Matematica e Statistica

Matematica e statistica

N

• Insieme numeri naturali
• 0, 1, 2, 3, ...
• infinito, ordinato, rappresentabile su una asse e discreto
• chiuso rispetto all'operazione → se ∀a,b ∈ I allora a + b ∈ I
• chiuso rispetto all'addizione
• no chiuso rispetto sottrazione
• no chiuso rispetto alla moltiplicazione
• no chiuso rispetto alla divisione
• chiuso rispetto all'elevamento a potenza ma solamente 0° e xⁿ
• no chiuso rispetto alla radice

Numeri primi

• divisibili solo per se stesso e 1
• 0, 1
• 2
• 3
• 5

• I numeri primi sono infiniti
• dim.
• dimostrazione per assurdo (nego la tesi)

Osservazione: 3⋅5⋅2+1 = 31

• 31:3 R=1
• 31:2 R=1
• 31:5 R=4

7⋅5+1 = 36

• 36:3 R=1
• 36:15 R=1

Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano infiniti p₁, p₂, p₃, p₄, ...

N = p₁⋅p₂⋅p₃ ....⋅pₙ + 1

N è un numero primo Contraddizione

ho trovato un numero primo più grande Non è primo posso spezzare in fattori primi, ma spezzetto e ho sicuramente un più grande di pₙ

Posizionarie: il valore della cifra dipende dalla posizione

303 = 3⋅10² + 0⋅10¹ + 3⋅10⁰

1274 = 4⋅10⁰ + 7⋅10¹ + 2⋅10² + 1⋅10³

128 = 2⋅4⁽⁶⁾ + 2⋅4⁽⁵⁾ + 0⋅4⁽⁴⁾ + 1⋅4⁽³⁾ + 0⋅4⁽²⁾ = 128

⁽⁴⁾1030₍₄₎ = 0⋅2⁴ + 1⋅2³ + 0⋅2² + 1⋅2¹ + 0⋅2⁰ = 26 = R₁₀

Matematica e statistica

Insieme numeri naturali

• 0, 1, 2, 3, ...
• insieme ordinato, rappresentabile su una retta e discreto
• chiuso rispetto all'operazione → se ∀a, b ∈ I allora a + b ∈ I
• chiuso rispetto all'addizione
• non chiuso rispetto alla sottrazione
• chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione
• non chiuso rispetto alla divisione
• chiuso rispetto all'elevamento a potenza, ma attenzione 0⁰ e xⁿ
• non chiuso rispetto alla radice

Numeri primi

divisibili solo per sé stessi e 1

• primo = 0,1
• 2
• 3
• 5
• I numeri primi sono infiniti

dim.

• dimostrazione per assurdo (negazione tesi)
• Osservazione 3:5 :5 → 31
• 31:3 R=1
• 31:2 R=1
• 31:5 R=4
• 46:3 R=1
• 46:15 R=1

Suppongo per assurdo che i numeri primi siano finiti

• N=p₁ p₂ p₃ ... p_n + 1
• N è un numero primo
• Contraddizione
• Ho trovato un numero primo più grande

Posizionale: il valore della cifra dipende dalla posizione

• 303 = 3·10² + 0·10¹ + 3·10⁰
• 1274 = 4·10⁰ + 7·10¹ + 2·10² + 1·10³
• 100 = 2·4¹ = 2·4¹ = 2·4¹ + 4¹ = 1·4² = 4²
• 102₍₅₎ = 1·2² + 0·2¹ + 2·2⁰ = 4·1·10 + 2 = 6

la base deve essere > delle cifre del numero

3₉ (in al più essere in base 6)

• 7.8² + 3.8² = 7.24 + 3.3

• 12₁₀ = 0.3₀ + 1.3¹ + 2.3² + 1.3³ = 0 + 3.18 + 27 + 48

Cambiato da base 10 in altra base

14 voglio sapere in base 2

• 14 : 2 = 7 R = 0
• 7 : 2 = 3 R = 1
• 3 : 2 = 1 R = 1
• 1 : 2 = 0 R = 1
• la devo arrivare a zero

• 14₍₁₀₎ = 1110₍₂₎

insieme numeri interi relativi

• 0, +-1, +-2, +-∞
• infinito, adiacente, rappresentabile su una retta, discreto
• chiuso rispetto a +,-,*
• NO chiuso: media

insieme numeri razionali

un numero razionale è una classe di frazioni equivalenti

• ½, &frac28;, &frac30;, &frac4;, &frac60;, &frac200;
• Numeri decimali finiti
• 0,5, ½

Numeri periodici

• ⅓, &frac{1.3}{9} = 1.2, 212:11=...05:20...

∀a,b∈ℚ a ∈ ℚ∕ acc&lequal;b

per esempio la misura

rappresentabili su una retta

I

(I) n decimali illimitati e non periodici = IRRAZIONALI

^√2

dim

Teorema √2 è irrazionale.

dimostrazione per assurdo

OSSERVAZIONE

4⁵ - 3⁵