Matematica e statistica - Appunti primo parziale

X ESAME:

• 1° PARZIALE 26/11 ORE 16:30 VOTO: 30
• 2° PARZIALE 24/1 ORE 16:30 VOTO: 25

MEDIA FINALE: 27/30

MATEMATICA - Ricca

€47,5 €42,5

PROGRAMMA:

• NUMERI (CAP. 1)
• INSIEMI (CAP. 2)
• FUNZIONI (CAP. 3)
• STUDIO DI FUNZIONE (CAP. 4-5-6)
• LIMITI (CAP. 7)
• DERIVATE (CAP. 8)
• INTEGRALI (CAP. 9)

1. NUMERI

LA MATEMATICA È UN LINGUAGGIO SINTETICO CHE UTILIZZA DEI SIMBOLI.

• INSIEMI: UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI ELEMENTI. DESCRIVO CIÒ UTILIZZANDO LA SINTASSI: { ... }.
• A I INSIEMI APPARTENGONO I NUMERI NATURALI, OVVERO TUTTI I NUMERI INTERI POSITIVI COMPRESO LO ZERO.

N = {0, 1, 2, ...}

LO ZERO È 1 ELEMENTO NEUTRO PER LA SOMMA IN QUANTO IL SUO VALORE NON CAMBIA IL RISULTATO DI QUESTA OPERAZIONE.

• II INSIEME: INSIEME DEI NUMERI RELATIVI, QST INSIEME INCLUDE QUELI NATURALI CHE NE È UN SOTTOINSIEME.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, ...}

• III INSIEME: INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI

Q = {m/m (DOVE m, m APPARTENONO A Z, m ≠ 0)}

SIMBOLO: m/m

m È UN RAPPORTO TRA NUMERI. m DEVE CAMBIARE ENTRAMBI PERCHÉ I NUMERI SIANO UGUALI. AD ES. CAMBIARE m NON CAMBIA IL RAPPORTO m/m. INFATTI ESEMPIO: m/m = 1 => OGNI Z È CONVERTIBILE IN FRAZIONI E VICEVERSA. N ² = REL. _Q.

IN → insieme, insieme dei N, R, Q

A tale insieme appartengono tutti i numeri rappresentati da espressioni decimali, avendone anche infiniti e non periodiche (E, π, √3, ecc.)

Simbolo : R

I numeri con M, K, hanno indefiniti n’ decimali vengono tronacati, II U’ viene cioè escluso.

Dopo un N’ di cifre decimali. Questa operazione comporta xo → xe=ro:a2 :

1. diretto (akl approssima
2. accesso (algl si approssima sotto (sr.b))

Questi tipi di errori di somma presenti si (arlorando sulle potenze applicando la lx:

(Iterazione applicando a notare anche le unità).

(1’ nn può essere superato con M per ogni M ed n che sceglo.

Potenze: Proprietà delle potenze:

Se x > 0 e a, b ∈ R valgono le seguenti proprietà delle potenze:

• x⁰ = 1
• (x^b)^a = (x^a)^b x^a⋅b
• x^a ⋅ x^b = x^{a + b}
• x¹ = x
• x^-a = 1/x^a
• x = x = x
• x^1/n = ⁿ√x
• √x = ²√x

Esempi:

1. (x⁵)^1/2 = x^5/2 = √x⁵
2. b) x^m/2 ⋅ xⁿ⁺¹ = x^2m+1
3. e^{x ⋅ em = e2/m}

√-5 = -(5)^1/2 = -( -5^1/2

√-a = -(√- 1 ⋅ √a)

√-1 = i == i. N immaginario

z = 5 + 13 → qst combinazione di m:i portori fuori dai n’ reali. Si tratta infatt di 1 numero complesso x formare tnei reali il coefficiente dell’immaginario dove essere zero. particolar / coet dell’immaginario:

unità immaginaria

definita come L: √-1:

 Se x = 0 (if: n è 1 immaginario

puro.

