Macroeconomia

Y

Y1*

Y0* T t

r

r0*

r1* Pagina 15

t

T

FORWARD LOKING IS-LM

Mentre nel modello standard si considera un unico tasso di interesse r, che rappresenta

contemporaneamente il costo del finanziamento degli investimenti e il costo opportunità di

detenere moneta. In questa variane del modello IS-LM si ipotizza che gli investimenti dipendano

da un tasso di interesse al lungo pari ad un certo R, mentre r rappresenterà il tasso di interesse a

breve. d

M

I = Ī - bR ; /Ṗ = kY - hr

Determiniamo la relazione tra R ed r.

Consideriamo:

Il tasso R è associato ad un titolo a scadenza infinita (rendita perpetua)

Il tasso r è associato ad un titolo a breve

Se: .

V = prezzo della rendita , allora ad un certo istante t il tasso di rendimento della rendita = R +V/V

Se Co = coupon pagato dalla rendita, allora il prezzo della rendita V = Co/R, questa è la somma

del valore attuale di tutte le prestazioni future

Per definizione la variazione percentuale di un rapporto è pari alla differenza tra la variazione

percentuale del numeratore e quella del denominatore:

Ṿ/V = Ċo/C - Ṙ/R

=

0; dato coupon costante; allora Ṿ/V = - Ṙ/R

Dato il tasso di rendimento della rendita = R + Ṿ/V, sostituendo Ṿ/V = - Ṙ/R

= R - Ṙ/R

Pertanto la condizione di non arbitraggio implica che il tasso di interesse a breve sia pari a:

r = R - Ṙ/R : questa relazione indica la relazione tra r ed R.

La LM è la medesima:

r = k/h Y - 1/h Ṁ/Ṗ

Sostituendo nella condizione di non arbitraggio:

Ṙ/R = R - k/h Y + 1/h Ṁ/Ṗ

Ipotizziamo di considerare la variazione percentuale di R nell’intorno dello stato stazionario, pari

R

ad un certo , allora :

s

R

Ṙ/ = R - k/h Y + 1/h Ṁ/Ṗ

s R

Ossia: Ṙ = 1/h (hR - kY + Ṁ/Ṗ)

s

Possiamo definire R_s/h = Ψ

Ṙ = Ψ (hR - kY + Ṁ/Ṗ)

Sostituiamo:

Tale relazione è tale per cui la condizione di non arbitraggio è sempre rispettata.

Quando R = r, allora Ṙ = 0 e Ṁ/Ṗ = kY - hr, tale equazione rappresenta la situazione tale per cui

per l’investitore è indifferente tra detenere bonds o la rendita perpetua.

Se invece R > r, allora per l’investitore è più conveniente detenere la rendita perpetua, a meno che

non si verifichi una perdita in conto capitale per coloro che detengono la rendita, tale da farlo

tornare indifferenti per tali titoli.

Dalla condizione di non arbitraggio:

r = R - Ṙ/R, allora R - r = Ṙ/R > 0; Questa relazione vale quando R > r.

Ma Ṿ/V = - Ṙ/R < 0 [questo consente nel tempo di ristabilire la condizione di non arbitraggio]

Se invece R < r, converrà detenere bonds, a meno che non si verifichi un guadagno in conto

capitale rispetto alla rendita. Considerata la condizione di non arbitraggio:

R - r = Ṙ/R < 0; quando R < r.

Ma Ṿ/V = - Ṙ/R > 0

Data l’ipotesi che gli investimenti sono una funzione di R, allora determiniamo la relazione che

definisce la dinamica del reddito Y:

d

Y

Ẏ = ( - Y)

d

Y

Ma adesso dipende da R (via investimenti) Pagina 16

Ẏ = { Ā - bR - [1-c(1-t)]Y} [questa è la relazione che rappresenta la dinamica della produzione]

Ṙ = Ψ (hR - kY + Ṁ/Ṗ)

Le due relazioni sopra rappresentano il sistema di equazioni differenziali lineari in R ed Y che

descrivono la dinamica del modello.

In forma matriciale: −

ϕA

[ ] [ ]

−ϕ[1 − c(1 − t)] −ϕb

[ ] [ ]

.

