Matematica e Statistica per l'economia - le funzioni polinomiali

Studio del segno della derivata

Risulta: −3 2D(x x) = 3x 1 da cui segue: 1 1< − ≅ − > + ≅ +− ⇒2 x 0,57, x 0,573x 1 > 0 3 3cioè: 11− 33 − − − − − − −+ + + + + + + + + + + +

Decrescenza Crescenza Crescenza

Occorre ora determinare le ordinate relative ai massimi e minimi ottenuti:

3    − +1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 31 = − − − = − + =− + = = = ≅=− ⇒    y 0,38x     933 3 3 3 3 3 3 3 3 33 33

  −1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 31 = + − + = − = − = =− =− ≅ −=+ ⇒    y 0,38x     933 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3

Dunque: 1 2 3= − M ,  è il punto di Massimo. 93

 1 2 3= − M ,  è il punto di minimo. 93

yI G .L RAFICO  1 2− M = , 3 3 3 x0

1 2− m = ,

3 3 3−3y = 7(x x)C E .

AMPO DI SISTENZA

Si osservi che la funzione data è simile alla precedente, anche se moltiplicata per il fattore 7. Quindi si ha: {x∈R: − ∞ < x < +∞}

C.E. = < x < +I A .

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

 =x 0 x 0⇒ ⇒ ( ) A = (0, 0) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y= − =3  y 7 x x y 0= = = y 0 y 0 y 0⇒ ⇒ ⇒ ( )( ) ( )( ) = = = −= − + − + =   x 0, x 1, x 10 7 x x 1 x 1 7 x x 1 x 1 0 1 2 3⇒ B =(0, 0) = A ; C = (1, 0) e D = (−1, 0) sono le intersezioni della funzione con l’asse xS F .

DISCORSO DELLA FUNZIONE

Risulta: > >x 0 x 0⇒ ⇒ ⇒ ⇒3 2  y > 0 7(x – x) > 0 7x(x – 1) > 0 < − > +− >2  x 1, x 1x 1 0

Ne segue: − 01 1− − − − − − −

• − − + + + + + + + + +− − − − −+ + + + + + + + + +− −− − − − − + + + + + + +−−+ +y < 0 y > 0 y < 0 y > 0− ∞.cioè la funzione è positiva per 1 < x < 0 e 1 < x < +L E C E .IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZASi ha: ( ) ( ) ( ) = − = = +∞ = +∞33 3y 7 x x 7 x 7lim lim lim →+∞ →+∞ →+∞x x x( ) ( ) ( ) = − = = −∞ = −∞33 3y 7 x x 7 x 7lim lim lim →−∞ →−∞ →−∞x x x→ ∞, → ∞ → − ∞, → − ∞.Quindi, per x + la y + e, per x la yS S D P .TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMARisulta: − −3 3 2D[7(x x)] = D(7x 7x) = 21x – 7da cui segue: 1 1< − ≅ − > + ≅ +− ⇒ ⇒2 2 x 0,57, x 0,5721x 7 > 0 3x

– 1 > 0 3 311− 33 − − − − − −+ + + + + + + + + + + +DecrescenzaCrescenza Crescenza1 M m=− ⇒x 3  3    − +1 1 7 7 7 7 7 21 14 14 3⇒ = − − − = − + =− + = = = ≅    y 7 2,69     933 3 3 3 3 3 3 3 3 3  31=+ ⇒x 3  3    −1 1 7 7 7 7 1 21 20 20 3⇒ = + − + = − = − = =− =− ≅ −    y 7 3,84     933 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3Dunque: 1 14 3= − M ,  è il punto di Massimo. 93 1 14 3= − m ,  è il punto di minimo. 93I G .L RAFICO y 1 14− M = , 3 3 3 Il grafico ottenuto è ugualeal precedente ma traslato dix 7, fattore moltiplicativodella funzione di partenza 1 14− m = , 3 3 3− −3 2y =

