Macroeconomia (parte I)

LM(Ṁ/Ṗ)

r E

r* IS (Ā) Y

Y* Pagina 6

MODELLO IS-LM DINAMICO

Ipotizziamo che la produzione si adegui lentamente a cambiamenti della domanda, in tempo

discreto: >0

Yt+1 - Yt = (Y^dt -Yt ) d

Y Y br

Sappiamo che la domanda aggregata t = Ā + c(1-t) -

t t t

Sostituendo:

Y br Y

= Ā + c(1-t)Yt - + (1-) (1)

t+1 t t

Ipotizziamo inoltre che il tasso di interesse r si aggiusti istantaneamente, quindi il mercato della

moneta è sempre in equilibrio.

Data la LM, possiamo determinare in ogni istante il tasso di interesse dove: rt = k/h Yt - 1/h Ṁ/Ṗ

Sostituiamo nella relazione (1):

Ā c(1-t)Yt b/h

Yt+1 = + - b k/hYt + Ṁ/Ṗ + (1-) Yt

(Ā

Yt+1 = + b/h Ṁ/Ṗ) + {[c(1-t) bk/h -1] +1 }Yt (2)

intercetta pendenza

La (2) è un’equazione alle differenze del primo ordine e di primo grado che descrive la dinamica

del reddito.

Per capire se l’equilibrio è stabile, andiamo a vedere quando la pendenza è maggiore o minore di

1.

Il termine: c(1-t) - bk/h -1 < 0 ; se -bk/h < 1-c(1-t)

>0

Dati b,k,h allora -bk/h < 0

Quindi la relazione è sempre vera

Allora la pendenza pertanto può essere riscritta come segue:

1-[1-c(1-t) + bk/h] < 1

>0

>0

Allora la pendenza è sempre minore di 1.

1-[1-c(1-t) + bk/h] > -1

[1-c(1-t) + bk/h] < 2

¯

< 2/[1-c(1-t) + bk/h] =

Dato che è sempre vero che la pendenza è minore di 1, allora l’equilibrio nel modello IS-LM

¯; ¯

dinamico è stabile se < dove = 2/[1-c(1-t) + bk/h]

Convergenza monotonica:

Se, 0 < pendenza < 1

Pendenza > 0 solo se 1-[1-c(1-t) + bk/h] > 0

¯/2

< 1/ 1-c(1-t) + bk/h =

¯/2

Per < ; si osserva convergenza monotonica

¯/2

Viceversa se > ; si osserva convergenza con oscillazioni che si smorzano.

Nel modello IS-LM dinamico abbiamo ottenuto:

(Ā

Yt+1 = + b/h Ṁ/Ṗ) + {[c(1-t) bk/h -1] +1 }Yt

intercetta pendenza

ℇ

δ

Y = δ +ℇY0

t+1 Pagina 7

L’equilibrio è stabile per -1≤ℇ≤1

Per 0≤ℇ≤1 osserviamo convergenza monotonica

Per -1≤ℇ≤0 osserviamo convergenza con oscillazioni

¯/2

Per < ; si osserva convergenza monotonica

¯/2

Viceversa se > ; si osserva convergenza con oscillazioni che si smorzano.

-

con = 2 /1-c(1-t) + bk/h

Effetti Politica Monetaria Espansiva, con convergenza monotonica:

Consideriamo il caso di convergenza monotonica e studiamo gli effetti sul processo dinamico di

un aumento dell’offerta nominale di moneta.

L’ipotesi: dato il livello di offerta nominale di moneta Ṁ0, il sistema economico si trova nello stato

stazionario E0, tale per cui il livello di produzione è pari a Y0* ed il tasso di interesse r = r0*.

Ad un certo istate T, la BC aumenta Ṁ da Ṁ0 a Ṁ1, dove Ṁ1 >Ṁ0

Diagramma di fase: ℇ

Yt+1 Yt+1 = δ(M1) + Y0

E1

Y’’ ℇ

Yt+1 = δ(M0) + Y0

Y’

δ Ṁ1 E0

δ Ṁ0 45° Y1* Yt

Y0*

Con l’aumento di Ṁ ad Ṁ1 il diagramma di fase trasla verso l’alto. Allora E0 non è più un equilibrio

per il mercato dei beni ed in particolare si osserva un eccesso di domanda, allora le imprese

aggiusteranno la produzione per colmare tale eccesso di domanda. Quindi in T il livello di

produzione è pari a Y0*; in T+1 sarà pari a Y’>Y0*; il processo continua fin quando il sistema

economico converge all’equilibrio E1, dove il livello di produzione è Y1*>Y0*. Il tipo di

convergenza che osserviamo è una convergenza monotonica.