Y Y

= + .

M

.

R R

−ψ k ψ h ψ .

P

Se imponiamo la condizione di stato stazionario : Ẏ = 0; Ṙ= 0:

IS : Y = (Ā- bR) sul piano (Y;R)

LM: Ṁ/Ṗ = kY - hR

Studiamo traccia (T) e determinante (D) della jacobiana.

T = - [1-c(1-t)] + Ψh < 0

>

Ψbk

D = -Ψ [1-c(1-t)] h - < 0

è sempre vero che il determinante è negativo.

D<0 e T < 0

>

l’equilibrio è un punto di sella.

Mercato dei beni

Consideriamo:

Ẏ = (Ā - bR- [1-c(1-t)]Y)

Se Ẏ > 0, allora Ā-bR > [1-c(1-t)]Y , quindi Y < 1/a-c(1-t) (Ā-bR)

=

(Ā-bR)

Y < [eccesso di domanda]

Se Ẏ > 0, allora Y > (Ā-bR) [eccesso di offerta]

R

R0 A E B Y

Y’ Y0 Y’’

In A: Y’ < (Ā - bR0), allora Ẏ > 0 ; allora Y sta aumentando.

In B: Y’’ > (Ā - bR0), allora Ẏ < 0 ; allora Y si ridurrà. Pagina 17

Sul mercato della moneta:

Ṙ = Ψ (hR - kY + Ṁ/Ṗ)

Lungo la LM Ṙ= 0; allora R = r

R = r = k/h Y - 1/h Ṁ/Ṗ

Se Ṙ > 0 ; quindi R > r = k/h Y - 1/h Ṁ/Ṗ

Se Ṙ < 0 , allora R < r = k/h Y - 1/h Ṁ/Ṗ

Graficamente: LM(Ṙ=0)

D

R’’ E

R0 C

R’ Y

Y0

In C R’ < k/h Y0- 1/h Ṁ/Ṗ = r0, allora Ṙ < 0 ; R diminuirà, allora da C ci allontaneremo

dall’equilibrio.

In D R’’ > k/h Y0 - 1/h Ṁ/Ṗ = r0; allora Ṙ > 0, R aumenterà ed anche in questo caso ci

allontaniamo dall’equilibrio.

C: R’ < r0 , allora per un investitore conviene detenere i bonds, gli investitori saranno disposti a

detenere la rendita se e solo se: R’ - Ṙ/R = r0,

R’ - r0 = Ṙ/R

<0 <0

Nel tempo R diminuisce, ci si attende quindi un guadagno in conto capitale (Ṿ/V > 0).

D: R’’ > r0, allora è più vantaggioso detenere la rendita, quindi per ripristinare la condizione di non

arbitraggio: R’’ - Ṙ/R = r0

R’’ - r0 = Ṙ/R

>0 >0

Nel tempo R aumenta e ci si attende una perdita in conto capitale (Ṿ/V < 0 ).

IS-LM

Consideriamo una rappresentazione grafica del modello

R Sentiero instabile LM(Ṙ=0)

Sentiero di sella

F

E

R* G IS(Ẏ=0)

Y* Y

Il punto E rappresenta un equilibrio macroeconomico con Y* e R*, inoltre R* = r*

Poiché il punto di equilibrio è un punto di sella, allora esiste un solo sentiero dinamico che

conduce il sistema economico allo stato stazionario, questo sentiero è chiamato SENTIERO DI

SELLA. Se ricavassimo la relazione che definisce il sentiero di sella otterremo una retta che è

inclinata come la LM, ma è un po più piatta e passante per E. Tutti i punti sul sentiero di sella sono

Pagina 18

punti che convergono all’equilibrio. Il sentiero di sella è l’unico sentiero convergente verso lo stato

stazionario.

Allo stesso modo è possibile rappresentare la traiettoria instabile, dove il modello diverge

all’equilibrio, ed è simmetrico al sentiero di sella. Tutti i punti sul sentiero instabile si allontanano

dall’equilibrio.