x x 12xC E .AMPO DI SISTENZAAnche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione polinomiale, per cui risulta:{x∈R: − ∞ ∞}C.E. = < x < +I A .NTERSEZIONI CON GLI SSIÈ conveniente scrivere la funzione raccogliendo la x:3 2 2y = x – x – 12x = x(x – x – 12)Ne segue allora:= =x 0 x 0⇒ ⇒  A = (0, 0) è il punto di intersezione della funzione con l’asse y== − −3 2  y 0y x x 12 x= =  =y 0 y 0 y 0⇒ ⇒ ⇒ ( ) ( )= − − − − = = − − =2 2 2 0 x x x 12 x x x 12 0 x 0, x x 12 01= = y 0 y 0 ⇒ ⇒ ⇒ ± + ± ± ± + ± ±1 1 48 1 49 1 7 1 1 48 1 49 1 7= = = = = = = = x 0, x x 0, x 1 2,3 1 2,32 2 2 2 2 2= y 0⇒ ⇒ B =(0, 0) = A ; C = (− 3, 0) e D = (4, 0)= = − = x 0, x 3, x 41 2 3 sono le

Intersezioni della funzione con l'asse x:

S F .EGNO DELLA UNZIONERisulta:

> >x 0 x 0⇒ ⇒ ⇒ ⇒3 2 2  y > 0 x – x – 12x > 0 x(x – x – 12) > 0 < − > +− − >2  x 3, x 4x x 12 0− 43 0− − − − − − − − − + + + + + + + + +− − − − −+ + + + + + + + + +− −− − − − − + + + + + + ++ +y < 0 y > 0 y < 0 y > 0− ∞.cioè la funzione è positiva per 3 < x < 0 e 4 < x < +L E C E .IMITI AGLI STREMI DEL AMPO DI SISTENZA( ) ( )= − − = =+∞3 2 3y x x 12 x xlim lim lim→+∞ →+∞ →+∞x x x( ) ( )= − − = = − ∞3 2 3y x x 12 x xlim lim lim→−∞ →−∞ →−∞x x xS S D P .TUDIO DEL EGNO DELLA ERIVATA RIMARisulta:−

−3 2 2D(x x – 12x) = 3x 2x – 12da cui segue: − +1 37 1 37< ≅ − > ≅− ⇒2 x 1,69, x 2,363x 2x – 12 > 0 3 3essendo: ± + ±1 1 36 1 37− ⇔ = =23x 2x – 12 = 0 x1,2 3 3 +− 1 371 37 33 − − − − − − −+ + + + + + + + + + + +DecrescenzaCrescenza CrescenzaM m−1 37 ⇒=x 3 ( ) ( )3 2− −3 2     − − − 1 37 1 37 ( )1 37 1 37 1 37⇒ = − − = − − − =     y 12 4 1 37          3 3 3 27 9( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2− − − − −3 2− − − − − 1 37 1 37 3 1 37 108 1 37 3 1 37 108 1 37  = = =27 27( )( ) ( )( )− + − − + − − − − − +1 37 1 37 2 37 3 3 37 108 1 37 37 73 37 73 37 73 37= = = =27 27 27−74 37 110=

≅ 12,5927+1 37 ⇒=x 3 ( ) ( )3 2+ +3 2     + + + 1 37 1 37 ( )1 37 1 37 1 37⇒ = − − = − − + =     y 12 4 1 37          3 3 3 27 9( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2+ + − + −3 2+ − + − + 1 37 1 37 3 1 37 108 1 37 3 1 37 108 1 37  = = =27 27( )( ) ( )( )+ + + − − − + − − − − − −1 37 1 37 2 37 3 3 37 108 1 37 37 73 37 73 37 73 37= = = =27 27 27− −74 37 110= ≅ − 20,7427Dunque: −1 74 37 110= − M ,  è il punto di Massimo. 273 − −1 74 37 110=  m ,  è il punto di minimo. 273I G .L RAFICO yM x− 3 0 4m −3 2y = x + x + 2x 4C E .AMPO DI SISTENZAAnche in questo caso ci si trova di fronte ad una funzione polinomiale, per cui risulta:{x∈R: − ∞ ∞}C.E. = < x < +I