Operazioni di somma e prodotto con n° complessi:

z=x+i y    i=√-1

C{z= z= x + iy, x,y ∈ ℝ }

Figura geometrica con il sistema di coordinate complesso:

Piano dei complessi

Numero complesso coniugato:

z=x+i y    --->     z̅= x-iy

Somma di z1 e z2:

• z1=x1+iy1
• z2=x2+iy2

z1+z2= z     z= (x1+x2)+i (y1+y2)

Nota: z1̅ +z2̅ = z̅

Esempio:

Dati z1 + 3+2i e z2= 5i, calcolare z̅1

• z1̅=3-2i
• z2̅=-(3+2i)+(-5i)= 3-3i

Prodotto di n° complessi

i²=(√-1)²=-1

Dati z1=x1+iy1 e zz= x2+iy2

z= z1 • z2 =(x1+i y1) (x2+i y2)

= X1X2+X1Y2 i + X2Y1 i +Y1Y2 i²

= X1x2 + i (x1y2 + x2y1) - y2y2 = -(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)

Esempio:

Dati z1=3i e z2=3+2i, calcolare z1 • z2

z= (3i)(3+2i)...= 3 + 3

Nota: calcolare dal fatto che i²=-1

Circonferenza con centro (X_o, Y_o)

Per convenzione si sceglie come verso di rotazione quello antiorario.

*I radianti indicano il n^o di raggi della circonferenza in un mezzo della.

Individuato un angolo sul cerchio OX. Un angolo di un radiante è un angolo il cui arco corrispondente ha lunghezza uguale al raggio della circonferenza.

d^γ=180/π rad

d rad= d^γ * π/180

La 90^o ha tg = parallelo all'asse Y e quindi ha va all'infinito.

Definizioni:

• |OA|=1
• sin α=|AH|
• cos α=|OH|
• tg α=|AH/OH| OR (|BA/OQ)=|BQ (∞)

Tra AH e BQ c’è ua proporzionalità XH I 2 triangoli hanno in comune (angolo α).

Formule per somma e sottrazione di angoli:

sin (α+β)= sinαcosβ + cosα sinβ

cos (α+β)= cosαcosβ – sinα sinβ

sin (α-β)= sinαcosβ – cosα sinβ

cos (α-β)= cosαcosβ + sinα sinβ

ES: DATI ĵ = (1, -2) E ṽ (-2, 3) CALCOLARE L'ANGOLO COMPRESO TRA ĵ E ṽ

₁ Sono 2 PASSAGGI A CALCOLARE: ĵ = (v₁, v₁) E ṽ = (u₁, u₂)

1. ĵ・ṽ = v₁u₁ + v₂u₂
2. |ĵ| = √(v₁² + v₂²) |ṽ| = √(u₁² + u₂²)

DA (1,2) _ｊ・^-v (-2,3) =(-2-6)= -2-6= -8

DAI (1,2) _ー(l) | ^√[(IJ]

₈ √[(IJ)] cosα=p ⁸ a cos ^-1 8

√5* √13 √5* √13

ESEMPIO APPLICATIVO DEL PRODOTTO SCALARE: LAVORO DI UNA FORZA

• IL LAVORO DI UNA FORZA E' IL PRODOTTO DELLO SPOSTAMENTO X LA FORZA
• LA FORZA F E LO SPOSTAMENTO S SONO GRANDEZZE VETTORIALI E
• SE E COSTANTE, IL LORO PRODOTTO E' DETTO PRODOTTO SCALARE,
• DUNQUE IL LAVORO E: L= F S =(F) (S)cosα DOVE α E' L'ANGOLO

COMPRESO TRA FORZA E SPOSTAMENTO. (RIF.LEG T L FORZA LLA COMPONENTE UTILE ALLA

RELA FORZA LUNGA L DIREZIONE DELLO SPOSTAMENTO QUINDI IL LAVORO E' SOST. LEZZAMENTE E LA PROIEZIONE DELLA FORZA

VISUALE LO SPASTAMENTO E LAANC. COSA INTERFERIE L LO SPASTAMENTO LO SPASTAMENTO NELLA DIREZIONE

ORA E UNA SCALA IL LAVORO E' ANCHE IL RAPORE LA-C SPAST. CIOE SPASTAMENTO NELLA DIREZ SENRA FORZA,

SE SEGUITANDO UNA SCALA IL LAVORO ENIL .(F)(S)(COSL ANGPLUM DUNA PIANA) ESIS PUE ESSERE ESPRESO SE (S) ( 9FF(TOSα)

COE UN SEGNO