Si ipotizza che il sistema economico sia in F, dove osserviamo un eccesso di offerta sul mercato

d

Y < Y

dei beni , questo implica che Ẏ<0, pertanto la produzione si riduce nel tempo.

Il punto F rispetto al mercato della moneta sotto la LM, il tasso di interesse a lungo è al di sotto di

quello di equilibro, quindi R tenderà a ridursi, quindi in F: R < r, Ṙ < 0, allora R si riduce.

Quindi in F ci stiamo spostando lungo il sentiero di sella fino a convergere verso l’equilibro.

Consideriamo un punto come G, nella quale avremo la stessa dinamica, quindi Ẏ<0; Ṙ<0, quindi

man mano che la produzione si riduce da un lato e il tasso di interesse si riduce il sistema

convergerà verso il sentiero instabile andando ad allontanarsi dall’equilibrio. Quindi mentre il

punto F è un punto che porta il sistema a convergere all’equilibrio il punto G è un punto nella

quale il sistema è caratterizzato da una traiettoria divergente, malgrado sia il processo dinamico

qualitativamente simile con Y ed R che si riducono.

Nel caso del modello IS-LM standard il sentiero dinamico che conduce il sistema economico

all’equilibrio stabile è indeterminato. Mentre nel caso consideriamo il modello IS-LM forward

looking il sentiero dinamico che conduce il sistema verso l’equilibro è unico, per tanto si dice

determinato.

EFFETTO DI UN’ESPANSIONE FISCALE

R LM

B

r1*= R1* A’

A

r0*= R0* IS(G1)

IS(G0)

Y0* Y1* Y

In A stiamo rappresentanti l’equilibro macroeconomico, dato un livello di spesa pubblica G0.

Ipotizziamo che la spesa pubblica aumenti da G0 a G1.

Nel momento in cui la spesa pubblica aumenta, la IS trasla verso l’alto e l’equilibrio

macroeconomico si sposta nel punto B. Nel momento in cui a spesa pubblica aumenta anche il

sentiero di sella traslerà verso l’alto.

Dopo lo shock data la nuova IS(G1) e dato il livello del tasso di interesse R0*, tutti i punti al di

sotto della IS(G1), sono caratterizzati da un livello di produzione Y < Y1*, allora osserveremo un

aumento della produzione fino all’equilibrio B, quindi Ẏ > 0.

Vediamo come il sistema si sposta da A a B:

Data la nuova IS(G1) il punto A è caratterizzato da Y = Y0*, e dato Y0* il tasso di interesse a lungo

termine R è detto jumping variable, infatti R salta sul nuovo sentiero di sella anticipando quello

che sarà l’aumento del tasso di interesse a breve da r0* = R0* (essendo sulla LM) a r1* = R1*,

contemporaneamente la produzione Y si aggiusta lungo il sentiero di sella e il sistema economico

si muove lungo il nuovo sentiero di sella da A’ a B.

Il tasso di interesse a lungo R aumenta di impatto da A ad A’ e successivamente aumenta lungo il

sentiero di sella da A’ a B. Nell’istante T in cui avviene l’aumento della spesa pubblica, la

produzione rimane pari a Y0*.

Quindi all’istante T, osserviamo che la spesa pubblica aumenta da G0 a G1, allora osserveremo

d

Y

un aumento di Ā (componente autonomia della domanda aggregata), questo implica che

aumenta ed è maggiore di Y0*. Dall’istante immediatamente successivo allo shock la produzione

aumenta lungo il nuovo sentiero di sella fino a convergere a B. Pagina 19

Consideriamo la dinamica di r:

In T la produzione rimane invariata ed è sempre pari a Y0*.

d

Data la funzione di domanda di moneta reale:Ṁ /Ṗ = kY - hr

Poiché la produzione in T è ancora pari a Y0*, allora in T il tasso di interesse a breve r è invariato e

quindi pari a r0*.

Riassumendo in T: G aumenta

- R aumenta

- Y invariata = Y0*

- r invariato = r0*

Dall’istante immediatamente successivo allo shock, osserviamo un aumento di Y che induce un

aumento di r per compensare l’aumento della domanda di moneta reale causato dall’aumento

della produzione Y.

Stiamo considerando una componente forward looking nel mode