Equilibrio Macroeconomico r LM(Ṁ0/Ṗ)

E0 LM(Ṁ1/Ṗ)

r0* E1

r1* E’

r’ IS Y

Y0* Y1*

L’equilibro iniziale è nel punto E0, dato l’auto di Ṁ a Ṁ1, allora la LM trasla verso destra. Data la

nuova LM(Ṁ1/Ṗ) il punto E0 non è più un equilibrio per il mercato della moneta. Data l’ipotesi che

il tasso di interesse r si aggiusta istantaneamente, al momento in cui avviene lo shock T, ci

spostiamo lungo la nuova LM nel punto E’ ed avremo che il tasso di interesse r = r’ che garantisce

un equilibro sul mercato della moneta. E’ non è un punto di equilibrio per il mercato dei beni, ed in

particolare osserviamo un eccesso di domanda, la produzione reagirà lentamente, fino a

convergere al nuovo equilibrio E1. Graficamente ci spostiamo lungo la nuova LM. Pagina 8

Y

Y1*

Y0* T t

Nel modello dinamico osserviamo un fenomeno di overshooting del tasso di interesse, quindi a

seguito della politica monetaria espansiva il tasso di interesse si riduce e la riduzione osservata in

E’ è più ampia della riduzione finale dall’equilibrio E0 a E1.

Nel modello IS-LM statico: r diminuisce da r0* a r1*;

Nel modello IS-LM dinamico: r nell’istante in cui avviene lo shock (in T quando M aumenta) si

riduce fino al livello r’, per poi aumentare nel tempo fino ad r1* > r’, ma con r1* < r0*, che è

appunto il fenomeno di overshooting.

s

M

In T si osserva che = M1

d

M /P = kY0* - hr’ [mercato della moneta]

s d

M M

=

s

M

In T+1 abbiamo che: = M1

d

M /P = kY’ - hr’’ (r’’>r’) fino all’equilibrio

MODELLO IS-LM IN TEMPO CONTINUO

Espressione differenziale del primo ordine:

dx(b) = [a + bx(t)] dt

x(t) : indica la variabile x come funzione del tempo t in ogni istante.

a,b: sono dei parametri

dt : indica la lunghezza dell’intervallo temporale preso in considerazione

dx(t) : indica l’incremento della variabile x, misurato nell’intervallo di tempo preso in

considerazione

dx(t) / d(t) = a + bx(t)

variazione istantanea della variabile = ẋ(t)

ipotesi: dt = 1

dx(t) = a + bx(t) dividiamo ambo i membri per xt

dx(t)/x(t) = a/xt + b

variazione % di x in tempo continuo

Nello stato stazionario avremo che dx(t) = 0, allora x = x* per ogni istante t

l’equazione differenziale data la condizione di stato stazionario diventa: 0 = a + bx*, allora

otteniamo che: x* = - a/b

In generale:

Se b<0 allora si osserva convergenza, pertanto lo stato stazionario è stabile

Se b>0 allora si osserva divergenza, pertanto lo stato stazionario è instabile

Consideriamo la situazione in cui b < 0 e a > 0,

Graficamente: dx(t) In E dx(t) = 0

a Pagina 9

x(t)

E

x(0 ) x(1) dx(t) = a + bx(t)

Consideriamo una condizione iniziale tale per cui la variabile x è pari a x(0) < x* = -a/b.

Questa è una situazione nella quale osserviamo convergenza all’equilibrio con incrementi sempre

più piccoli nel tempo.

MODELLO IS-LM TEMPO CONTINUO

Ipotizziamo che a seguito di un eccesso di domanda o di offerta sul mercato dei beni la

produzione si aggiusta lentamente.

d

Y

d Y(t)/dt = [ (t) - Y(t)]

variazione istantanea di Y = eccesso di offerta/domanda

>0

Il tasso di interesse si aggiusta istantaneamente.

