x + 2x + 4) > 0 R

∀ ∈

+ + >

2 

 x

x 2 x 4 0

1

− − − − − − − − − + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − + + + + + + + + +

y < 0 y > 0

cioè la funzione è positiva per x > 1.

L E C E .

IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZA

( ) ( )

= + + − = =+∞

3 2 3

y x x 2 x 4 x

lim lim lim

→+∞ →+∞ →+∞

x x x

( ) ( )

= + + − = =−∞

3 2 3

y x x 2 x 4 x

lim lim lim

→−∞ →−∞ →−∞

x x x

S S D P .

TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMA

Risulta:

3 2 2

D(x + x + 2x – 4) = 3x + 2x + 2

da cui segue: ⇒ ∀x∈R

2

3x + 2x + 2 > 0

essendo: − ± − − ± −

1 1 6 1 5

⇔ = =

2

3x + 2x + 2 = 0 x

1,2 3 3

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Crescenza

Dunque la funzione è sempre crescente e non ha né massimi né minimi.

I G .

L RAFICO y (1, 0) x

(0, 4)


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AUTORE

pocha93

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in economia e finanza
SSD:
Università: Teramo - Unite
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher pocha93 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica e Statistica per l'economia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Teramo - Unite o del prof Tondini Daniela.

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