Matematica e Statistica

Matematica e statistica

N

• Insieme numeri naturali
• 0, 1, 2, 3, …
• Infinito ordinato, rappresentabile su una … e discreto

Operazioni per ogni coppia di elementi

• Chiuso rispetto all’operazione + se ∀a, b ∈ I allora c ∈ I
• Chiuso rispetto all’operazione x
• Non chiuso rispetto alla sottrazione
• Non chiuso rispetto alla divisione
• Chiuso rispetto all’elevamento a potenza, ma attenzione 0⁰ e x⁰
• Non chiuso rispetto alla radice

Numeri primi

• Divisibili solo per se stessi e 1
• 0, 1
• 2
• 3
• 5

I numeri primi sono infiniti (Euclide 300 a.C.).

• Dim. dimostrazione per assurdo (nego la tesi)
• Osservazione: 3 • 5 + 1 = 31
• 31:3 R=4
• 31:5 R=1
• 3 • 5 • 3 + 1 = 46
• 46:13 R=1
• 46:15 R=1

Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti: p₁, p₂, p₃, …, p_n

N = p₁ • p₂ • p₃ • ... • p_n + 1

• E' un numero primo
• Contraddizione
• Ho trovato un numero primo più grande
• N non è primo perché …
• Si scompone in fattori primi tra questi c’è sicuramente un più grande di p_n

Posizionali: il valore della cifra dipende dalla posizione

• 303 = 3 • 10² + 0 • 10¹ + 3 • 10⁰
• 1214 = 4 • 10⁰ + 1 • 10¹ + 2 • 10² + 1 • 10³
• 121 = 2 • 4⁰ + 2 • 4¹ + 1 • 4²
• f₁⁽³⁾ = 0 • 2⁰ + 0 • 2¹ + 1 • 2² + 0 • 2³
• f₂⁽⁷⁾ …

la base deve essere > delle cifre del numero

31₍₁₀₎ (non può essere in base 6)

4.8⁰+3.8¹=7.24=31

1210₍₈₎=0.8⁰+2.8¹+2.8²+1.8³=0.3+16.27+48

Cambia base da

14:2=7 R=0

7:2=3 R=1

3:2=1 R=1

1:2=0 R=1

A₍₁₀₎=1110₍₂₎

• insieme numeri interi relativi
• O, +1, -1, +2, -2,....
• infinito, ordinato, rappresentabile su una retta, discreto,
• chiuso rispetto a - ,
• NO chiuso : media

• insieme numeri razionali
• un numero razionale è una classe di frazioni equivalenti

1. ²/₃
2. ⁶/₉
3. ³⁰/₉₀
4. ⁶⁰/₁₈₀

Numeri decimali finiti

0,5

1. ¹/₂

Numeri periodici

1/3 - , -

1. ¹³/₉
2. ¹³ - ,
3. ¹²/85.720

4. 05-200

• ∀ a,b ∈ , ∃ c ∈ [a,b]
• acc valore assoluto è un esempio di funzione a tratti

  * Dominio y = log x D: ]0, +∞)

  Dominio:

  • denominatore ≠ 0
  • radicando di radici di indice pari > 0
  • argomento del logaritmo deve > 0
  • argomento tangente ≠ π/2 + kπ ∀k ∈ N
  • argomento cotangente ≠ kπ
  • argomento dell'arcoseno e dell'arcoseno ∈ [-1, +1]

  Zeri: punti che annullano la funzione (il grafico interseca x)

  y = x³ - 5x + 2x² - 6 D: R

  Zeri: x³ - 5x + 2x² - 6 = 0

  (x + 1)(x² + x) - 6 = 0

  x = -1 x = ±2 x = -3

  Intersezioni: dove la funzione interseca con x e y

  Segno: dove la funzione è positiva e dove negativa

  Iniettiva: ogni elemento di B è l'immagine di al più un elemento di A (uno al massimo, zero)

  Suriettiva*: ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A

  Biettiva (o biunivoca): "rapporto 1:1"

  * posso restringere il codominio

  log_a bⁿ = n log_a b

  log_a b_b log_a bⁿ = x a^x = b

  (a^x) = bⁿ a^x = bⁿ

  n x = log_a bⁿ

  n i log_a b = log_a bⁿ

  Basis

  log_u o = log_o

  log_o = log_o

  LIMITI

  lim_x→x₀ f(x) = l

  lim_x→x₀ g(x) = m

  lim_x→x₀⁺ f(x) = l

  lim_x→x₀⁺ g(x) = m

  con m ≠ 0

  • ∞ non è f.di, è 0
  • 0 non è f.di, è ∞

  es. lim_x→3 (x + 1)/(x - 3) × 3/(1-3×3) = 3

  lim_x→0 eˣ/ₓ = 0

  lim_x→3⁻ X/(x - 3) = -3 = ∞

  lim_x→3 X/(x+3) = ∞ (non è possibile determinare se +∞ o -∞)

  lim_x→1⁻ log (1-log x) = 0

  lim_x→3⁻ (√x + log₃ x = 2

  lim_x→0⁺ 3ˣ log x = -∞

  lim_x→0⁺ (2/x+3)/(5ˣ-1) = 3⁺+∞ 0⁺

  lim_x→∞ arctan ln x

  Derivate

  Una retta è tangente quando interseca il grafico in un solo punto P all'interno dell'intorno.

  Dati una funzione f(x), definita in un intervallo [a;b], e due numeri reali c, c+h (con h≠0) appartenenti all'intervallo, il rapporto incrementale di f nel punto c è:

  m = ^Δy/_Δx = ^{f(c+h) - f(c)}/_h

  e il coefficiente angolare della retta passante per A e B

  Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a;b], la derivata della funzione nel punto C interno all'intervallo, che indichiamo con f'(c), è il limite, se esiste ed è finito, per h tendente a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c:

  f'(c) = lim_h→0 ^{f(c+h) - f(c)}/_h

  Se il limite per h tendente a 0 per il r.i. non esiste o è infinito, f non è derivabile in quel punto.

  Siccome la derivata è il limite del rapporto incrementale, possiamo distinguere una derivata destra e una derivata sinistra di una funzione. Data la funzione y = f(x), in un punto c:

  la derivata sinistra è:

  f-(c) = limh→0- f(c+h) - f(c)/h

  la derivata destra è:

  f+(c) = limh→0+ f(c+h) - f(c)/h

  Ha senso parlare di derivata destra e sinistra quando ho i punti all'esterno del dominio.

  Una funzione y = f(x) è derivabile in un intervallo chiuso [a;b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a;b] e se esistono e sono finite le derivate destra in a e sinistra in b.

  Se una funzione f(x) è derivabile nel punto x₀, allora in quel punto è anche continua.

  Derivate fondamentali

  • f(x) = k → D y = 0
  • f(x) = x → D y = 1
  • f(x) = xⁿ → D y = n∙x^n-1
  • f(x) = √x → D y = ¹/_2√x
  • f(x) = sin x → D y = cos x
  • f(x) = cos x → D y = -sin x
  • f(x) = a^x → D y = a^x∙ln a
  • f(x) = log_ax → D y = ¹/_{x ln a}
  • f(x) = ln x → D y = ¹/_x