Per semplicità scriviamo Y(t) come Y.

{Ā

dy/dt = + b/hṀ/Ṗ - [1-c(1-b) + bk/h]Y}

[1-c(1-t)

dY/dt = (Ā + b/h Ṁ/Ṗ) - + bk/h]Y

Questa è un’equazione differenziale del primo ordine che rappresenta la dinamica della

produzione in tempo continuo.

Affinché l’equilibro sia stabile e pertanto si osserva convergenza, la pendenza deve essere < 0

Quindi -[1-c(1-t) + bk/h] < 0

Sappiamo che per ipotesi > 0

inoltre [1-c(1-t) + bk/h] > 0

Allora è sempre vero che la pendenza è negativa.

Inoltre è sempre vero che la componente (Ā + b/h Ṁ/Ṗ) > 0; allora riferendoci al caso generale

abbiamo l’intercetta a>0 e pendenza b<0. Si verifica che imponendo la condizione di stato

stazionario, tale per cui dY/dt = 0 si ottiene l’equilibrio IS-LM

(Ā+b/hṀ/Ṗ) [1-c(1-t)

Y* = / + bk/h]

Ā

Y* = + Ṁ/Ṗ

Graficamente: dY/dt

(Ā+b/hṀ/Ṗ) E Y

Y* Pagina 10

SHOCK DI POLITICA MONETARIA ESPANSIVA

M aumenterà da Ṁ0 ad Ṁ1 dY/dt

(Ā+b/hṀ1/Ṗ) dY*(0)/dt

A

(Ā+b/hṀ0/Ṗ) E1

E0 Y’ Y

Y1*

Y0*

L’equilibrio prima dello shock è nel punto E0, con un certo livello di produzione pari a Y0*. A

seguito dell’aumento dell’offerta nominale di moneta M, la retta trasla verso l’alto. Il nuovo

equilibrio è nel punto E1, con un livello di produzione pari a Y1*>Y0*.

Dato il nuovo equilibrio E1, la condizione iniziale del livello di produzione è tale per cui Y0*<Y1*.

Data la condizione iniziale Y0*, l’incremento di dY*(0)/dt a seguito del quale nell’istante successivo

osserviamo un livello di produzione che sarà pari a Y’. Dato Y’ l’incremento sarà pari a

dY’/dt < dY*(0)/dt. Questo processo continua fino a quando non raggiungiamo il nuovo equilibro.

Per quanto riguarda l’equilibro macroeconomico continuiamo ad osservare un fenomeno di

overshooting del tasso di interesse.

Consideriamo un’ulteriore variante del modello IS-LM in tempo continuo ipotizzando che

anche il tasso di interesse reagisce lentamente a squilibri sul mercato.

Ipotizziamo che:

d

M

dr/dt = Ψ( /Ṗ - Ṁ/Ṗ) eccesso di domanda/offerta del mercato della moneta.

Ψ>

Entrambi i mercati dei beni e della moneta, reagiscono lentamente ad eventuali squilibri

d

Y

dY/dt = ( - Y)

Sappiamo che:

d

M / Ṗ = kY - hr

d

Y = Ā + c(1-t)Y - br

Sostituiamo e definiamo la variazione di r , dr/dt = ṙ; e la variazione di Y dY/dt = Ẏ

ṙ = Ψ(ky - hr) - ΨṀ/Ṗ

Ẏ = {Ā - br - [1-c(1-t)]Y}

Il modello è rappresentato da un sistema di equazioni differenziali in r ed Y.

In generale:

r = ax + by +

Y = cx + by +

Possiamo riscriverlo in forma matriciale:

[ ] α

[ ] [ ]

x a b

= +

y β

c d

j: matrice jacobiana Pagina 11

Determinante J = a d - bc

traccia J = a + d

Lo studio di determinante e traccia permette di analizzare la dinamica del sistema.

Per determinare l’equilibrio imponiamo la condizione di stato stazionario, ṙ = 0 e Ẏ=0.

Dato il sistema:

0 = ax + by + [isocline del sistema]

0 = cx + by +

Dal sistema determinato r* e y*

d/

r* = b - ad - bc

c

Y* = - a / ad - bc ad- bc ≠ 0 ; ad ≠ bc

Determinato l’equilibrio possiam